Stefan Balzer Statistik ­ Klausurvorbereitung 07.07.2008

Kombinatorik

Anzahl möglicher Anordnungen herausfinden

Reigenfolge Zurücklegen K Elemente werden aus n

Formel

Elementen ausgewählt

wichtig

mit

Variation mit Wiederholung

(

k

)

k

V

=

n

n

wichtig

ohne

Variation ohne Wiederholung

( )

n

V k

=

k

!

n

k

unwichtig

mit

Kombination mit Wiederholung

( )

n

+

k

-

1

C k

=

n

k

unwichtig ohne

Kombination

ohne

( )

n

Wiederholung

C k

=

auf TI 92 =

n

k

kombinat(n, k)

Bei der Permutation werden grundsätzlich alle n umgruppiert!

ohne Wiederholung

alle n unterscheiden sich

P

= !

n

wobei (n=k)

n

mit Wiederholung

es gibt Gruppen von gleichen n

!

n

P

(

k

) =

n

k

!

---

Regressionsanalyse

Repiotitorium S. 87

Name Regressionsfun Grenzfunktion

Elastizitätsfunktion

ktion

(absolute

(relative Elastizitätsfunktion)

Elastizitätsfunktion) (

y

^

( ist die relative Veränderung von

y, bei relativer Veränderung von x in

wenn sich x um eine MaßEinheit Prozent)

(z.b. cm, m² etc.) verändert)

Lineare Regression (Lin)

y

^(

x

) =

a

+

b

×

x y

^′(

x

) =

b

b

×

x

(

x

) =

a

+

b

×

x

Logarithmische

a

b

y

e

^ =

e

×

x

-1

^

y

′(

x

) =

b

×

x

-1

(

x

) =

b

×[

a

+

b

× ln(

x

)]

Regression (Log)

^

y

=

a

+

b

× ln(

x

)

Exponentielle Regression

a

+

b

×

x

y

^ =

e

a

+

b

×

x

y

^′(

x

) =

b

×

e

(

x

) =

b

×

x

(Exp)

Potenzielle Regression

b

y

^ =

a

×

x

b

1

^

y

′(

x

)

-

=

a

×

b

×

x

×

x

(

x

) =

b

(Pwr)

inverse Regression (Inv)

1

^

-

y

=

a

+

b

×

x

2

^

y

′(

x

)

-

= -

b

×

x

-1

(

x

) = -

b

× (

a

×

x

+

b

)

Maßkorrelationskoeffizient

auf Casio fx-350 WA; nach Eingabe der Urlistendaten im LinReg-Modus die ,,r"-Taste

drücken (über ,,(" )

-

r = 0 ­ kein linearer Zusammenhang zwischen x und y

-

r nahe 1 stark

gleich

läufiger linearer Zusammenhang zwischen x und y

-

r nahe -1 stark

gegen

läufiger linearer Zusammenhang zischen x und y

Empirische Kovarianz

n

(

) (

)

d

=

x

x

y

y

großer positiver Wert = Indiz für ausgeprägte positive lineare

xy

- × -

i

i

i

=1

n

Maßkorrelation; großer negativer Wert = Indiz für ausgeprägte negative lineare

Maßkorrelation

d

Zusammenhang:

xy

r

=

xy

d

×

d

x

y

Bestimmtheitsmaß / Unbestimmtheitsmaß

2

2

-

B

=

r

=

r

- das Bestimmtheitsmaß ist (nur) im Falle der

linearen Regression

gleich

xy

yx

dem Quadrat des Maßkorrelationskoeffizienten

-

ist ein Gütemaß für die Anpassung der Regressionsfunktion an die beobachteten

Werte

-

B nahe 1 = hohe Bestimmtheit = hohe Erklärungsfähigkeit der Regression

-

es gibt außerdem noch das Unbestimmtheitsmaß U=1-B

-

LBS. 93

---

)

2

′

er

)

l

e

n".

(

BWL

AusfallWS

P

)

×

)

)

×

)

1

A

2

2

A k

hfallWS

er

n

)

|

′

n

(

(

A

A

2

P

s

t

durchgefal

P

(

(

A

)

×

+

P

B

BWL

×

P

Anzahl

Anzahl

)

(

.

k

...

)

×

+

+

A

P

+

2

...

