Ansätze des "Light Beam Search" - Grundlagen und Überblick über bestehende Verfahren

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Gegenüberstellung von ein- und mehrdimensionalen Optimierungsproblemen

3. Das Instrument zur interaktiven mehrdimensionalen Entscheidungsfindung
3.1 Prozedurinteraktivität
3.2 Die Alternativenauswahl bei Mehrdimensionalität
3.2.1 Probleme bei der Alternativenauswahl
3.2.2 Mehrfache Nutzenmerkmaltheorie und Familie der Indifferenzmethoden (Multiple Attribute Utility Theory and family of outranking methods)
3.2.3 Das Axiom der begrenzten Vergleichbarkeit (axiom of limited comparability)
3.2.4 Das verdichtete System der Präferenzverhältnisse (consolidated system of preference relations CSPR)

4. The Light Beam Search
4.1 Entstehungsgeschichte
4.2 Methodik
4.2.1 Problemstellung und Definitionen
4.2.2 Optimierungsprozedur
4.3 Vergleich mit anderen Verfahren

5. Schlussbetrachtung

1. Einleitung

Entscheidungsprobleme treffen den Menschen in allen Lebensphasen und –lagen. Entscheidungen lenken sowohl das individuelle als auch das kollektive Verhalten einzelner Personen und Gruppen, ja ganzer Gesellschaftssysteme. Das Vorbereiten, das Treffen und nichtzuletzt das Verantworten der Konsequenzen von Entscheidungen wird in der Wissenschaft als ein typisch menschliches Problemfeld gesehen und behandelt. „Das

Entscheidungsproblem hebt den Menschen einerseits von den übrigen Lebewesen und andererseits von noch so intelligenten Maschinen ab“^[1] .

Noch schwerwiegender als obengenannte Entscheidungen einzelner, sind die Entscheidungen sozialer Systeme, also dem Zusammenschluss von mehr oder weniger umfangreichen Personenmehrheiten, wie etwa Unternehmungen. „Die Konsequenzen versäumter oder sachlich verfehlter Entscheidungen von sozialen Systemen wirken in der Regel massiver und nachhaltiger als die Fehl-Entscheidungen eines einzelnen“^[2]. Die extremste Folge eines kollektiven Irrtums auf Unternehmensbasis ist der Zusammenbruch der Unternehmung. Entscheidungen sind also in der Unternehmung von existentieller Bedeutung und eng mit dem Wohlergehen der Unternehmung verbunden. Deshalb ist eine systematische

Entscheidungsfindung für solche sozialen Systeme von großer Bedeutung.

Bei der Betrachtung des Gesamtaufgabenkomplexes einer Unternehmung ist zu unterscheiden zwischen sog. Entscheidungsaufgaben und Ausführaufgaben. Der Bearbeiter ist genau dann zur Entscheidung gezwungen, wenn das Mittel zur definierten Zielerreichung bei

gegebener unternehmensexterner bzw. –interner Bedingungslage noch nicht eindeutig als Ausführungsvorgabe definiert ist, also eine Wahlhandlung vonnöten ist.^[3]

Da heutige Entscheidungsprobleme in ihrer Art und ihrem Umfang immer komplexer und schwerwiegender werden, ist ein systematisches Vorgehen bei der Suche nach dem realisierbaren Optima unumgänglich. Thema dieser Seminararbeit ist der „Light Beam Search“ (LBS) , ein interaktives Optimierungsverfahren, erarbeitet von Andrzej Jaszkiewicz und Roman Slowinski. Es hilft dem Bearbeiter eines Optimierungsproblems beim Auffinden des Punktes, in dem eingesetzte Produktionsfaktoren und Produktionsergebnis ein Optimum ergeben. Bei Betrachtung der Entwicklung der interaktiven Prozeduren zeigt sich ein wachsendes Interesse an Verfahren, die dem Optimierer in jeder Entscheidungsphase eine Handvoll von unabhängigen Punkten, anstelle eines einzelnen Punktes zur Auswahl stellt.

Dies rührt von der Absicht her, eine immer größere Vielfalt an Informationen in die Suche nach dem Optimum mit einzubeziehen, die der vorher gemachten Definition der Präferenzinformation willkürlich innewohnen^[4]. Das LBS-Verfahren baut auf diesen Anforderungen auf.

Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Gegenüberstellung von ein- und mehrdimensionalen Optimierungsproblemen, so dass die Problematiken der Mehrdimensionalität und der mit ihr verbundenen Wahlmöglichkeit erkannt und beschrieben werden können.

