Implizit kohärente Fluidsysteme

Aus dem Inhalt:

Lagrange Kohärenter Systeme

Induktionswirksamkeit

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Bibliographie

Michel Felgenhauer, Berlin

Lagrange-Kohärenzstrukturen (LCS) sind separierte Oberflächen von Trajektorien in einem dynamischen System, die über ein relevantes Zeitintervall großen Einfluss auf benachbarte Trajektorien ausüben. Die Art dieses Einflusses kann variieren, erzeugt jedoch ausnahmslos ein kohärentes Trajektorienmuster, für das das zugrundeliegende LCS als theoretischer Kern dient. Bei der Beobachtung von Tracermustern in der Natur kann man leicht kohärente Merkmale identifizieren, aber es ist häufig die zugrundeliegende Struktur, die diese Merkmale erzeugt, von Interesse.

Lagrange coherent structures (LCS) are separated surfaces of trajectories in a dynamic system, which exert a great influence on neighboring trajectories over a relevant time interval. The nature of this influence can vary, but invariably creates a coherent trajectory pattern for which the underlying LCS serves as the theoretical core. When observing tracer patterns in nature, one can easily identify coherent features, but it is often the underlying structure that creates these features of interest.

Lagrange Kohärenter Systeme.

Im September 1988 findet die Versammlung der Gesellschaft Deutscher Natur-wissenschaftler und Ärzte statt. Die GDNĹ versammelt alle zwei Jahre Wissen-schaftler unterschiedlicher Disziplinen, um gemeinsam über neue Entwicklungen in Naturwissenschaften, Medizin und Technik zu diskutieren. Ende der 80er Jahre befinden wir uns in der Hochphase der Chaos-Theorie. Das Thema reicht hinein bis in die Ingenieurwissenschaften, auch wenn uns jungen Wissen-schaftlern damals noch vollkommen unklar ist, was das im einzelnen und Speziellen zu bedeuten hat. Eine diffuse Ahnung vor dem Hintergrund der Evolutionsstrategie ist aber tätig spürbar. Erst in den 90ern werden wir eine Verbindung der Chaos-Theorie mit jenen Prinzipien der biologischen Muster- und Gestaltentstehung in Computermodelle implementieren, an denen wir zu dieser Zeit arbeiten. Also einige wenige von uns. Meine erste Uni-Maschine ist eine ultraschnelle! Olivetti 086; ich quäle mich mühsam durch frühe Pascal-Codes und vermisste die liebenswerten GOTO-Schleifen und FLAGs aus meiner Fortran-Vergangenheit. Freitagabends ist mein „Theorie-Tag“, der nicht selten am kleinen Windkanal, den wir Institutsmitarbeiter außerhalb des Übungs-betriebs für eigene Untersuchungen nutzen dürfen, endet. Kongresse zu besuchen ist für Selbstzahler kaum finnannzierbar, aber die GDNÄ verschickt an seine Mitglieder noch im alten Jahr einen wertig gebundenen Tagungsband. Also herrscht heute zwischen Kaffeemaschine, Büropflanze und Ashenbecher knisternde Neugierstimmung.

In den Erläuterungen zum Rahmenthema der Versammlung der GDNÄ heißt es, dass die Tagung aufzeigen wird, wie einerseits aus ungeordneten, chaotischen Zuständen Ordnungsstrukturen entstehen und andererseits eine Umkehrung der Ordnung zum ungeordneten Zustand stattfinden kann².

Der Übergang in die Nichtlinearität dynamischer Systeme, wird als verknüpft mit dem Verlust und der Auflösung superponierbarer Wahrscheinlichkeits-amplituden (Großmann 1989) erkannt und als Beispiel für die Nichtlinearität der Bewegungsgleichungen für Strömungen, die Karman’sche Wirbelstraße genannt. Als Merkmal, sie in ansonsten homogenen Strömungen aufzufinden und gleichsam als Maß für die Nichtlinearität in einem Bewegungsgesetzt gilt damals bereits die Summe aller positiven Lyapunoff-Exponenten K in einer Region mit Δt = F[(1/K) ln (Δx/df)]³. Eine Dekade später taucht das Akronym „LCS (Lagrange Coherent Structures)“ erstmals auf. Zu dieser Zeit fällt auch dem Lyapunoff-Exponenten bei der Lokalisierung von Kohärenzstrukturen aus Bilddaten die entscheidende Rolle zu. Heute (2021) besitzen wir eine geschlossenen Definition⁴:

Lagrange-Kohärenzstrukturen (LCS) sind separierte Oberflächen von Trajektorien in einem dynamischen System, die über ein interessierendes Zeitintervall einen großen Einfluss auf benachbarte Trajektorien ausüben. Die Art dieses Einflusses kann variieren, erzeugt jedoch ausnahmslos ein kohärentes Trajektorienmuster, für das das zugrundeliegende LCS als theoretischer Kern dient. Bei der Beobachtung von Tracermustern in der Natur kann man leicht kohärente Merkmale identifizieren, aber es ist häufig die zugrundeliegende Struktur, die diese Merkmale erzeugt, von Interesse.

