Beitrag zum Jahr der Mathematik 2008

Der Autor, Hugo Wehrle, studierte 1974-1982 Mathematik und Physik an

der Albert-Ludwigs-Universität in Freiburg. Danach lernte er die Sprachen

der Computer (Assembler, Pascal, Unix, C) and wurde später

Systemadministrator für Windows- and Unix Netzwerke (MCSC). Er

arbeitete von 1989-1996 bei der Firma AEG in Konstanz, die die ganze

Welt mit Postsortiermaschinen belieferte. Von 1989-2001 war er bei der

Entwicklung von Software für Online-Jobs bei INTERNOLIX in Dettingen.

Der Autor des Anhangs, Arno Fehringer, studierte ebenfalls zur selben Zeit

Mathematik und Physik an der Albert-Ludwigs-Universität in Freiburg, und

ist noch heute Gymnasiallehrer in Gailingen.

Einleitung

Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-

Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, dass der erste Philosoph, -

wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von

Milet (etwa 625-547 v.Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v.

Chr. richtig vorhersagte.

Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, von

der Schule her so bekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft

gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien

durch reine Überlegung schon der „Quantennatur der Geometrie“ auf die

Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen

eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im

Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in

Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch

aufgebaute 13-bändige mathematische Werk verfasste, nach dessen

Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, - nur das

Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein;

Archimedes von Syrakus (287?-212), der nicht nur die Kreiszahl π,

sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen

berechnete; und die vielen anderen, wie etwa der Erdvermesser

Eratosthenes von Kyrene (284-202) oder Diophantos.

Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser abstrakten

Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von

Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte,

nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2.

Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus,

dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte,

(- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis

1543 Kopernikus und dann ab 1605 Kepler und schließlich Galilei (der

1633 wegen der Inquisition widerrief) uns endgültig eines besseren

belehren sollten.

Allerdings geriet das gesamte griechische Wissen für ein Jahrtausend in

völlige Vergessenheit und ist uns nur über den Umweg muselmanischer

Übersetzungen überhaupt erhalten geblieben. Die Mörder HYPATIAs 1

scheinen nicht nur eine Mathematikerin, sondern mit ihr zugleich die

gesamte Mathematik ermodert zu haben! Das römische Imperium konnte

zwar nicht ohne Kriege, wohl aber ohne Mathematiker bestehen, und das

auch noch länger als jedes andere der Welt!

In unserer heutigen Zeit existiert das sog. >>Werte-Paradoxon 2 <<,

was besagen will, dass, obwohl wir alle zwar die modernste Technik z.B.

für Handies, Autos, TV und Computer benutzen, das Ansehen und der

Stellenwert der entsprechenden Wissenschaften und Techniken sich aber

am Ende der Wichtigkeitsskala ansiedelt, währen die Spitzenpositionen

z.B. vom Sport wie Fußball oder durch Filmschauspieler (die wie Reagan

sogar Präsident werden können) besetzt werden. Speziell für die

Mathematik gilt sogar, dass man sich mit deren „Unkenntnis“ beliebt

machen kann, denn einige Politiker erklären öffentlich, dass sie >>in

Mathe nie gut waren<<, – während keiner es je wagen würde, dasselbe

vom Fach Deutsch zu behaupten!

Das erste Kapitel des Beitrags zum Jahr der Mathematik 2008 liefert

die „vorletzten“ Geheimnisse des Dreiecks. Es beginnt mit einer wohl

1 Hypatia von Alexandria (370?-415), Tochter Theons, verfasste ein 13-bändiges Werk zu der "Aritmetica" des Diophant (dem "Vater der Algebra") und eine achtbändige Abhandlung zu den Kegelschnitten des Apollonius von Perga. Für weitere Informationen: www.britannica.com/eb/article-9041785/Hypatia

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Theon.html http://www.frauen-informatik-geschichte.de 2 R. Biehler, R. W Scholz, R. Straßer, B. Winkelmann „Didactics of mathematics as a scientific discipline.pdf“ Mathematics Education Library, Klumer Academic Publishers, Morgan Niss´analysis: Seite 331

altbekannten und doch unbekannten Formel, dass nämlich das Produkt

der Dreiecksseiten dividiert durch dessen Summe (auch Umfang

genannt) gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des

In- und Umkreises ist, was ich als Wehrle-Zahl des Dreiecks bezeichne. Im

rechtwinkligen Dreieck ist Summe der kleineren Seiten (auch Katheten

genannt) um den Inkreisdurchmesser größer als seine größte Seite (auch

Hypotenuse genannt), und die Summe der am rechten Winkel

anliegenden Seiten ist gleich der Summe der Durchmesser vom In-

und Umkreis.

