Die Zahl Pi. Das Wallissche Produkt und das Verfahren nach Nikolaus Cusanus

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1 Einleitung

1.1 Vorwort

Ich habe die Zahl π als Thema meiner Facharbeit gew¨ ahlt, weil ich einmal wissen wollte, wie man ¨ uberhaupt auf verschiedenen Wegen zur Bestimmung dieser kommen kann. Jeder kennt diese Zahl vom Taschenrechner: Sie ist einfach da, aber wo kommt sie her?

Mit diesem Thema m¨ ochte ich mich daher im folgenden in meiner Facharbeit besch¨ aftigen. Zun¨ achst werde ich einige relevante geschichtliche Informationen anf¨ uhren und mich daraufhin mit der Herleitung und Erl¨ auterung zweier Verfahren f¨ ur die Bestimmung von π besch¨ aftigen. In meiner Zeit der Recherche nach Informationen und der Umsetzung dieser bin ich auf einige Probleme des Verst¨ andnisses der an einigen Stellen doch schon komplexen Iterationsverfahren gestoßen. Dies hat mir hinsichtlich des mathematischen Umfangs doch sehr die Augen ge¨ offnet, aber ich hoffe es geschafft zu haben, diese Probleme weitestgehend zu beseitigen und somit eine angemessene Darstellung der Verfahren erzielt zu haben.

1.2 Geschichtliches

Die Zahl π ist seit nunmehr ca. 4000 Jahren Gegenstand eines immens großen Bereiches der Mathematik; seit jeher hat sie die hellen K¨ opfe der mathematisch versierten Kulturen fasziniert und sie dazu bewegt, diese außergew¨ ohnliche Zahl zu bestimmen. Immer mehr Mathematiker befaßten sich mit ihr und entwickelten Methoden, auf denen die heutigen modernen Verfahren immer noch basieren. Waren es fr¨ uher gerade mal eine Handvoll bekannter Nachkommastellen, so liegt der Rekord nach riesigem Rechenauf-wand mit Supercomputern bei mittlerweile mehr als 68 Milliarden! uberlieferten Werte von π sind 3, 3 + ¹ und 3 + ¹ Die ersten schriftlich ¨ .

7 8

Der letzte Wert wurde 1936 auf einer ca. 4000 Jahre alten babylonischen Keilschrifttafel entdeckt; er wurde wohl anhand einer Absch¨ atzung zwischen dem Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 und einem ihm einbeschriebenen Sechseck n¨ aherungsweise angegeben. Die ¨ Agypter halten auf ihrem Papyrus “Rhind”, der etwa auf das Jahr 1650 v. Chr. zur¨ uckdatiert werden kann, eine interessante Methode fest: “Man subtrahiere ¹ vom Durchmesser eines Kreises und quadriere die ¨ ubrig geblie- 9

benen ⁸ ”. Somit lag der Wert f¨ ur “ ihr π” bei ungef¨ ahr 3,1604... Wie sie

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2 Berechnungsmethoden

2.1 Das Wallissche Produkt

Der englische Mathematiker John Wallis (1616 -1703) hat eine Produktdarstellung von ^π gefunden, die zun¨ achst darauf basiert, daß im Intervall 0 ≤

2

x < ^π stets 0 ≤ sinx < 1 ist und f¨ ur nat¨ urliche Zahlen k ≥ 1 die Unglei-

2

chung

sin ^2k+1 x ≤ sin ^2k x ≤ sin ^2k−1 x (1)

gilt. Somit ging er wie folgt vor: Er betrachtete zun¨ achst das nachstehende Integral und formte es entsprechend um

Diese Umformung des Integrals erh¨ alt man durch die sogenannte partielle Integration. Ist n¨ amlich der Integrand ein Produkt zweier Funktionen, in diesem fall x und sinx, so gibt es zum Unterschied der Produktregel in der Differenzialrechnung keine allgemein g¨ ultige Regel, um die Berechnung des Integrals eines Produktes auf die Berechnung der Integrale seiner Faktoren zur¨ uckzuf¨ uhren. Man kann sich hier aber helfen, denn es gibt eine M¨ oglichkeit, ein schwierig zu l¨ osendes Integral auf ein einfacheres zur¨ uckzuf¨ uhren:

Satz: Seien u(x) und v(x) zwei im Intervall ] a; b [ differenzierbare Funktionen, dann gilt nach der Produktregel der Differenzialrechnung (u(x) · (x) · v(x) + u(x) · v = u (x). Ist u(x) · v (x) integrierbar, so folgt v(x)) hieraus

(x) · v(x) integrierbar ist. so daß auch u

Andwendung des Satzes am oberen Integral: Der gegebene Integrand wird = in das Produkt sin x · sin ⁿ⁻¹ x zerlegt, d.h. man setzt u = sin ⁿ⁻¹ x, v = (n − 1) · sin ⁿ⁻² x · cos x (Kettenregel). sin x und findet v = − cos x, u Mithin ist

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2.2 Verfahren nach Nikolaus Cusanus

Nikolaus von Kues (1401-1464), lateinisiert Nicolaus Cusanus, war eigentlich Theologe, doch er besch¨ aftigte sich dar¨ uberhinaus auch mit der Mathematik, den Naturwissenschaften und der Philosophie. Sein Name leitet sich von seiner Geburtstadt Kues (heute: Bernkastel-Kues) ab. Er entwickelte um etwa 1450 ebenfalls eine Methode zur Berechnung von π, die eigentlich genauso wie die von Archimedes war, nur ganz anders. Anstatt einem Kreis regelm¨ aßige n-Ecke ein- und umzuschreiben, schrieb er einem n-Eck mit 2 ⁿ (n ∈ N) Seiten einen Kreis ein und um. Den Umfang der Polygone setzte er gleich 2. Somit n¨ aherte er durch Erh¨ ohung der Seitenanzahl die beiden Kreise an die Polygone an und berechnete dann den Umfang der Kreise (r = Radius des einbeschriebenen Kreises, R = Radius des umschriebenen Kreises, n = Iterationsschritt).

In dieser Konstellation ist es leicht ersichtlich, daß

2 · π · r n < 2 < 2 · π · R n (6)

gelten muß. Nach dem K¨ urzen und Umkehren erh¨ alt man

Mit der Festsetzung n = 2 hat man ein Quadrat der Seitenl¨ ange 1

und R 2 = a ·

Der Winkel zwischen R n und r n ist 180 ◦

es folgt die nachstehende Beziehung unter Betrachtung der Konstruktion:

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A Literaturverzeichnis

1. Jean-Paul Delahaye: Pi - Die Story, Birkh¨ auser Verlag 1999

2. R. Rothe: H¨ ohere Mathematik Teil II, B.G. Teubner Verlag 1960

3. Liedl/Kuhnert: Analysis in einer Variablen, B.I. Wissenschaftsverlag 1992

4. Mathematische Bibliothek, J. Lindauer Verlag

5. Sieber: Mathematische Formeln (E), Klett Verlag 1980