Physikalische Phänomene, die von LCS gesteuert werden, umfassen schwim-mende Trümmer, Ölverschmutzungen, Oberflächendrifter und Chlorophyllmuster im Ozean; Wolken aus Vulkanasche und Sporen in der Atmosphäre; und kohärente Massenmuster, die von Menschen und Tieren gebildet werden.

Die inzwischen etablierte Theorie Lagrange Kohärenter Systeme wurde in den frühen 2010er Jahren am Lefschetz Center for Dynamical Systems der Brown University, später an der ETH Zürich, dort am Department of Mechanical and Process Engineering, entwickelt. Das Akronym „Lagrange Coherent Structures, LCS“ stammt von Haller & Yuan. Haller suchte nach einem Ansatz, die abstoßenden und anziehenden Fluidbewegungen in realen Scherschichten zu beschreiben. Beschleunigte Scherschichten sind im Labor nur in speziellen mehrgebläsigen Windkanälen sicher generierbar. In Zürich wusste man dies aus der experimentellen Vergangenheit und hatte beobachtet, dass innerhalb fluidischer Regime Systemgrenzen im Sinne von „Materialoberflächen“ existie-ren, die zusammenhängende Strukturen von der restlichen Strömung separieren (Lyapunoff). Diese extraordinären Systeme entwickeln eine komplexe körper- und richtungsbezogene Dynamik innerhalb einer Strömung. Als man in Zürich mit der Forschung ansetzte, konnten die Wissenschaftler auf keine tragfähigen theoretischen Modelle zur quantitativen Beschreibung dieser sonderbaren physikalischen Geschehnisse zugreifen. Rasch wurde klar, dass es zukünftig großvolumiger, numerischer Modelle und komplexer Simulationen bedarf, diese seltsamen Systemoberflächen der nunmehr Lagrange Coherent Structures, LCS genannten Systeme in Strömungsszenarien aus experimentellen und nume-rischen Daten zu isolieren und sie notfalls mit einer vereinfachenden Heran-gehensweise beschreibbar zu machen. Sie zu verstehen. Hallers Forschung ging anfangs der Frage nach, ob es gelingen könne, Mischung, Entmischung und Massetransport in und um Lagrange Kohärenter Systeme in komplexen flui-dischen Systemen vorherzusagen oder sogar zu beeinflussen. Es wurden im Zuge der Theoriebildung nichtlineare dynamische Systemmethoden entwickelt, um komplexe Probleme in angewandter Wissenschaft und Technik zu lösen, etwa die Analyse von Transportprozessen und Kohärenz in einem Ozean und in der Atmosphäre, die Echtzeiterfassung von Luftturbulenzen in der Nähe von Flughäfen, die Theorie und Kontrolle der instationären, aerodynamischen Trennung, die Dynamik von Trägheitsteilchen unter Gedächtniseffekten und die Theorie des dynamischen Übergangszustands bei chemischen Reaktionen.

Gute Strömungs-Simulationsmodelle sind per se „sich selbst überlassene, Physik basierte Wechselwirkungs-Generatoren“. Typisch ist und das eigentliche Motiv für den Einsatz von Strömungs-Simulationsmodellen, dass ein Experimentator vor einer Simulation oftmals, aber nicht immer, weiß, wie sich das synthetische Fluid selbst im Strömungsraum verhalten wird. Der Vorteil einer Simulation gegenüber Beobachtungen in der Natur ist, dass zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort eine informationelle Kontrolle der physikalischen Wechselwirkungs-parameter herrscht. Erst in einem nachgeschalteten Prozess wird aus dem Datenmaterial physikalischer Wechselwirkungen analytisch verwertbares Bild-material. Graduelle Wirbeligkeit und Geschwindigkeitsverteilungen von und in LCO in Strömungen können als zusammenhängende Strukturen unterschied-licher Einfärbung in einem Fluid dargestellt werden. Aus dem Datensatz einer Strömungssimulation lassen sich deshalb auf einfache Weise Druck- oder Geschwindigkeitsgradienten isolieren und dieserart Lagrange Kohärente Strukturen aus einer Strömung extrahieren.