Wissen Sie, dass das halbe Produkt dieser zwei Seiten, - die

Dreiecksfläche also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten

Teil der Wehrle-Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*

(Dieser letztere „Differenzen-Wehrle“ ist das Quadrat des Durchmessers

des Inkreises!).

Dann kommen wir auf die Rationalität von Dreiecken zu sprechen, d.h.

dass seine Fläche, alle Höhen, der In- und Umkreisradius sowie die

Sinuswerte aller drei Winkel durch Quotienten natürlicher Zahlen

darstellbar sind, also keine Wurzelausdrücke enthalten.

Sie kennen das kleinste, rationale rechtwinklige oder gleichschenklige

Dreieck mit natürlichen Seitenlängen, aber kennen Sie auch das kleinste,

nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen

verschiedenen Seitenlängen besteht?

Kennen Sie die trigonometrischen Wehrles, dessen zu den drei Winkeln

gehörendes trigonometrische Produkt durch deren trigonometrische

Summe geteilt wird: Den Sinus-Wehlre, den Cosinus-Wehrle, den

Tangens- und Cotangens-Wehrle, den Quadrat-Sinus-Wehrle oder den

Halbwinkel- und Doppelwinkel-Sinus-Wehrle, oder die entsprechenden

trigonometrischen Differenzen-Wehrles?

Und was stellt das Titelbild dar?

Zum Ende des ersten Kapitels kommen wir schließlich ausführlicher auf

die Kreisspiegelung und auf die krönenden Erkenntnis Karl

Feuerbachs zu sprechen. Beim rechtwinkligen Dreieck berührt dieser

sowohl den In- und Umkreis als auch alle drei Ankreise. Wir spiegeln dann

zuerst am Inkreis und schließlich am Feuerbachkreis selbst, der dann nicht

nur alle Spiegelbilder der Dreieckskreise berührt, sondern auch noch alle

drei Bilder der drei Ankreise, die ebenfalls noch die Bildkreise der

Spiegelkreise der drei Dreiecksseiten berühren!

Kapitel zwei ist dann dem Kreis-Viereck gewidmet. Wissen Sie, welche

Vierecke außer dem Quadrat einen In- und Umkreis haben, oder kennen

Sie deren doppeltes Radienprodukt? Kennen sie rationale Kreisvierecke,

oder rationale Sehnenvierecke mit natürlichen Seitenlängen? Kennen Sie

auch die trigonometrischen Wehrles für Sehnenvierecke oder Drachen?

Im dritten Kapitel begeben wir und weg von der Ebene in den 3D-Raum.

Jeder kennt den Satz des Pythagoras, aber wie heißt der

dreidimensionale Satz des Pythagoras?

Wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide mit welchen natürlichen

anliegenden Kantenlängen den Inkugelradius r = 1 hat? Und was gilt für

das Radienprodukt bei der Pyramide? Wissen Sie, wie man das Volumen

und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die Kantenlängen

berechnet? Sicherlich kennen Sie auch die Fehringer-Formel für den

allgemeinen Tetraeder noch nicht, wobei zur Berechnung nur die

Kantenlängen der Pyramide verwendet werden!

Oder dass bei einer Vieleckspyramide mit gleichen Kantenlängen l an der

Spitze und deren Abstand zur Grundfläche (auch Körperhöhe genant) halb

so groß ist wie die Seitenkanten, der Umkugelradius R gerade diese

Kantenlänge R = l ist? Und dass man für jede andere Höhen h nur das

Quadrat der gleichlangen Seitenkantenlänge nur durch das Doppelte

dieser Höhe teilen muss, um den Umkugelradius R zu erhalten?

