Dividendenschutz auf Aktienoptionen

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Aktienoptionen
2.1 Definition von Aktienoptionen
2.2 Komponenten und Einflussfaktoren des Wertes einer Option

3 Das Binomialmodell nach Cox, Ross und Rubinstein
3.1 Einperiodiges Binomialmodell
3.2 Mehrperiodiges Binomialmodell

4 Gewährung von Dividendenschutz
4.1 Ausschüttungsschutz nach Merton
4.2 OTC-Schutz

5 Fazit

Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Optionen, eine der wichtigsten Formen der derivativen Finanzinstrumente auf dem Kapitalmarkt, sind für Unternehmen von großer Bedeutung. Aktienoptionen sind Optionen, welche den der Optionen zugrundeliegenden Basiswert in Form von Aktien haben. Der Gegenwartswert einer Option hängt mit deren Basiswert eng zusammen, welcher wiederum durch die Unternehmensausschüttung beeinflusst werden kann. Eine solche Option wird als ausschüttungsungeschützt bezeichnet. Eine Option, deren Barwert nicht von der Dividendenausschüttung beeinflusst wird, wird als sogenannte dividendengeschützte Option bezeichnet, wobei verschiedene Formen von Dividendenschutz entstehen. Die wichtigste Form des Dividendenschutzes ist der von Merton definierte Dividendenschutz. Er definiert Dividendenschutz als eine invariante Entwicklung des Optionswertes gegenüber der Dividendenpolitik des Unternehmens unter der Annahme einer bekannten Investitionspolitik und Kapitalstruktur. Neben dem nach Merton definierten Dividendenschutz ist im Allgemeinen auch der Over-the- counter-(OTC-)Schutz zu berücksichtigen. Der sogenannte OTC-Schutz erfolgt dadurch, dass sich der Optionsbasiswert um einen mit dem Abschlag des Aktienkurses identischen Wert des Ausschüttungsbetrags verringert, daher gilt der OTC-Schutz im Gegensatz zu dem Merton-Ausschüttungsschutz als ein unvollständiger Dividendenschutz.

Ziel dieser Arbeit ist, zu diskutieren, wie die Gewährung von Dividendenschutz zum einen nach Merton und zum anderen unter der OTC-Annahme durchzuführen ist. Dabei werden insbesondere die binomialverteilte Investitionsrendite und Kapitalstruktur mithilfe des Verschuldungsgrades unter der Annahme des Dividendenschutzes berücksichtigt.

Nachdem im ersten Kapitel das Ziel dieser Arbeit kurz erläutert wird, werden im zweiten Kapitel die Definition von Aktienoptionen und deren Positionen kurz beschrieben. Im dritten Kapitel ist das, der Bepreisung des Optionswertes zugrundeliegende Bino- mialmodell nach Cox, Ross und Rubinstein darzustellen, wobei zwischen dem einpe- riodigen Fall und dem zweiperiodigen Fall zu unterscheiden ist. Das vierte Kapitel konzentriert sich auf die Gewährung von Dividendenschutz. Hier werden zwei verschiedene Formen von Dividendenschutz erläutert. In Kapitel Fünf werden die Ergebnisse dieser Arbeit kurz zusammengefasst.