)

1

1

|

(

totaleDurc

)

A

2

z

ung ,,er i

)

×

A

(

B

P

2

2

(

P

(

A

1

A

P

durchgef

P

(

A

(

P

=

Anzahl

=

(

+

P

)

)

P

)

-

)

×

2

)

A

AusfallWS

k

A i

=

1

)

1

|

×

A

(

(

A

.)

2

(

A

)

1

(

i

1

P

P

(

A

P

er der Vorausset

(

A

A

(

P

×

=

P

=

)

P

×

)

gef

2

P

)

i

)

+

)

×

A

)

×

k

|

A

s

t

,

unt

n

2

A

A

)

n

)

)

Anzahl

1

A

1

A

i

|

B

1

(

(

A

(

A

A

=

(

(

A

P

|

(

B

P

L′er i

...

P

...

P

P

B

1

P n

=

W

=

=

(

i

ErIstDurch

)

)

=

P

allWS

=

|

2

2

2

2

)

n

=1

)

er

ud. B

A

A

A

A

2

A

i

B

′

e

l

|

=

|

1

1

1

1

1

)

k

2

A

A

A

A

A

B

A

BWL

, daß St

l

(

(

(

(

(

(

(

(

S

Form

P

P

P

P

P

P

totaleAusf

P

P

W

2

24

soundsovie

=

+

l

bezüglich

bezüglich

WS

)

)

)

iA

iA

A

|

|

2

(

P

B

B

+

(

(

-

schon eingetreten

P

S

P

soundsovie

22

1

2

=

=

=

el von Bayes

)

A

)

)

(

P

(

A

(

n

n

bekannt sein!

bekannt sein! bzw. dessen

=

)

(

A
P

a

hrscheinlichkeiten

müssen

müssen

i

a

hrscheinlichkeiten

i

a

hrscheinlichkeiten

A

A

soundsoviel2

s
rechnung

a

hrscheinlichkeit (s.o.)

zu

e

b

e

n

b

e

d

i

n

g

u

n

g

e

n

unter der Voraussetzung, daß A 1

N

für unvereinbare Ereignisse

für sich nicht notwendig ausschließende Ereignisse

für voneinander unabhängige Ereignisse

für bedingte W

A

ist

Die bedingten W

der Ereignisse

Spezialfall und Beispiel für totale W

Die bedingten W

der Ereignisse

totale W

Spezialfall und Beispiel für Form

a

hrscheinlichkeit:

e

ntärereigniswahrscheinlichkeit:

p

lem

all-

all-

-

Klassische W

Chance = soundsoviel

z.B. 22 : 2

Kom

um

el von Bayes

a
hrscheinlichkeit

·

·

·

a

hrscheinlichkeit

a

hrscheinlichkeit

a

hrscheinlichkeit

a

hrscheinlichkeit

W

e

g

e

l

R

Additionsregel (oder)

Additionsregel (oder)

Multiplikationsregel

(und)

Multiplikationsregel

(und)

bedingte

W

(wenn)

totale

W

totale Ausf

W

Form

(Maxim

Likelihood - Prinzip)

totale Durchf

W

---

Wahrscheinlichkeits- /Verteilungsfunktion

xi im Sinne von

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Verteilungsfunktion

P

(

X

x

)

i

P(X=xi)

P

(

X

=

x

)

i

(kumulierte relative Häufigkeit

(relative Häufigkeit)

0 P(X=0)

P(X=0)

1

P(X=1)

P(X=0) + P(X=1)

2

P(X=2)

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

3

P(X=3)

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

Summe:

100 % bzw. 1

Tschebyschev - Ungleichung

2

2

P

(

X

- µ

c

)

oder auch

P

(

X

- µ <

c

) 1-

2

c

2

c

Berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Wert ,,c" (Differenz zwischen erwartetem

Wert ,,X" und eingetretenem Wert µ ), so groß sein kann wie angegeben. Das Ergebnis gibt

an somit an, inwieweit eine Behauptung gerechtfertigt sein kann. Ist das Ergebnis gering, war

die Behauptung ungerechtfertigt ­ und umgekehrt.