Die notwendigen Vorprozesse zur Analyse LCS-behafteter Strömungen richten sich im Falle einer (Strömungs-) Simulation auf die Sichtung des Datenmaterials und eine auf physikalische Effekte basierte Detektion und Isolation Lagrange kohärenter Strukturen.

Im Bildmaterial aus der Beobachtung natürlicher Strömungen ist diese Information nicht unmittelbar enthalten. Die Züricher Gruppe um G. Haller entwickelt um 2010 auf die besonderen Kontureigenschaften Lagrange Kohärenter Systeme zielende Bildverarbeitungs-Methoden für Messdaten aus der realen Welt. Das Auffinden zusammenhängen der Lagrange Kohärenter Strukturen gelingt dieserart mit dem oben anerörterten, so genannten „Finite-Time-Lyapunov-Exponenten (FTLE)“. Der (an die digitale Bildverarbeitung angepasste) Lyapunow-Exponent beschreibt hier die Geschwindigkeit, mit der sich zwei benachbarte Punkte im Strömungsraum voneinander entfernen oder annähern. Ein Feld aus FTLE enthält also Merkmale von Kohärenz von Strukturen und Oberflächen in dynamischen Szenerien. Im Prinzip funktioniert diese Gradientenanalyse auch in der artifiziellen Welt der CFD-Simulationen. Eine Forschergruppe um Sun und Colagrossi formuliert (2016) die FTLE-Methode im Kontext einer Smoothed Particle Hydrodynamics-Simulation. Das Verfahren der Finite-Time-Lyapunov-Exponenten gehört heute zum generalen instrumentellen Repertoire im Vorfeld einer Untersuchung kohärenter Strömungsgrößen. FTLE kann ausserdem einer digitalen Analyse von Komplexitätspatrametern (beisiels-weise der fraktalen Dimension) einer in der Strömung enthaltenenen Unter-struktur (Fluid within a Fluid) vorangestellt werden immer dann, wenn die Informationen über die Strömung als zeitbasierte Daten vorliegen; vulgär: als Film. Genau dies ist aber eher selten der Fall. In der Regel und in den allermeisten Untersuchungen erschöpft sich das Datenmaterial über Lagrange Kohärente Strukturen in einer Serie von Darstellungen oder besteht sogar nur aus einem einzigen Abbild der Strömung. Hier sind eine andere Art bildverarbeitender Verfahren anzuwenden. Visuelle Daten zu verarbeiten ist kompliziert und die Datenmächtigkeit von Bildern ist ihrem Wesen nach hoch. Früher ein isoliertes Spezialgebiet, hat sich die digitale Bildverarbeitung und die Anwendung professioneller Computerprogramme in den letzten zwanzig Jahren zu einem Standardinstrument der digitalen Muster- und Signalanalyse entwickelt.

In der wissenschaftlichen Analysepraxis stellt sich das frei verfügbare Programm-system „ImageJ“ als sehr leistungsfähiges Instrument dar. Es ist gut doku-mentiert und stellt alle wichtigen Bildverarbeitungsverfahren vom Stand der Technik zusammen. Der Konturverfolgung in den Bildern über Strömungen, die Lagrange Kohärente Objekte enthalten, kann generell eine (graduelle) Signal-verarbeitung vorangestellt werden. Eine universelle und in der Sammlung der ImageJ-Routinen enthaltene Standardmethode ist das als „Lagrange-Filter“ bekannte Verfahren 2. Grades. Der Lagrange-Filter liefert ein kantenverstärktes Abbild der Bilddatenvorlage und kann bis zu einer gewünschten Konturschärfe iterativ angewendet werden. Alternativ dazu: ein rabiates, ableitungsfreies Matrizen-Verfahren nach dem Vorbild der lateralen Inhibition in Komplexaugen von Insekten, wurde speziell zur (Echtzeit-) Analyse bewegter Fluide entwickelt⁵.

