Schülerschwierigkeiten beim schriftlichen Addieren

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Die Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren
2.1 Vorteile der Normalverfahren

3 Die schriftliche Addition
3.1 Das Normalverfahren der schriftlichen Addition
3.2 Schwierigkeiten bei der schriftlichen Addition

4 Schülerfehler bei der schriftlichen Addition
4.2 Fehler mit der Null
4.6 Fehler beim Übertrag

5 Fehleranalyse
5.1 Diagnostische Tests
5.2 Auswertung von diagnostischen Tests und schriftlichen Schülerarbeiten

6 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Diese Arbeit ist im Zusammenhang mit einem Referat zum Thema „Schwierigkeiten und Fördermöglichkeiten beim schriftlichen Addieren“ im Seminar „Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht“ im Sommersemester 2001 entstanden.

In dieser Arbeit zum Thema „Schwierigkeiten und Förderungsmöglichkeiten beim schriftlichen Addieren“ werde ich zunächst Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren charakterisieren, um anschließend Vor- und Nachteile aufzeigen zu können. Im Anschluss daran werde ich das Normalverfahren der schriftlichen Addition mit seinen Schwierigkeiten vorstellen und dabei mögliche Ursachen und denkbare Förderungsmöglichkeiten nennen. Als Möglichkeit der Fehleranalyse und –auswertung möchte ich die von Gerster entwickelten diagnostischen Tests vorstellen.

2 Die Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren

Für die Grundschulen werden durch die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz die schriftlichen Rechenverfahren weitestgehend normiert und vorgeschrieben. Die einzelnen Bundesländer nehmen diese Normierungen in ihren Rahmenrichtlinien auf. Zu dieser Normierung, in der die einzelnen Rechenschritte und ihre Reihenfolge festgelegt werden, gehört ebenso die Festlegung der Sprech- und Schreibweisen bei den schriftlichen Rechenverfahren.^[1]

Charakteristisch für die Normalverfahren ist Folgendes^[2]:

- Die Einzelschritte erfolgen schematisch nach gegebenen Regeln in fester Reihenfolge.
- Die Einsicht in das jeweilige Verfahren ist nicht nötig; lediglich das schematische Anwenden der Regeln und Verfahrensvorschriften sind ausreichend.

Wesentlich für die schriftlichen Normalverfahren ist, dass ziffernweise gerechnet wird. Das bedeutet, dass nie die gesamte Zahl im Blick der Rechnerin oder des Rechners steht, sondern jeweils die einzelnen Ziffern der Zahl.

Bei den schriftlichen Normalverfahren wird jeweils nach dem Prinzip des Stellenwertsystems gerechnet. In Stellenwertsystemen werden bei der Addition die Ziffern mit dem Wert ihrer Stelle multipliziert und die Produkte werden addiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das bedeutet, dass sich durch das ziffernweise Rechnen bei den schriftlichen Normalverfahren jeweils Aufgaben des Einsundeins und des Einmaleins ergeben.

2.1 Vorteile der Normalverfahren

Ein Vorteil der Normalverfahren ist, dass die Schülerinnen und Schüler eine schematische und einprägsame Abfolge der einzelnen Rechenschritte lernen und ihnen somit das sichere Vorgehen ermöglicht wird. Dadurch sind potentielle Fehlerquellen zu vermeiden. Außerdem kann durch die Normalverfahren die Schnelligkeit der Schülerinnen und Schüler erhöht werden.

Ein weiterer Vorteil ist, dass Schülerinnen und Schüler, die die Schule wechseln, keine Schwierigkeiten in der neuen Schule bekommen, da die Rechenverfahren überall die gleichen sind.^[3]

2.2 Nachteile der Normalverfahren

Ein Nachteil der Normalverfahren kann darin bestehen, dass es bei den Schülerinnen und Schülern zu einer sehr frühen Automatisierung der Verfahren kommt und somit ein mangelhaftes Verstehen auf Seiten der Schülerinnen und Schüler erzeugt werden könnte. Die Folge kann sein, dass die Schülerinnen und Schüler die Verfahren nicht nachvollziehen können. Sie führen die Schritte nach dem erlernten Schema aus und übernehmen möglicher Weise falsche Rechenschritte und somit treten wiederholt Fehler auf.