Die Varianz richtet sich nach der jeweiligen Verteilung. (z.B. bei Binomialverteilung

2

=

n

×

p

× 1

( -

p

) )

Ausfallwahrscheinlichkeiten

Reihenschaltung

P1

P2

P

(

Ausfall

) =

P

(

A

A

) =

P

(

A

) +

P

(

A

) -

P

(

A

A

) =

P

(

A

) +

P

(

A

) -

P

(

A

) ×

P

(

A

)

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

bzw. ab 3 Bauelementen:

P

(

Ausfall

) = 1- (

p

×

p

×

p

)

1

2

3

Parallelschaltung

P1

P2

P

(

Ausfall

) =

P

(

A

A

) =

P

(

A

) ×

P

(

A

)

1

2

1

2

---

Verteilungsfunktionen diskreter Zufallsgrößen

· diskrete Zufallsgröße ­ abzählbar viele Werte

· stetige Zufallsgröße ­ jeder beliebige Wert innerhalb eines Intervalls

· allgemeine Verteilungsfunktion

P

(

X

=

x

) =

p

(

x

) Wahrscheinlichkeit das X den

i

i

Wert xi annimmt

·

Erwartungswert

einer diskreten Zufallsgröße (gewogenes arithmetisches Mittel):

x

×

p

(

x

) +

x

×

p

(

x

) + ... +

x

×

p

(

x

)

o

1

1

2

2

n

n

µ =

x

p

(

x

) +

p

(

x

) + ... +

p

(

x

)

1

2

n

·

Varianz

einer diskreten Zufallsgröße:

o

2

= (

x

- µ )2 ×

p

(

x

)

x

i

x

i

i

·

Standardabweichung

einer diskreten Zufallsgröße: ( auch mittlere quadratische

Streuung)

o

2

= = (

x

- µ )2 ×

p

(

x

)

x

x

i

x

i

i

·

Der Erwartungswert liegt daher annähernd zwischen

o µ + und µ -

x

x

x

x

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Gleichverteilung

( jeder Wert hat die gleiche Chance x zu werden)

1

o liegt vor, wenn

P

(

X

=

x

) =

k

n

n

n

1

o

Erwartungswert

der Gleichverteilung: µ =

x

p

x

x

× = ×

k

x

k

k

=1

n k

=1

n

1

o

Varianz

der Gleichverteilung: 2

= ×

(

x

2

µ )

x

-

k

x

n k

=1

n

1

o

Standardabweichung

der Gleichverteilung: =

2

=

×

(

x

2

µ )

x

x

-

k

x

n k

=1

o

Der Erwartungswert liegt daher annähernd zwischen µ + und µ -

x

x

x

x

Minimum ­ Maximum ­ Genau

· Genau: WS dafür , daß

X

=

x

wird also

P

(

X

=

x

) einfach in entsprechende

i

i

Formel einsetzen und ausrechnen...

· Maximum: WS dafür, daß X maximal xi groß wird

X

x

also

P

(

X

x

)

i

i

Summenwahrscheinlichkeit ausrechnen

· Minimum: WS dafür , daß X mindestens xi groß wird

X

x

also

P

(

X

x

)

i

i

o also

entweder

:

P

(

X

x

) =

P

(

X

=

x

) +

P

(

X

=

x

) + ...+

P

(

X

=

s

) s=max. Anzahl

i

i

i

1

+

der besonderen Merkmalsträger

o oder P

(

X

x

) = 1-

P

(

X

<

x

) = 1- (

P

(

X

= )

0 +

P

(

X

= )

1 + ...+

P

(

X

=

x

)

i

i

i

1

-

Bsp. P

(

X

>

x

) = 1-

P

(

X

x

) Anwendung des Maximums SummenWS

i

i

---

Normalverteilung

o Wahrscheinlichkeit, daß

X

x

wird

i

x

- µ

P

(

X

x

) =

P

(

Z

z

)

i

=

= (

z

) wobei:

i

µ = Erwartungswert

= Standardabweichung

() = zu berechnende Wahrscheinlichkeit Der Wert in Klammern

ist abzulesen in der Tabelle auf LBS. 328

o Wahrscheinlichkeit, daß

a

X

b

wird

b

- µ

a

- µ

P

(

a

X

b

) =

-

wobei:

µ = Erwartungswert

= Standardabweichung

= zu berechnende Wahrscheinlichkeit abzulesen in der Tabelle

auf LBS. 328

o Wahrscheinlichkeit, daß X > oder <

xi

wird

x

- µ

i

P

(

X

>

x

) = 1-

P

(

X

x

) = 1-

wobei:

i

i

µ = Erwartungswert

= Standardabweichung

= zu berechnende Wahrscheinlichkeit abzulesen in der Tabelle

auf LBS. 328

Die Tabelle von S. 328 (

x

,

xy

) wird wie folgt abgelesen x,x = Zeile; y = Spalte !!