Im letzten Kapitel machen wir den Hypersprung bis ins Unendliche.

Wollen Sie wie Einstein in höhere Dimensionen aufsteigen? Wissen Sie,

dass sich der Inhalt einer n-dimensionalen Kugel (auch Volumen

genannt) zu ihrer Begrenzungs-Hyperfläche (auch „Oberfläche“) sich wie

ihr Radius zur Dimension des Raumes verhält.

Kennen Sie das Volumen einer vierdimensionalen Kugel oder ganz

allgemein das einer n-dimensionalen Sphäre? Wollen Sie verstehen,

warum diese Hypersphären im unendlich-dimensionalen Raum komplett

verschwunden sind und was das bedeutet?

Die längeren Beweise finden Sie dann im Anhang, wo Sie auch drei

Beiträge von Arno Fehringer finden.

Besonderen Dank schulde ich Arno Fehringer für seine wertvollen

Beiträge!

Ohne seine mathematischen Anregungen wäre das Buch nicht entstanden!

Außerdem wird dem GRIN-Verlag für das Drucken des Werks gedankt!

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

Einleitung

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

Erster TEIL: 12

Wehrle-Formeln für Dreiecke

2

w = A - r ab = 2r(2R+r) 2 r = a+b – c a+b = 2 (R+r) a = R+r ± √ (R

½ Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen

Abstand der Zentren 2 + r

d = √ (R Der Sinus-Wehrle Andere trigonometrische Wehrles Des Sinus-Differenzen-Wehrle Die trigonomischen Potenzen-Wehrles Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks

Die Kreise des Dreiecks 37

Das Küßproblem Die Formel von Descartes Die Kreisspiegelung Die Krümmung der Küßkreise Die Krümmung der Ankreise Die Eulergerade und der Feuerbachkreis Merkwürdigkeiten beim Dreieck

Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke 63

Flächeninhalt A = √ ( abcd )

Der Inkreisradius ist

Sehnen- und Tangentenvierecke e : f = sin α : sinγ R = ¼√{[(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (abcd)} Summe der Gegenseitenprodukte ac + bd = ef

Der Drachen-Wehrle

Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten 2rR = abc / (a+b) Der kleinste ganzzahlige,rationale Kreisdrachen (2r)² =ac R = (a+c)√(a²+6ac+c²) / √(ac)

Das Radienprodukt für Kreistrapeze ist 2rR = (a+c)√(a²+c²+6ac) Zu einem rationalen Sehnenviereck gehört ein rationales Tangentenviereck und umgekehrt.

76

Teil III: Pyramiden 79

Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Pythagoras M i = (r; r; r) r = 3V /O Umkugelzentrum M u = (a/2; b/2; c/2)

R = ½ √(a

r

rechtwinkliger Tetraeder r rechtw. Pyramide 2rR =abc √(a²+b²+c²) / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)] 4rR =[ab+ac+bc-√(a²b²+a²c²+b²c²)]√(a²+b² +c²) / (a+b+c)

Die Entfernung der Zentren

|M i M u | = √[R

Die Fehringer-Wehrle-Formel 8rR = √[(ad+be+cf) (-ad+be+cf) (ad-be+cf) (ad+be-cf)]/ / O = ∑ A i (für i=1 bis 4)92 2rR = l A ∆abc / O

93

R = l / (2h K )

TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität

96

Wir verlassen nun die uns vertrauten Sphären! Die Inhyperkugelmitte Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen Die Umhyperkugelmitte Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX lim (n -›∞) Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln Wagen wir nun den Sprung in den unendlich-dimensionalen Raum n ∏

V n = r 0 n = n r lim

n

(n -›∞) Schlußfolgerung

ANHANG 106

BEWEIS der WEHRLE-Formel

2

Beweis der Flächenformel: A = w + r u = 2(r+2R) Beweis für w = R² - d² Übungsaufgaben zum Kapitel I: Übungsaufgaben zum Kapitel II: Übungsaufgaben zum Kapitel III:

Beiträte von A. Fehringer

Um- und Inkreisradien in Abhängigkeit der Seitenlängen im

allgemeinen Dreieck 141

Um- und Inkugelradien am allgemeinen Tetraeder 150

Skalar-, Vektor- und Spatprodukt, 157

Inhalt von 1-, 2-, 3- und höherdimensionalen Parallelotopen und

Simplices, Cayley-Menger-Determinante 157

Vektorprodukt Spatprodukt Inhalt des Tetraeders bzw. 3-dimensionalen Simplex

Inhalt der Strecke bzw. des 1-dimensionalen Simplex Inhalt von Parallelotopen Inhalt von Simplices Die Cayley-Menger-Determinate

LITERATUR-Hinweis: 172

Erster TEIL:

Die Wehrle-Zahl ist einfach das Produkt dividiert durch die Summe:

Nehmen wir z. B. die ersten drei natürlichen Zahlen 1, 2 und 3.

Ihre Wehrle-Zahl ist w (1, 2, 3) = 1 x 2 x 3 : (1+2+3) = 1

Addieren wir nun jeweils zwei dieser drei ersten natürlichen Zahlen 1, 2 und

3, dann erhalten wir als Summen die drei Seiten eines Dreiecks mit a =1+2 = 3, b =1+3 = 4 und c =2+3= 5. In diesem Falle ist es sogar rechtwinklig, d.h. es enthält einen 90°-Winklel, da der Satz des Pythagoras gilt: 3²+4²=5² .

Sein Inkreisradius r ist gerade diese Wehrle-Zahl 1.

(Allgemein ist r die Wurzel aus der Wehrle-Zahl der Tangentenabschnitte!) Die Wehrle-Zahl der Dreiecksseiten dieses pythagoräischen Zahlentripels 3, 4

und 5 ist w (3, 4, 5) = 3 x 4 x 5 : ((4-1) + 4 + (4+1)) = 3 4 5 : (3 4) = 5

Und alle Dreiecke der Abbildung 1 haben dieselbe Wehrle-Zahl fünf!

Oder anders gesagt,

alle Dreiecke haben dasselbe Produkt des Inkreis- und Umkreisradius.

Die Wehrle-Zahl der Dreiecksseiten, oder kürzer - des Dreiecks -, ist nämlich gerade das doppelte Produkt der beiden Radien, nämlich des Inkreises, der alle Seiten berührt, und des Umkreises, der durch die drei Ecken festgelegt ist. (Durch zwei Punkte ist eine Gerade eindeutig bestimmt, und durch drei ein Kreis, dessen Zentrum der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des durch diese drei Ecken bestimmten Dreiecks ist!)

Beispiel: 3 x 4 x 5 : (3 + 4 + 5) = 2 x 1 x 2,5 wobei r = 1 und R = 2,5

Die Fläche des Dreiecks ohne das Quadrat ist seine Wehrlezahl 3 w,

und das den Inkreis umgebende Quadrat sein Differenzenwehrle w*=4r²

Da die Wehrle-Zahl die Dimension einer Fläche hat, kann man sie auch als eine Fläche veranschaulichen. Nun ist beim rechtwinkligen Dreieck die Wehrle-Zahl gerade seine Dreiecksfläche, abzüglich dem vierten Teil einer andern Wehrle-Zahl, dem Differenzen-Wehrle w*:

Da dieser Differenzen-Wehrle w* gerade das Quadrat des Inkreis-Durchmessers ist, wie wir später noch sehen werden, folgt:

w = A - r 2

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich als Summe der Wehrle-Zahl und dem Inkreisradius-Quadrat!