Wie mögen wir uns darüber hinaus ein Lagrange Kohärentes System, eine der Strömung implizite fluidische Gestalt, ein „Fluid within a Fluid“, vorstellen? Stand der Wissenschaft und Gegenstand der Theorie über Lagrange Kohärenter Systeme Hallers, sind invariante Mannigfaltigkeiten. In dynamischen Systemen ist eine invariante Mannigfaltigkeit, eine solche topologische Mannigfaltigkeit, die gegenüber Wirkungen des dynamischen Systems invariant ist. Die Topologie des Systems bleibt gegenüber der physikalischen Wirkung erhalten und unbeeindruckt. Eine topologische Mannigfaltigkeit ist dieserart selbst ein topologischer, n-dimensionaler Raum. Für unsere Betrachtungen in einem dreidimensionalen Strömungsraum deutet eine topologisch invariante Mannig-faltigkeit hin auf eine aneinanderhängende, inerte topologische Struktur innerhalb eines Betrachtungsraumes, der glücklicherweise eine euklidische Metrik besitzt. Die Zulässigkeit von Wandelbarkeit der (äußeren) Form Lagrange Kohärenter Objekte fordert also gewisse absolute und begrenzende Prinzipien ein. Das LCO besitzt Wandelbarkeit lediglich unter den Spielregeln topologischer Konformität und transformatorischer Affinität. Das klingt kompliziert, ist aber von praktischer Relevanz immer dann, wenn wir uns hinsichtlich der physika-lischen Eigenschaften Lagrange Kohärenter Objekte auf die Konsequenzen der drei Helmholtz‘schen Wirbelsätze zurückziehen.

Wie aber erklärt sich die durch Systemgrenzen motivierte Körperhaftigkeit eines Fluids in einem Fluid im Sinne hüllender Oberflächen von Lagrange Kohärenten Objekten? Wir identifizieren eine opake, aneinanderhängende Struktur inner-halb eines Fluids und nennen sie homöomorph genau dann, wenn eine Abbildung aller ihrer Elemente zwischen zwei topologischen Räumen, bijektiv, stetig und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist⁶. Eine invariante Mannigfaltigkeit bleibt unter jedweder physikalischen Wechselwirkung im dynamischen Systems invariant, also topologisch intakt. Verallgemeinernd gilt: Morphismen – auf semantischer Ebene betrachtet - sind streng strukturer-haltend. Wenn die Möglichkeit der konformen Abbildung nicht gegeben ist, existiert auch kein funktionaler Zusammenhang im mathematischen Sinn. Und: Funktionen sind immer Abbildungen zwischen geordneten Mengen, also Strukturen. Ein Merkmal einer zusammenhängenden Struktur soll die (System-) Grenze gegenüber dem restlichen Strömungsraum sein. Die Oberfläche eines Lagrange Kohärenten Wirbelfadens ist eine separierte beschleunigte Scher-schicht. Sie fällt zusammen mit einem Geeschwindigkeitsgradienten und stellt somit eine Systemgrenze gegnüber dem restlichen Strömungsraum dar. Mit allen Konsequenzen für eine zukünftige Ausformulierung der Navier-Stokes Gleichun-gen für Lagrange Kohärente Objekte⁷.

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¹ Die Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte e. V. (GDNÄ) ist die älteste und größte interdisziplinäre wissenschaftliche Gesellschaft in Deutschland. Sie wurde 1822 von dem Naturphilosophen und Arzt Lorenz Oken in Leipzig gegründet. Berühmte Forscherpersönlichkeiten wie Alexander von Humboldt, Albert Einstein, Max Planck und Christiane Nüsslein-Volhard präsentierten ihre Forschungsergebnisse auf den Versammlungen der GDNÄ und stellten sich der fachübergreifenden Diskussion.

² Tagungsband der 115. Verhandlungen der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte e. V. (1988). Der Autor war von 1988 bis 2012 Md GDNÄ.

³ Δt = F[(1/K) ln (Δx/df) ]3. Messgrößen Δx werden in einem Zeitintervall Δt mit der Messungenauigkeit df untersucht. K ist der Lyapunoff-Exponent.

⁴ Lagrange kohärente Struktur, nach wikipedia - https://de.qaz.wiki/wiki/Lagrangian_coherent_structure

⁵ Felgenhauer (2019): BIONIK UND DIGITALE BILDVERARBEITUNG, Laterale Inhibition und Aktivierung. ISBN(e-Book) 9783668874541, ISBN(Buch): 9783668874558

⁶ Invariante Mannigfaltigkeit - https://de.qaz.wiki/wiki/Invariant_manifold

⁷ Die Rede greift der Ausformulierung einer Theorie der Lagrange Implicite Vorticity voraus, dies bitte ich zu entschuldigen. Aber es eilt. Wir Alle begreifen dieser Tage, dass wir sterblich sind.