---

---

Binomialverteilung

( Verteilung

mit Zurücklegen

bzw. bei großen Grundgesamtheiten (auch Bernoulli ­

Verteilung genannt) )

o Wahrscheinlichkeit, daß X zu

xi

wird (für z.B.

genau

ein fehlerhaftes Stück xi=1)

n

-

i

x

n

i

x

P

(

X

=

x

) =

p

(

x

) =

×

p

×

q

wobei:

k

i

x

i

n

= Umfang der Stichprobe (z.B. Anzahl der gezogenen Zahlen,

Kugeln, Lose etc.)

p

= Ausschußprozentsatz (Anzahl besonderer Merkmalsträger; z.B. 0,1

für 10%)

q

= 1 -

p

= Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Stück (z.B. hier 0,9

für 90%)

o

Summenwahrscheinlichkeit

(z.B. maximal 5):

?

P

(

X

?) =

p

(

x

) =

P

(

X

= 0) +

P

(

X

= )

1 + ... +

P

(

X

= ?)

i

i

=0

o

Erwartungswert

der Binomialverteilung: µ =

n

×

p

x

o

Varianz

der Binomialverteilung: 2

=

n

×

p

×

q

( wobei

q

= 1-

p

)

x

o Standardabweichung der Binomialverteilung: =

2

=

n

×

p

×

q

(

x

x

wobei

q

= 1 -

p

)

Hypergeometrische Verteilung

( Verteilung

ohne Zurücklegen

)

o Wahrscheinlichkeit, daß X zu

xi

wird (für z.B.

genau

ein fehlerhaftes Stück xi=1)

s

N

-

s

×

xi

n

-

xi

P

(

X

=

x

) =

p

(

x

) =

wobei:

k

i

N

n

n

= Umfang der Stichprobe (z.B. Anzahl der gezogenen Zahlen,

Kugeln, Lose etc.)

N

= Umfang der Grundgesamtheit

s

= Ausschuß (Anzahl besonderer Merkmalsträger; z.B. 5 für 5

schwarze Kugeln wenn von N = 100, 95 weiß sind)

o

Summenwahrscheinlichkeit

(z.B. maximal 5):

?

P

(

X

?) =

p

(

x

) =

P

(

X

= 0) +

P

(

X

= )

1 + ... +

P

(

X

= ?)

i

i

=0

s

o

Erwartungswert

der hypergeometrischen Verteilung: µ =

n

×

p

p

=

x

N

N

-

n

o

Varianz

der hypergeometrischen Verteilung: 2

=

n

×

p

×

q

×

( wobei

x

N

-1

q

= 1 -

p

)

o Standardabweichung der hypergeometrischen Verteilung:

N

-

n

2

= =

n

×

p

×

q

×

( wobei

q

= 1 -

p

)

x

x

N

-1

---

Poisson Verteilung

( Verteilung

mit Zurücklegen

(ähnlich Binomialverteilung)

)

o Wahrscheinlichkeit, daß X zu

xi

wird (für z.B.

genau

ein fehlerhaftes Stück xi=1)

(

n

-

p

)

xi

n

×

p

P

(

X

=

x

) =

p

(

x

) =

×

e

wobei:

k

i

x

!

i

n

= Umfang der Stichprobe (z.B. Anzahl der gezogenen Zahlen,

Kugeln, Lose etc.)

p

= Ausschußprozentsatz (Anzahl besonderer Merkmalsträger; z.B. 0,1

für 10%)

o

Summenwahrscheinlichkeit

(z.B. maximal 5):

?