Beispiel: A = ½ x 3 x 4 = 6 und w = 6 - 1 = 5 wegen r = 1

Da die doppelte Fläche 2A gerade die Fläche des Rechtecks ist, die aus den Katheten, - d. h. den am rechten Winkel anliegenden Seiten -, gebildet wird, folgt aus ½ ab= (w + r 2 ) für das Produkt der Katheten

ab = 2r(2R+r)

Beispiel: Für a=3 und b=4 ist r=1 und A =6. Andrerseits ist R=2,5 und somit 2A = 3x4 = 2x(5+1)

Beim rechtwinkligen Dreieck ist die längste Seite die sog. Hypotenuse. Da die längste Seite im Dreieck immer dem größten Winkel gegenüber liegt und die kleinste immer Gegenseite des kleinsten Winkels ist, liegt sie dem 90°-Winklel, dem größten Winkel gegenüber! (Die Winkelsumme im Dreieck ist ja in Folge des Parallelpostulats genau 180°!) Wenn nun die Hypotenuse c ist, wird, - wie wir gleich noch sehen werden-. der Inkreis-Durchmesser gerade

2 r = a+b – c

( = Seiten-Differenz dc)

Der Umweg über die beiden Katheten a und b ist gerade um den Inkreisdurchmesser 2r länger als der direkte Weg über c.

Da die Hypotenuse gerade der Umkreisdurchmesser ist (Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich, und die größte Sehne ist der Durchmesser, dem immer ein rechter Winkel gegenüberliegt, was zum sog. Thaleskreis als Umkreis führt), folgt:

Die Summe der Katheten ist gleich der Summe der Durchmesser!

a+b = 2 (R+r)

Beide Gleichungen mit den beiden Unbekannten a und b enthalten nur Ausdrücke mit den Kreisradien und liefern zusammen für die Katheten a 1 und a 2 des rechtwinkligen Dreiecks eine Formel, die nur von den Radien abhängt:

wobei also a = a 1 und b = a 2 ist, oder umgekehrt

Beispiel: R=2,5 und r=1 ergibt für die Summe der Radien R+r = 2,5+1 = 3,5 Der Radikand ist 2,5 - 1 - 5 = 0,25 hier quadratisch, die Wurzel 0,5. Somit werden die Katheten a= 3,5 +0,5 =4 und b = 3,5 - 0,5 = 3 (Hypotenuse ist 2R=5).

Kehren wir zum allgemeinen Dreieck zurück. Wenn wir die Dreier-Ausdrücke der Summe zweier Dreiecksseiten, deren dritten Seite davon subtrahiert wird

dc = a+b - c , db = a - b +c und da = - a+b+c

dann sind dies genau die doppelten Tangentenabschnitte, in welchen die Berührpunkte des Inkreises die Seiten teilen. Der Inkreisradius ist davon der kleinste, da die Hypotenuse c die größte Seite ist (die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

Diese Differenzen beinhalten die sog. Dreiecksungleichungen, nach denen die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte sein muss:

a+b > c ≡ a+b-c > 0

also muss dc = a+b-c positiv sein usw.

Bilden wir nun die Wehrle-Zahl der Differenzen w * („w-STERN“),

w * = da db dc : (da +db + dc) =

wobei der Nenner da + db + dc gerade den Umfang u = a + b + c liefert,

dann ergibt sich daraus bei jedem beliebigen Dreieck gerade das den Inkreis umgebende Quadrat!

w * = (2r) 2 = 4r 2

Die der größten Seite gegenüberliegende Ecke bildet mit den beiden Berührpunkten des Inkreises an den Katheten und dem Inkreiszentrum Mi ein Quadrat, und die Wehrle-Zahl ist das Maß der Fläche des Dreiecks bis auf

eben dieses Quadrat. Die Wehrle-Zahl der Differenzen w * ist nun gerade

das den Inkreis umgebende Quadrat 4r 2 .