2 Aktienoptionen

2.1 Definition von Aktienoptionen

Bei der Option handelt es sich um einen Vertrag, welcher ein Wahlrecht anbietet.¹ Der Käufer (Optionsinhaber) von Optionen erhält das Recht, eine bestimmte Anzahl von Optionen mit zugrundeliegendem Vermögensgegenstand (Underlying) zu einem im Voraus vereinbarten Preis zu oder vor einem bestimmten Verfallsdatum zu kaufen (Kaufoption) oder zu verkaufen (Verkaufsoption), statt den Optionspreis (Optionsprämie) an seine Vertragspartner zu zahlen.² Diese Vermögensgegenstände können Aktien, Zinsen oder Warenstoffe sein.³ Optionen, bei deren Basiswert es sich um Aktien handelt, werden als Aktienoptionen bezeichnet, die in dieser Arbeit hauptsächlich diskutiert werden.⁴ Zusätzlich zur tatsächlichen physischen Lieferung der zugrunde liegenden Aktie kann auch vereinbart werden, dass der Verkäufer dem Optionsinhaber bei Ausübung der Option die Differenz zwischen dem im Optionsvertrag vereinbarten Grundpreis und dem gegebenen Marktpreis der zugrunde liegenden Aktie zahlen muss.⁵ Nach dem Ausübungszeitpunkt können europäische Optionen von amerikanischen Optionen unterschieden werden. Eine Option, die ausschließlich am letzten Tag der Laufzeit ausgeübt werden kann, wird als europäische Option (european style option) bezeichnet, während eine amerikanische Option (american style option) zu jederzeit bis zum Verfallsdatum der Option ausgeübt werden kann. In Deutschland sind beide Typen von Optionen zu finden.⁶ Bei einer Kaufoption erwirbt der Käufer gegen die Zahlung der Optionsprämie das Recht, während der Optionsfrist die der Option zugrundeliegenden Handelsobjekte zum im Voraus vereinbarten Kurs vom Verkäufer zu kaufen. In diesem Fall ist der Optionsverkäufer der Stillhalter in Waren. Bei einer Verkaufsoption erhält der Käufer gegen die Zahlung des Optionspreises das Recht, während der Laufzeit der Option die der Option zugrundeliegenden Aktien zum festgelegten Kurs an den Verkäufer abzugeben und der Verkäufer ist in dem Fall der Stillhalter in Geld. Bei einem Optionsgeschäft sind insgesamt vier mögliche Positionen zu berücksichtigen, nämlich der Kauf von Kaufoptionen (Long Call), der Kauf von Verkaufsoptionen (Long Put), der Verkauf von Kaufoptionen (Short Call) und der Verkauf von Verkaufsoptionen (Short Put).⁷

2.2 Komponenten und Einflussfaktoren des Wertes einer Option

Der Optionswert lässt sich grundsätzlich in die zwei Komponenten, innerer Wert und Zeitwert aufteilen.

Es gilt: Optionswert = Innerer Wert + Zeitwert

Der innere Wert einer Call-Option, zu jedem Zeitpunkt, wird aus der positiven Differenz zwischen dem Kassakurs und dem Ausübungspreis des zugrunde liegenden Handelsobjektes zu diesem Zeitpunkt abgeleitet oder Null, wenn die Differenz negativ ist und der Optionsinhaber zu diesem Zeitpunkt keinen Nutzen daraus ziehen kann, wenn die Option ausgeübt wird. Der innere Wert einer Put-Option entspricht der Differenz zwischen dem Ausübungspreis und dem Kassakurs oder Null, wenn die Differenz negativ ist.⁸ Dieser positive innere Wert stellt einen Gewinn für den Optionsinhaber dar, wenn er die Option ausübt.⁹ Anhand der Differenzgröße und des Vorzeichens können drei mögliche Fälle auftreten. Liegt bei der Verkaufsoption der Basispreis höher als der Aktienkurs oder bei der Kaufoption liegt der Basispreis unter dem Aktienkurs, so ist eine Optino Im-Geld-Option (in-the-money). Entspricht der Basispreis dem Aktienkurs, so wird von einer Im-Geld-Option gesprochen. spricht man davon, dass die Option am Geld (at-the-money) liegt. Gilt der Basispreis über dem Aktienkurs bei der Kaufoption oder Basispreis unter dem Aktienkurs bei der Verkaufsoption, liegt die Option in diesem Fall aus dem Geld (out-of-the-money). Die Differenz zwischen dem inneren Wert einer Option und dem Optionspreis am Markt wird als Zeitwert oder Zeitprämie bezeichnet. Der Optionskäufer zahlt die Zeitprämie, um die Möglichkeit zu erhalten, von Änderungen der Aktienkurse zu profitieren.¹⁰

Bei Aktienoptionen gibt es sechs Faktoren, die den Optionspreis beeinflussen. Diese sind:

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Eines der wichtigsten Einflussgrößen ist der Kurs des Basisobjektes. Dies liegt daran, dass Optionen direkt mit der Entwicklung der zugrunde liegenden Wertpapiere verbunden sind.12 Der Kurs des Basisobjektes K und der aktuelle Aktienkurs S geben die Optionspreisunter- und Obergrenze an. Der Erstere bestimmt die Preisuntergrenze, und die Obergrenze wird durch den aktuellen Aktienkurs festgelegt. Am letzten Tag des Verfallsdatums wird der Optionswert ausschließlich vom Basispreis und dem Aktienkurs bestimmt, welcher dem inneren Wert entspricht, dessen Obergrenze bei einer Kaufoption S—K und Untergrenze Null ist.