P

(

X

?) =

p

(

x

) =

P

(

X

= )

0 +

P

(

X

= )

1 + ... +

P

(

X

= ?)

i

i

=0

o

Erwartungswert

der Poisson Verteilung: µ =

n

×

p

x

o

Varianz

der Poisson Verteilung: 2

=

n

×

p

x

o Standardabweichung der Poisson Verteilung: =

2

=

n

×

p

x

x

xi

Ergänzung: auch möglich:

-

P

(

X

=

x

) =

p

(

x

) =

×

e

siehe LBS. 220

k

i

x

!

i

·

zeitliche Poisson Verteilung

( Verteilung

mit Zurücklegen

(ähnlich

Binomialverteilung)

)

o Anzahl der Ereignisse

xi

, die in einer bestimmten Zeit eintreten (z.B.

genau

ein Auto xi=1)

x

t i

t

a

-

a

P

(

X

=

x

) =

p

(

x

) =

×

e

wobei: (ACHTUNG!: es heißt e^-(t/a) !)

k

i

x

!

i

a

= durchschnittliche Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen (z.B. alle

0,25 min ein Auto)

t

= Dauer, für welche die Wahrscheinlichkeit der Anzahl xi ermittelt

werden soll

o

Summenwahrscheinlichkeit

(z.B. maximal 5):

?

P

(

X

?) =

p

(

x

) =

P

(

X

= )

0 +

P

(

X

= )

1 + ... +

P

(

X

= ?)

i

i

=0

---

Preis-/ Mengen- und Strukturindizes

· p = Preis

· q = Menge

· 1 = Berichtszeitraum /-jahr

· 0 = Basiszeitraum /-jahr

Wertindex

p

×

q

ahr

nBerichtsj

WertVolume

I W

= 1

1 =

p

×

q

nBasisjahr

WertVolume

0

0

Preis- und Mengenindex nach Laspeyres

(Wenn nur die Daten des

Basiszeitraumes vollständig

vorhanden sind.)

(hypothetische Ausgaben bei unverändertem Warenkorb...)

,

×

1

0

Pr

×

p

p

q

·

tsjahr

eiseBerich

jahr

MengeBasis

Preisindex:

I LAS

=

=

p

×

q

nBasisjahr

WertVolume

0

0

= gewogenes arithmetisches Mittel!

,

×

0

1

Pr

×

q

p

q

·

ahr

eiseBasisj

htsjahr

MengeBeric

Mengenindex:

I LAS

=

=

p

×

q

nBasisjahr

WertVolume

0

0

Preis- und Mengenindex nach Paasche

(Wenn nur die Daten des

Berichtszeitraumes vollständig

vorhanden sind.)

(hypothetische Ausgaben bei unverändertem Warenkorb...)

,

×

p

p

q

·

ahr

nBerichtsj

WertVolume

Preisindex:

I PAA

= 1

1 =

p

×

q

Pr

ahr

eiseBasisj

×

htsjahr

MengeBeric

0

1

,

×

·

q

p

q

ahr

nBerichtsj

WertVolume

Mengenindex:

I PAA

= 1

1 =

p

×

q

Pr

tsjahr

eiseBerich

×

jahr

MengeBasis

1

0

= gewogenes harmonisches Mittel!

Preis- und Strukturindex nach Drobisch

×

×

p

,

p

s

·

Pr

tsjahr

eiseBerich

%

chtsjahr

AnteilBeri

Preisindex:

I DRO

1

1

=

=

p

×

s

Pr

ahr

eiseBasisj

× %

sjahr

AnteilBasi

0

0

×

×

,

0

1

Pr

%

Str

p

s

·

ahr

eiseBasisj

chtsjahr

AnteilBeri

Strukturindex 1:

I

DRO

=

=

p

×

s

Pr

ahr

eiseBasisj

× %

sjahr

AnteilBasi

0

0

·

×

×

Str

,

p

s

Pr

eiseBerichtsjahr

%

AnteilBerichtsjahr

Strukturindex 2:

I DRO

1

1

=

=

p

×

s

Pr

eiseBasisjahr

× %

AnteilBerichtsjahr

0

1

Umsatzindex

U

P

,

LAS

Q

,

PAA

U

Q

,

LAS

P

,

-

I

=

I

×

I

oder

PAA

I

=

I

×

I

-

durch umstellen und anwenden der Mittel-Rechnungen lassen sich z.B.

Preisentwicklungen darstellen!