Sind x, y und z die Tangentenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks, dann ist ja der kleinste, nämlich x, gerade der Inkreisradius r. Die Fläche ist nun einerseits halbes Kathetenprodukt A = ½ab=½(x+y)(x+z) und andrerseits 4

A = ½ur = (x+y+z) √[(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)/(x+y+z)]

Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen

Haben wir nun eine quadratische Wehrle-Zahl, dann können wir daraus rationale Dreiecke konstruieren, d. h. Dreiecke deren Seiten, Flächeninhalt A, alle Höhen, die Sinusse und die In und Umkreisradien r und R keine nie genau berechenbaren Wurzeln enthalten. Sollen die Dreiecksseiten „natürlich“ (ganzzahlig) sein, dann ist das kleinste rationale, nicht-rechtwinklige Dreieck, das ich fand, aus den Berührabschnitten 1, 3 und 12

zusammengesetzt und hat die Wehrle-Zahl w(1,3,12) = (1x3x12) :

(1+3+12)= (3:2) 2 . Ihr Inkreisradius ist also 1,5. Die Seiten ergeben sich als Zweiersummen der Abschnitte 1, 3 und 12 zu

4, 13 und 15

1 3 12

↓ /

4 13 15

Sein Umkreisradius ist R = 4x13x15 /(4+13+15) :3 = 65 : 8 = 8,125 und seine Fläche ist A = ½ru =½1,5x32 = 24

Mögen die drei Zahlen x, y und z die quadratische Wehrle-Zahl r 2 bilden, dann ist das n-fache gestreckte ähnliche Dreieck mit der Wehrle-Zahl (nr) 2 ausgestattet. Daher ergibt eine Normierung des Abschnitts x auf 1 die Wehrle-Zahl (r/x) 2 und es bleiben nur noch die 1, y* = y/x und z* = z/x auf Wehrle-Quadratizität zu untersuchen. Dies liefert folgende Bedingung dafür, dass die Wehrle-Zahl quadratisch ist:

Beispiel: Für l=3 und m=1,5 liefert x=3:4, y=9:4 und z=9. Die Multiplikation mit 4:3 liefert x=1, y=3 und z=12, das rationale Dreieck mit a=4, b=13 und c=15 und r=1,5.

Insbesondere erhält man für m=1 nur rechtwinklige Dreiecke:

a= l 2 - 1, b= 2l und c = l 2 + 1 mit l >1.

Beispiel: l=2 liefert das minimale rationale rechtwinklige mit a=3, b=4 und c=5.

Die allg. pythagoräischen Zahlen-Tripel sind:

l 2 - m 2 , 2lm und l 2 + m 2 für natürliche l und m.

Das rationale Dreieck, das sich daraus ergibt, hat die Seiten

a = x + y = (l+1)(l-m 2 ) ,

Beispiel: l=5 und m=2 liefert a = 6, b = 25 und c = 29 mit r = 2.

Anmerkung: Durch Umrechnungen kann man noch weitere, andere Formeln für die rationalen Dreiecke finden! Das Problem ist ein diophantisches, wenn man nur natürliche Lösungen haben möchte!

Genauso, wie man jedes rationale rechtwinklige Dreieck durch die Höhe auf den Hypotenusen in unendlicher Folge in wieder rationale rechtwinklige Dreiecke aufspalten kann, gelingt dies auch bei allen rationalen Dreiecken: Jedes rationale, nicht-rechtwinklige Dreieck ist aus zwei rationalen rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt.

Beweis: Da die Fläche A rational ist, muss die Höhe auf der größten Seite (etwa c) auch rational sein: h c =2A/c. Diese Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige, deren Flächensumme A ist. Ihre fraglichen Katheten (oder auch nur eine davon) könnten irrational sein! Multipliziert mit h c liefert die doppelte jeweilige Teildreiecksfläche. Die Summe einer oder zweier rein irrationalen Größen, wäre aber irrational, und dann müsste die Gesamtfläche irrational sein.

Beispiel: Das Dreieck mit den Seiten 4, 13 und 15 hat die Fläche 24. Die Höhe der Länge 48/15 = 3,2 auf seiner längsten Seite der Länge 15 teilt diese in die zwei rationalen Katheten der Länge 2,4 und 12,6.

Bei pythagoräischen Tripeln für die Dreiecksseiten wird die Hypotenuse c durch die Höhe h=ab/c in die zwei Hypotenusenabschnitte p und q geteilt, die sich wie die Quadrate der anliegenden Seiten verhalten:

q : p = a² : b².