Es gilt: C = max. {0, S—K}.

Die Volatilität a der Aktienkurse gibt an, inwieweit sie um das Durchschnittsniveau schwankt.13 Diese werden mit statistischen Varianz- oder Standardabweichungsmethoden ermittelt. Je höher die Volatilität ist, desto größer ist, ceteris paribus, der Optionspreis.14 Je höher die Preisvolatilität ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Wert des zugrunde liegenden Handelsobjektes während der Laufzeit ändert. Der Optionspreis steigt mit der längeren Restlaufzeit. Selbst wenn der zugrunde liegende Basispreis und der Ausübungspreis der beiden Optionen gleich sind, ist der Wert der Optionen mit längerer Restlaufzeit aufgrund des höheren Zeitwerts höher als der Wert der Optionen mit kürzerer Restlaufzeit. Die Auswirkungen risikofreier Zinssätze r auf die Optionspreise lassen sich am deutlichsten anhand des Stillhalters erklären. Als Verkäufer von Call-Optionen hält der Stillhalter das zugrunde liegende Wertpapier, damit es dem Optionsinhaber bei Ausübung der Option zugestellt werden kann. Wenn der risikofreie Zinssatz steigt, verliert der Stillhalter Zinserträge, weil er den Gegenstand nicht liquidieren und nicht in die Erträge investieren kann. Der Optionskäufer muss seinen Verlust kompensieren. Der Preis einer Call-Option steigt mit steigendem risikofreien Zinssatz. Im Gegensatz dazu sinkt der Wert von Put-Optionen mit steigendem risikofreien Zinssatz.15 Der Dividendenbetrag D wirkt sich negativ auf den Wert der Call-Optionen aus. Der Stillhalter der Aktie erhält innerhalb der Gültigkeitsdauer der Option eine Dividendenzahlung. In diesem Fall hat der Optionsbesitzer, der nicht durch die Dividende geschützten Kaufoption keine Aktien. Im Allgemeinen sinkt^{11 12 13 14 15} der Wert einer Kaufoption unter sonst gleichen Bedingungen mit der steigenden Dividende.¹⁶ Ausführliche Darstellung des Einflusses der Dividendenausschüttung auf den Optionswert wird in Kapitel 3.2 im zweiperiodigen Binomialmodell erläutert.

3 Das Binomialmodell nach Cox, Ross und Rubinstein

3.1 Einperiodiges Binomialmodell

Obwohl die Einflussfaktoren der Optionspreise inzwischen bekannt sind, reicht es nicht aus, die aktuellen Optionspreise zu berechnen. Es gibt verschiedene Standardmodelle zur Berechnung von Optionspreisen. Eine nützliche und verbreitete Methode zur Preisgestaltung einer Option besteht darin, einen Binomialbaum zu erstellen. Dies ist ein Modell, welches im Jahr 1973 von Cox, Ross und Rubinstein entwickelt wurde und zwei verschiedene mögliche Wege darstellt, denen der Aktienkurs über die Laufzeit einer Option folgen kann. Die Grundannahme ist, dass die Aktienkurse stochastischen Schwankungen unterliegen. Es hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, um über einen bestimmten prozentualen Betrag aufzusteigen, und eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, um einen bestimmten prozentualen Betrag nach unten zu gehen.¹⁷ Zu jedem Zeitpunkt entwickelt sich der Aktienkurs nur zu einem der beiden Werte. Auch zu berücksichtigen ist, dass beim Binomialmodell alle Transaktionen und Kursermittlung in diskreter Zeit erfolgen und die Zeitspanne zwischen den Zeitpunkten bleibt immer gleich. Diese Zeitpunkte sind als t = 0, 1, ..., T zu bezeichnen. Zusätzlich wird unterstellt, dass diese Transaktionen in einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt stattfinden, wobei weder Steuer noch Transaktionskosten entstehen. Die auf diesem idealen Markt gehandelten Optionen können nicht vor dem Verfallsdatum, sondern nur zum im Voraus vereinbarten Termin ausgeführt werden, d.h. hierbei ist ausschließlich der europäische Typ von Optionen zu betrachten, dessen zugrunde liegende Aktien keine Dividendenausschüttung haben.¹⁸