Es wird fortgefahren mit der Abhandlung über mehrdimensionale Entscheidungsfindungsinstrumente. Im Laufe dieser Abhandlung wird eine interaktive Prozedur vorgestellt, um dem Leser die namensgebende „Interaktivität“ zu verdeutlichen. Desweiteren geht dieses Kapitel auf die Alternativenauswahl und die mit ihr verbundene Problematik ein. Im Zuge dessen werden sukzessiv Lösungsmöglichkeiten für auftretende Probleme vorgestellt, so z.B. das Axiom der begrenzten Vergleichbarkeit (axiom of limited comparability). Die Vorstellung dieser Verfahren mündet in der Feststellung einer begrenzten Anwendbarkeit, die die Autoren zur Erarbeitung des „Light Beam Search“ Verfahren veranlasste.

Der dritte Abschnitt widmet sich dem oben genannten „Light Beam Search“ Verfahren. Es werden seine Entstehungsgründe dargestellt und in aller Ausführlichkeit das Verfahren erklärt. Fortgefahren wird mit einem Vergleich zwischen dem LBS Verfahren und anderen populären Verfahren der mehrdimensionalen Optimierungsproblematik.

Der letzte Abschnitt beinhaltet die Schlussbetrachtung. Hier wird ein Fazit gezogen, das vorgestellte Verfahren kritisiert und ein Ausblick auf mögliche Weiterentwicklungen gegeben.

Allgemein ist beim Verfassen der Arbeit darauf geachtet worden, mathematische Formeln, die für das Verfahren eine große Bedeutung besitzen, zu erwähnen, da sie das Verständnis für das Verfahren verbessern.

2. Gegenüberstellung von ein- und mehrdimensionalen Optimierungsproblemen

Es stellt sich die Frage, was der Unterschied zwischen ein- und mehrdimensionalen Optimierungsproblemen ist.

Zu eindimensionalen Optimierungsproblemen kann gesagt werden, dass sie die einfachste Form des Entscheidungsproblems darstellen, wie sie einem Menschen tagtäglich begegnen können. So ist z.B. die Entscheidung beim Einkauf zwischen zwei gleichwertigen Produkten mit unterschiedlichem Preis ein eindimensionales Entscheidungsproblem, wenn der Käufer nur Wert auf die Preise als Entscheidungskriterium legt. Dem Entscheidungsträger, hier der Einkäufer, stehen eindeutige Entscheidungsdaten zur Verfügung: die Preise der Produkte. Ist eines der sonst gleichwertigen Produkte billiger, wird die Entscheidung zugunsten dieses Produkts ausfallen. Es gibt für den Entscheidungsträger also nur ein einziges Kriterium, das ausschlaggebend für die Wahl ist, in diesem Fall der Preis. Diese Eindimensionalität ist aber die Ausnahme.

Allgemein ist über Entscheidungsmodelle zu sagen, dass sie eine formale Darstellung eines Entscheidungsproblems darstellen, dass wenigstens eine Alternativenmenge X und wenigstens eine auf diese definierte Zielfunktion z enthält. Die Elemente x Î X sind die zur Auswahl stehenden Alternativen. Diese Alternativenmenge heißt auch Zulässigkeitsbereich. Sie wird durch Gleichungen und/oder Ungleichungen beschrieben, den sogenannten Nebenbedingungen.^[5]

Handelt es sich bei den oben genannten Alternativen um Vektoren, so liegt eine Mehrdimensionalität vor. Genauer gesagt heißt das, wenn bei einem Optimierungsproblem mehr als ein Kriterium mit zur Entscheidung beiträgt, dann handelt es sich um ein mehrdimensionales Optimierungsproblem. Bezogen auf einen Automobilbauer könnte ein stark vereinfachtes mehrdimensionales Optimierungsproblem z.B. den Preis eines Stoßdämpfers und den mit diesem Modell verbundenen Komfort in Betracht ziehen. Aufgabe des Entscheidungsträgers ist es nun, ein Optimum aus Preis und Komfort, sprich durch den Fahrer empfundener Qualität des Autos, zu finden. „Die Beschäftigung der Entscheidungstheorie mit Entscheidungsproblemen bei mehrfacher Zielsetzung resultiert aus der Tatsache, dass die Suche nach einer Entscheidung in realen Entscheidungssituationen sich häufig nicht nur an einer einzigen Zielgröße orientiert. Folglich verlangt eine realitätsnähere