Index- und Preisstrukturbereinigung Repititorium S. 140

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Mittel

(Hinweis: bei gewogenen Mitteln muß

g

=1 sein!

Formel

Erklärungen

einfaches

arithmetisches

n

n

= Anzahl der Merkmalswerte

Mittel (aus Urlistendaten)

xi

x

= Merkmalswert an der Stelle i

x

i

=

= 1

i

n

i

= Zählervariable

gewogenes

m

m

= Anzahl der Verhältnisse

arithmetisches

Mittel

x

×

n

j

j

m

x

= Merkmalswert an der Stelle j

j

(aus relativer

j

=

x

= 1

=

x

×

p

j

j

n

= abso. Häuf. des Merkmalswertes

Häufigkeitstabelle (relat.

n

j

=1

j

Häufigk. = Gewicht))

p

= relat. Häuf. des Merkmalswertes

j

^

=

j

= Zählervariable

Preisindex nach Laspeyres

gewogenes

m

m

= Anzahl der Verhältnisse

arithmetisches

Mittel

x

×

n

j

j

n

m

j

(aus klassierten Daten)

j

=

x

= 1

=

x

p

x

m

×

j

j

ij

wenn Urlistendaten

j

=

n

1

i

x

=

= 1

= Klassen

mittel

an der

j

j

vorliegen (wg.

x

)

n

j

=1

j

j

Stelle j

n

= abso. Häuf. des Klassen

mittels

j

p

= relat. Häuf. des Klassen

mittels

j

j

= Zählervariable für Klassen

gewogenes

m

m

= Anzahl der Verhältnisse

*

arithmetisches

Mittel

x

×

n

j

j

m

senGrenze

untereKlas

enGrenze

obereKlass

x

+

x

j

=1

(aus klassierten Daten)

x

x

*

p

*

j

j

x

=

=

m

×

j

j

j

wenn Urlistendaten

nicht

j

=

n

1

2

j

Klassen

mitte

an der Stelle j

vorliegen (wg. *

x

)

j

=1

j

Nicht für Wachstumsraten!

n

= abso. Häuf. der Klassen

mitte

j

p

= relat. Häuf. der Klassen

mitte

j

j

= Zählervariable für Klassen

e

einfaches

harmonisches

n

= Anzahl der Merkmalswerte

x

=

n

Mittel (aus Urlistendaten)

H

n

e

g

a

tiv

1

x

= Merkmalswert an der Stelle i

i

z.B. für Geschwindigkeiten

u

r

n

i

= Zählervariable

i

=1

x

e

i

gewogenes

harmonisches

m

d

e

r n

m

= Anzahl der Verhältnisse

g

e o

Mittel (aus relativer

j

x

= Merkmalswert an der Stelle j

ungswert

j

Häufigkeitstabelle (relat.

j

=

x

=

1

H

m

o

s

itiv

g

=

,,Gewicht"

des Merkmalswertes

Häufigk. = Gewicht))

1 ×

g

j

r p

j

^

e

obacht

j

= Zählervariable

j

=1

x

Nu

B

=Mengenindex nach Paasche

j

Geometrisches Mittel

n

n

= Anzahl der Merkmalswerte (Jahre)

z.B.

bei

jährlichen

x

=

n

x

G

i

x

= Merkmalswert an der Stelle i

i

Steigerungen

um z.B.

i

=1

(i.d.R.

durchschnittliche

neuerWert

Wachstumsraten zu berechnen

Wachstumsfaktor= =

(nur positive

alterWert

Merkmalsträger!!!)

i

= Zählervariable

Anmerkung: Ein Wachstumsfaktor ist immer um 1 größer, als die dazugehörige Wachstumsrate

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Median

Formel

Erklärungen

Median (

aus

n

Urliste aufsteigend sortieren z.B.

x

=

WertBei

Urlistendaten

)

0,5

2

11111112233333445556 (n=20)

x

= 3

0,5

bei ungeradem Ergebnis:

bei ungeradem Ergebnis: z.B.

n

× 5

,

0 =

Grundwert

(

g

)

UND

Re

stwert

(

r

) 111111122333334455567

x

= 1

( -

r

) ×

x

+

r

×

x

(n=21)

Grundwert

(

g

) = 10 ;

0 ,5

g

g

+1

Re

stwert

(

r

) = 5

,

0

x

= 1

( -

)

5

,

0

× 3 + 5

,

0 × 3 = 3

0,5

Median (

aus

x

=

WertBei

_ 50%(

realt

.