Betrachtet wird eine Aktie mit einem Kurs von So und eine von dieser Aktie abhängige europäische Kaufoption zum Preis C. Angenommen, dass die Kaufoption für die Zeit T andauert und dass der Aktienkurs während der Laufzeit der Option entweder von So auf einen höheren Wert Sou steigt, wobei Faktor u > 1 ist, oder von So auf einen nied-rigeren Wert Sod sinkt, wobei Faktor d < 1 ist. Hier werden die Änderungen des Aktienkurswertes in beiden Fällen als u—1 und 1— d bezeichnet.¹⁹ Hier wird vorgestellt, dass die Veränderung nach oben mit dem Faktor u eine Wahrscheinlichkeit q hat und nach untern mit dem Faktor d eine Wahrscheinlichkeit 1— q hat, wo q G (0, 1) und 1-q G (0, 1) .²⁰ Diese Wahrscheinlichkeit wird als reale Wahrscheinlichkeit bezeichnet.²¹ Steigt der Aktienkurswert am Ende der Laufzeit nach oben auf Sou, so beträgt der Optionswert Cu, während bei einem nach unten sinkenden Aktienkurswert der Optionswert Cd beträgt.²² Im Allgemeinen wird unter Berücksichtigung von einem Zinssatz r, der risikofrei sein soll, folgende Annahme getroffen, welche als eine Garantie der Arbitragefreiheit gilt:

d < r < u (31)

Wäre dies nicht der Fall, gäbe es sofort Arbitragemöglichkeiten aufgrund des Gebrauchs von potenziellen Preis- oder Währungsunterschieden, welche auf verschiedenen Märkten entstehen, wenn beispielsweise in den Fällen d < u < r oder r < u < d.²³ Um die Optionspreise zu ermitteln, ist zuerst nach dem Duplikationsprinzip ein risikoloses Portfolio zu bilden, welches aus A-Stücken gekauften Aktien und risikofreien Anleihen in Volumen B besteht und der zukünftigen Zahlungsstruktur der zu bewertenden Kaufoption entspricht.²⁴ Dieses Portfolio kostet dann AS + B im Zeitpunkt t = 0. Am Ende der Periode hat der Wert dieses Portfolios zwei Ausprägungen, und zwar:

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Dieses schrittweise bestimmendes Vorgehen wird als Rückwärtsinduktion bezeichnet. Wenn der aus Gl. 3.6 ermittelte Wert kleiner als der Optionspreis ist, ist es möglich, dass auf dem Markt ein Arbitragegewinn durch Verkauf von Optionen und Kauf von Portfolios besteht. Wäre es nicht der Fall, sind im Gegensatz dazu die Optionen zu kaufen und Portfolio zu verkaufen.26

Neben einem Aufbau von Portfolios und Hedge-Positionen ist es auch möglich, in einer Welt mit nur risikoneutralen Anlegern, bei der Berechnung des erwarteten Werts den Wert der Optionen auf der Grundlage der Diskontierung der künftig zu erwartenden Zahlungsströme, mithilfe von zuvor erwähnten Eintrittswahrscheinlichkeiten in t

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Da es mit Anwendung von q und 1— q zum Start der Periode sicher sein soll, dass der ursprüngliche Aktienkurs dem diskontierten Barwert des erwarteten Kurses entsprechen muss, muss folgende Gleichung gelten:27

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[...]

¹ Vgl. Ernst/Bloss (2008), S. 27.

² Vgl. Bieg/Kußmaul/Waschbush (2016), S. 296.

³ Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 16.

⁴ Vgl. Knobloch (2015), S. 309.

⁵ Vgl. Black/Scholes (1973), S. 637.

⁶ Vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber (2017), S. 373.

⁷ Vgl. Gräfer/Schiller/Rösner (2011), S. 209 f.

⁸ Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 25.

⁹ Vgl. Bieg/Kußmaul/Waschbush (2016), S. 297.

¹⁰ Vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber (2017), S. 377 f.

¹¹ Vgl. Gaubatz (2010), S. 8.

¹² Vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber (2017), S. 378.

¹³ Vgl. Klaus (2010), S. 189.

¹⁴ Vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber (2017), S. 378.

¹⁵ Vgl. Gaubatz (2010), S. 9.

¹⁶ Vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber (2017), S. 380.

¹⁷ Vgl. Hull (2018), S. 274.

¹⁸ Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 259.

¹⁹ Vgl. Hull (2018), S. 276.

²⁰ Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232.

²¹ Vgl. Knobloch (2015), S. 310.

²² Vgl. Hull (2018), S. 276.

²³ Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 260.

²⁴ Vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber (2017), S. 382 f.