(Die Winkelhalbierende teilt ja die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten; vgl. Harmonische Teilung und Apolloniuskreis)

Beispiel: a= 3, b=4 und c=5 ergibt für h = 2,4 mit p = 3,2 und q = 1,8 also q : p = 9 : 16

Abstand der Zentren

Interessant ist nun der Abstand der beiden Zentren des In- und Umkreises, den wir als d = |M i M u | bezeichnen. Dieser ist im rechtwinkligen Dreieck immer größer als der Inkreisradius r, da er die Hypotenuse des Dreiecks ist, bei dem der Inkreisradius senkrecht auf der Seite c steht, deren Mitte ja das Umkreisradiuszentrum M u ist. Der Zusammenhang mit den Seiten ergibt sich als 2 (a+b) c = 3c² – 4d². Wie wir noch sehen werden, hängt der Anstand der Mittelpunkte M i und M u aber in Wirklichkeit nicht von den Dreiecksseiten, - und somit auch nicht vom konkreten Dreieck-, ab, sondern nur von den beiden Radien r und R.

Man kann nämlich nicht in je zwei beliebigen sich enthaltenden Kreisen einfach ein Dreieck einzeichnen, sondern nur für einen ganz bestimmten Abstand der Zentren gelingt dies. Dieser Abstand d der Zentren ist ganz entscheidend! Er muss das geometrische Mittel des großen Kreisradius

R und der Differenz R - 2r sein:

Der Durchmesser des Inkreises muss also kleiner als der Umkreisradius sein, und ist höchstens gleich, nämlich nur beim regelmäßigen oder gleichseitigen Dreieck, für das der Umkreisradius R gleich dem Durchmesser des Inkreises 2r ist, weil hier die Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten zugleich die Seitenhalbierenden sind, und diese sich stets

im Verhältnis 2 : 1 schneiden. Wegen R=2r wird somit d=0: Wie jedes

regelmäßige Vieleck besitzt es konzentrische In- und Umkreise.

Bei rationalen Radien und Zentrumsabstand werden die Seiten irrational

(die Katheten sind hier 11+√7 und 11-√7)

Diese Bedingung kann auch anders formuliert werden: Das Abstandsquadrat muss gleich der Differenz des Quadrats des Umkreisradius R und der Wehrle-Zahl sein!

Nun ist im rechtwinkligen Dreieck der Abstand d der Zentren des In– und Umkreises stets größer als der Inkreisradius r, denn r und d bilden an der Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck. Es sei denn es handelt sich um ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, - einem halben Quadrat also -, bei dem d senkrecht auf der Hypotenuse steht und d = r= 2a-c=a (2 - √2) ist.

Aus d > r folgt R² > A

Die rechtwinklige Dreiecksfläche (Halbrechteck) ist kleiner als das Quadrat des Umkreisradius; Gleichheit A = R² besteht nur beim gleichschenkligrechtwinkligen Dreieck (Halbquadrat).

Der Abstand d der Zentren ist nun beim rechtwinkligen Dreieck:

Beispiel: a=3, b=4 und c=5 hat r=1 und R=2,5 sowie die Fläche A=6.

2 – 1 2 - 6) = √ (6,25 + 1 - 6) =√ 1,25 = ½ √5 ( > r =1 )

Es ist nun d = √ (2,5

Der Sinus-Wehrle

Da Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich sind, folgt aus sin α = a/(2R)

Analoges für die anderen Winkel 5 .

Abb. 4: z = ∑ sin αi = sin(x) + sin(y) + sin(π-x–y) = r∑a i / w = 2A / w für x und y von 0 bis π

Für die Summe der Sinuswerte ∑ sin α i folgt die Proportionalität zur Seitensumme ∑ a i und für die Summe der Sinusquadrate diejenige zu den Seitenquadraten.