Häufigkeit

) _

der

_

Werte

relat. Häufigkeit

0,5

klassierten Daten

)

bis 0,5 bzw. 50%

aufsummieren ->

Rest über

Verhältnisgleich

ung bestimmen

und dazuaddieren

empirische Varianz ­ dx²

(= arithmetisches Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalswerte von ihrem arithmetischen Mittel)

Formel

Erklärungen

empirische Varianz (

aus

n

n

= Anzahl der Merkmalswerte

( -

2

Urlistendaten

)

x

x

)

i

x

= Merkmalswert an der Stelle i

d

2

i

=

= 1

i

x

n

i

= Zählervariable

x

= arithmetisches Mittel s.o.

empirische Varianz (

aus

m

m

= Anzahl der Verhältnisse

d

2 =

(

x

-

x

2

) ×

Häufigkeitstabelle

)

p

x

j

j

x

= Merkmalswert an der Stelle j

j

gewogenes arithm. Mittel

j

=1

p

= relat. Häuf. des Merkmalswertes

aus quadrierten

m

j

2

2

2

d

= (

x

×

p

-

x

Abweichungen

x

j

j

j

= Zählervariable

j

1

=

x

= arithmetisches Mittel s.o.

empirische Varianz (

aus

m

m

= Anzahl der Verhältnisse

2

2

klassierten Daten

)

d

=

(

x

x

)

p

x

- ×

j

j

n j

J

=1

wenn Urlistendaten

xij

vorliegen (wg.

x

)

i

x

=

= 1

= Klassen

mittel

an der

j

j

nj

Stelle j

p

= relat. Häuf. des Klassen

mittels

j

j

= Zählervariable für Klassen

empirische Varianz (

aus

m

m

= Anzahl der Verhältnisse

2

*

2

klassierten Daten

)

d

(

x

x

)

p

x

- ×

j

j

senGrenze

untereKlas

enGrenze

obereKlass

x

+

x

j

j

wenn Urlistendaten

nicht

j

=1

*

x

=

j

2

vorliegen (wg. *

x

)

j

= Klassen

mitte

an der Stelle j

p

= relat. Häuf. der Klassen

mitte

j

j

= Zählervariable für Klassen

---

Sonderteil Klassierte Daten

Formel

Erklärungen

Klassenbreite

oben

unten

=

x

-

x

j

j

j

Klassenmittel

n j

xij

i

x

=

= 1

j

n j

Klassenmitte

untereKlassenGrenze

obereKlassenGrenze

x

+

x

*

j

j

x

=

j

2

Häufigkeitsdichte

p

p

= relative Klassenhäufigkeit

D

j

(y-Achse bei nor-

p

=

j

j

miertem Histogramm

die Klasse mit der größten

j

(die x-Achse stellt

Häufigkeitsdichte stellt die

dann das Merkmal

modale Klasse

dar

dar z.B. DM/m²))

Modus

D

D

p

-

p

D

p

= Häufigkeitsdichte der

unten

j

j

x

=

x

+

-1

×

j

M

j

D

D

D

j

2 ×

p

-

p

-

p

modalen Klasse

j

j

-1

j

+1

j

= Zählervariable der

modalen

Klasse

Schiefe
Einfach:

Häufigkeitsdichten berechnen Modale Klasse Suchen Modus berechnen (s.o.)

Anmerkung: In der Regel kann auf die Berechnung des Modus getrost verzichtet werden, wenn die statistische
Gesamtheit annähernd normalverteilt ist.

rechtsschief wenn:

x

<

x

<

x

M

0,5

linksschief wenn:

x

>

x

>

x

M

0,5

Genauer:

Schiefemaß nach Charlier (für Urlistendaten) (s. 55)

3

m

n

1

n

1

x

S

=

mit

m

2 = ×

(

x

x

2

) und

m

3 = ×

(

x

x

3

)

x

-

x

-

x

i

i

2 3

(

m

)

n i

=

n i

=

x

1

1

rechtsschief wenn:

S

> 0

x

linksschief wenn:

S

< 0

x

symmetrisch wenn:

S

= 0

x

---