Um diesen negativen Folgen entgegenzuwirken, sollten die Schülerinnen und Schüler selbstständig Lösungen entwickeln, bevor sie die Normalverfahren kennen lernen, um so Verständnis und die nötige Einsicht zu entwickeln.^[4]

3 Die schriftliche Addition

3.1 Das Normalverfahren der schriftlichen Addition

Ein Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 03.12.1976 legt die Form der schriftlichen Rechenverfahren fest. Allerdings wird die schriftliche Addition dabei nicht explizit genannt. Dennoch besteht eine weitgehende Übereinstimmung bezüglich der Schreib- und Sprechweisen beim schriftlichen Addieren; in den Rahmenrichtlinien der einzelnen Bundesländer wird ein Normalverfahren für die schriftliche Addition vorgegeben.

Nach dem Normalverfahren werden die Summanden stellengerecht untereinander geschrieben. Begonnen wird mit der Addition bei den Einern. Addiert wird von unten nach oben. Wird der Wert 9 in einer Spalte überschritten, wird in der nächsten linken Spalte eine Übertragsziffer notiert. Das bedeutet, dass die Aufgabe 236 + 428 = 664 nach dem Normalverfahren der schriftlichen Addition wie folgt notiert wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Normalverfahren der schriftlichen Addition lässt sich mit der Gültigkeit des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes begründen. Ebenso beruht das Verfahren auf der Tätigkeit des Umbündelns. Das heißt, eine Aufgabe wie 236 + 428 lässt sich wegen der Gültigkeit des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes wie folgt umschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In den Niedersächsischen Rahmenrichtlinien^[5] für das Fach Mathematik für die Grundschule ist über die schriftliche Addition Folgendes zu finden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zu beanstanden ist hier die Notation der Übertragsziffer. Um Fehler durch ungenaue Notationen (z.B. Übertragsziffer zwischen zwei Spalten oder in die falsche Spalte) zu vermeiden, muss die Übertragsziffer genau notiert werden, so dass keine Missverständnisse auftreten können und die Rechnerin oder der Rechner genau weiß, in welcher Spalte die Übertragsziffer zu berücksichtigen ist. In den Niedersächsischen Rahmenrichtlinien sieht die Normierung nicht vor, dass die Ziffern in der entsprechenden Spalte notiert werden, sondern eher zwischen zwei Spalten.

3.2 Schwierigkeiten bei der schriftlichen Addition

Auch wenn das schriftliche Addieren als das einfachste der vier schriftlichen Rechenverfahren gilt, treten Fehler auf. Von Gerster^[6] sind die auftretenden Fehler in einer Liste zusammengestellt worden. Dazu hat Gerster zahlreiche Schülerarbeiten analysiert. An Hand der Ergebnisse zeigt sich, welche Fehler bei der schriftlichen Addition auftreten.

Die Fehler teilt Gerster zunächst grob in sechs Fehlergruppen ein:

E: Fehler beim Einsundeins

N: Fehler mit der Null

L: Fehler durch unterschiedliche Stellenzahl (leere Stelle)

IO: Fehler durch inverse Operation

P: Fehler durch Perseveration

Ü: Fehler beim Übertrag

Bei der Analyse der Schülerfehler ist deutlich geworden, dass etwa die Hälfte der Fehler Übertragsfehler sind. Die Schwierigkeiten einer Aufgabe steigen mit zunehmender Anzahl der nötigen Überträge. Bei genauer Analyse dieser Fehler zeigt sich, dass es häufig, wie vermeintlich oft aber angenommen, keine Flüchtigkeitsfehler sind: es sind bestimmte Schwierigkeitsmerkmale, die die Übertragsfehler auslösen. Wie vielfältig das Fehlerspektrum der Übertragsfehler ist, ist daran zu erkennen, wie diese Fehlergruppe weiter unterteilt wird. Verschiedene Abstufungen des Schwierigkeitsmerkmals „Übertrag in eine Stellenwertspalte, in welcher die untere keine Ziffer hat“ sind:

[...]

^[1] vgl. Padberg, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik. Mannheim u.a 21992. S. 155f.

^[2] vgl. Padberg, F. (1992), S. 156

^[3] vgl. Padberg, F. (1992), S. 156

^[4] vgl. Padberg, F. (1992), S. 157f.

^[5] Der Niedersächsische Kultusminister. Rahmenrichtlinien für die Grundschule. Mathematik. Hannover 1984

^[6] vgl. Gerster, Hans-Dieter: Schülerfehler bei schriftlichen Rechenverfahren – Diagnose und Therapie. Freiburg im Breisgau 1982, S. 22-39