Abbildung des Entscheidungsproblems im Modell die Berücksichtigung des gesamten Katalogs der verfolgten Zielsetzungen.“^[6]

Bei typischen Entscheidungsproblemen werden häufig Parameter miteinander verglichen, die zunächst als nicht vergleichbar eingestuft würden. Der Entscheidungsträger verfolgt bei seinem Optimierungsproblem K Zielsetzungen. Werden die K Zielfunktionen zu der vektorwertigen Zielfunktion (z1(x), ... , zk(x))T zusammengefasst, so lässt sich das Entscheidungsproblem bei mehrfacher Zielsetzung durch die Aufgabe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

darstellen. Wenn nun für dieses Problem eine Lösung xo Î X existiert, reduziert sich das Entscheidungsproblem auf eine Aufgabe mit einer Zielsetzung. xo Î X heißt genau dann perfekte Lösung zum obigen Vektormatrixproblem, wenn für jedes k = 1, ... , k die Beziehung gilt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Interessant im Rahmen der Entscheidungstheorie mit mehrfacher Zielsetzung sind aber

diejenigen Fälle, bei denen mindestens zwei der K Ziele konkurrieren, d.h. „falls für mindestens zwei der K Zielfunktionen die zugehörigen Mengen der Optimallösung disjunkt sind“.^[7] Dies ist z.B. der Fall bei umwelttechnischen Optimierungsproblemen, wenn es um die Abwägung zwischen Umweltverträglichkeit und Effektivität der Anlage geht. In diesen Fällen hat der Entscheidungsträger zwischen verschiedenen ihm unterbreiteten Möglichkeiten zu

wählen. Er wird eine Handlungsalternative x aber nur dann als Lösung des Entscheidungsproblems anerkennen, falls kein Zielfunktionswert ohne Verschlechterung der anderen Zielfunktionswerte verbessert werden kann.

Die oben beschriebenen Optimierungsprobleme lassen sich erweitern, indem man davon ausgeht, dass die Werte der Zielfunktionen zk, k = 1, ... , K, nicht nur von der Wahl der

Lösung x abhängen, sondern noch eine zweite Variable Einfluss nimmt auf die Zielfunktionswerte, und zwar die Faktorenumwelt.^[8] Nimmt man z.B. an, dass die Variable S diese erfolgswirksamen Zustände der Umwelt charakterisiert, dann ergibt sich für die k-te Zielsetzung die Formulierung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die weitere Behandlung des Problems soll hier nicht näher beschrieben werden.

3. Das Instrument der mehrdimensionalen Entscheidungsfindung

3.1 Prozedurinteraktivität

Die Interaktivität spielt bei den Entscheidungsprozessen eine große Rolle. Sie ist es, die dem Entscheidungsträger die Möglichkeit gibt, Einfluss zu nehmen auf den weiteren Verlauf des Entscheidungsprozesses. Interaktivität ist laut Duden definiert als Dialog zwischen Computer und Benutzer.^[9] Lässt man zunächst einmal die praktische Durchführung von Entscheidungsprozessen mittels Computerunterstützung außen vor und betrachtet nur den prinzipiellen Aufbau einer solchen Prozedur, so ist mit Interaktivität der Dialog zwischen Entscheidungsträger und Prozedur gemeint, also die Miteinbeziehung des Entscheidungsträgers in die Suche nach dem Optimum für ein Optimierungsproblem.

Einstiegspunkt einer interaktiven Entscheidungsprozedur ist die Definition von Präferenzinformationen, also solchen Definitionen, die nach Ansicht des Entscheidungsträgers erfüllt sein müssen, damit das Ergebnis überhaupt realisierbar bzw. sinnvoll ist. Als Beispiel sollen hier die für den Bau einer chemischen Anlage vorgegebenen Präferenzinformationen herangezogen werden. Es gibt in diesem Beispiel genau 4 Variablen, die zur Betrachtung herangezogen werden müssen: Als erstes ist das Reaktorvolumen V zu nennen, das minimiert werden soll. Die zweite Variable ist das Gewicht des Katalysators W ct, welches ebenfalls zu minimieren ist. Als dritte Variable ist die Produktionsmenge P A des eigentlichen Endproduktes p -xyclene, einem chemischen Basisstoff, zu nennen, welche zu maximieren ist. Abschließend soll noch die Konzentrationsrate CR zwischen p -xylene und o -

[...]

^[1] vgl. Bronner, S. 9

^[2] vgl. Bronner, S. 11

^[3] vgl. Porzelt, S. 29