Allgemein ist ∑ ki sin n α i = (r/w) n ∑ ki ai n

Insbesondere folgt für die Sinussumme sin α + sin β + sin γ = 2A / w und da für’s Produkt sin α sin β sin γ = 2Ar²/ w² ist, ergibt sich der

SINUS-Wehrle, der Quotient aus der Sinussumme durch das Sinusprodukt aller Dreieckswinkel. Hier zuvor noch das Sinusprodukt (Abb. 5)

Das Verhältnis des Inkreisradius r zum Umkreisradius R ist der doppelte Sinus-Wehrle!

w (sin αi )= ∏ sin αi : ∑ sin αi = r/(2R)

Abb. 5: z = ∏ sin αi = sin(x) * sin(y) * sin(π - x - y) = A/(2R²) = ½Aw*/w² für x und y von 0 bis π

Beachten Sie, dass man für die zwei x- und y-Winkel des Dreiecks nur die erste Quadrathälfte des Grundmengenquadats von (x, y) benötigt, da ja nicht beide Winkel bis π= 180º ansteigen können. Bei der unteren Abbildung des Wurzelsinus-Wehrle ist dies schön zu sehen!

Andere trigonometrische Wehrles

Der Cosinus-Wehrle ist w(cos αi) = cos(y)*cos(x)*cos(PI - x - y) /(cos(x)+cos(y)+cos((PI - x - y)) = = [u² - 4(r+2R)²] : [16R(R-r))]

Der Tangens-Wehrle ist genau 1, weil die Summe der Tangenswerte der Dreieckswinkel gleich derem Produkt ist!

(tan α tan β tan γ ) / (tan α + tan β + tan γ) = 1

Des Sinus-Differenzen-Wehrle

Bilden wir schließlich noch die Wehrle-Zahl der Differenzen der Sinusse der drei Dreieckswinkel, dann erhalten wir w*(sin α i )= (-sin α +sin β +sin γ)(sin α -sin β +sin γ)(sin α +sin β -sin γ)/(sin α + sin β + sin γ) =

= { [∏ Differenzen sin α i ] ∑ sin α i

Die Wurzel aus dem Differenzen-Wehrle der Sinuswerte

das Verhältnis des Inkreisradius r zum Umkreisradius R.

Da stumpfwinklige Dreiecke sowieso ein größeres Verhältnis von In-und Umkreisradius r/R haben, geht aus dem Maximalwert (Abbildung 6) von 0,5 bei (π/3 ≈1, π/3) hervor, dass nur das regelmäßige Dreieck das größte Radienverhältnis r:R = 1:2 hat. Sonst ist sonst R/r >2, was mit der folgenden Aussage gleichwertig ist

Die trigonomischen Potenzen-Wehrles

Die Wehrle-Zahl der Sinusquadrate der Dreieckswinkel, der >>Sinusquadrat-Wehrle<< also, läßt sich auf zwei Arten berechnen als

1.) w(sin² αi)= [ru / (2R)]² / ∑ a i ²

(-->siehe Übungsaufgaben 13 und 15 zum ersten Kapitel im Anhnag)

und 2.) w(sin² αi)= (ru/R)² / {2R² [u² -r²-16rR]}

unter Verwendung von ∑ sin α i = 2(1+ ∏ cos α i )

und der Ciamberlini-Formel ∏ cos α i = [u² -(2r+4R)²] / 16R²

Durch den Vergleich der Nenner läßt sich eine neue Formeln gewinnen!

∑a i ² =¼ {2R² [u² -r²-16rR]}

Übrigens gilt ja für die Halbwinkel –Produkte des Dreiecks

sin α/2 sin β/2 sin γ/2 = r / (4R) = ½ w(sin α i ) = ¼√ [w*(sin α i )]

und

cos α/2 cos β/2 cos γ/2 = u / (8R)

Abb. 11: SUMME der Cosinusquadrate der drei Dreieckswinkel

z = cos(x)^ 2 + cos(y)^ 2 + cos(π - x - y)^ 2 von 0 bis π

Abb. 12: PRODUKT der Cosinusquadrate der drei Dreieckswinkel

z = cos(x)^2 + cos(y)^2 + cos(π - x - y)^2 von 0 bis π

mit einem Stabilisatorsummanden von 0.0000001 im Nenner

{(cos(x))^2+ (cos(y))^2+ (cos(PI - x - y))^2}

/{0.0000001+(cos(x))^2 * (cos(y))^2 * (cos(PI - x - y))^2}