Inhaltsverzeichnis
1. Historie zur Intergralrechnung
2. Vorgehensweise
3. Das Integral als Summengrenzwert
3.1. Allgemeine Erklärung des Summengrenzwertes
3.2. Einfaches Beispiel anhand einer linearen Funktion
3.3. Unter- und Obersummen Bildung anhand der Funktion f (x) = x2 +1
3.4. Allgemeine Rechnung und Beschreibung des Vorgehens
4. Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten Stammfunktion
4.1. Einführung und Bedingungen
4.2. Konstruktionsschritte zur graphischen Ermittlung der Stammfunktion
5. Beurteilung
6. Nachwort
7. Literaturverzeichnis
8. Anhang
1. Historie der Intergralrechnung
Mit den Problemen der Flächen- und Körperberechnung beschäftigte man sich schon vor Christi Geburt. So konnte bereits Archimedes (287 – 212 v. Chr.) Beweise zur Parabelquadratur1 2 liefern. Zur Berechnung von Flächeninhalten und Körpervolumen dachte man sich diese in sehr dünne Segmente zerschnit- ten; d.h. man wandte bereits integrationsartige Verfahren an.
Erst mit Beginn des 16. Jahrhunderts lassen sich Weiterentwicklungen in der Mathematik durch europäische Gelehrte erkennen. Die schwerfällig- geometrische Darstellungsweise der griechischen Mathematik wurde abgelöst durch eine analytische Form der Beschreibung. Die Probleme der Infinitesimal- rechnung3 rücken in den Vordergrund.
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Isaac Newton (1642 – 1727), der auf Erkenntnisse von Barrow (1630 – 1677) aufbauen konnte, betrachtete die Mathematik vor allem als Wissenschaft zur Lösung seiner physikalischen Probleme. So gelang- te er dann auch durch physikalische Überlegungen zur Infinitesimalrechnung.
Seine „Fluxionsrechnung“ diente der Beschreibung von Geschwindigkeitsprob- lemen. Noch heute erinnert die Ableitung nach der Zeit, die durch einen Punkt angedeutet wird, an die Forschungsergebnisse Newtons.
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Leibniz (1646 – 1716) fand nach umfangreichen Studien auf anderen Gebieten seine Anregungen zur Beschäftigung mit der Mathematik vor allem in Schriften von Pascal. Im Gegensatz zu Newton gelangte er über die Geometrie - genauer dem Tangentenproblem – zur Infinitesi- malrechnung. Das Integrationssymbol wurde von ihm eingeführt.
Im 18. Jahrhundert trieben so bekannte Mathematiker wie Taylor, Euler, Lagrange und Laplace die Entwicklung der Infinitesimalrechnung voran, deren Erkenntnisse allerdings im 19. Jahrhundert einer Überprüfung unterzogen wur- den und teilweise Korrekturen erfuhren. Bernhard Riemann (1826 – 1866) schließlich gab nach ausführlichen Studien dem Begriff des Integrals eine Neu-fassung. Dieser Integralbegriff findet noch heute Anwendung.4
2. Vorgehensweise
Da das Thema dieser Facharbeit „graphische Integration“ lautet, möchte ich mich zum Thema „Allgemeine Integration“ kurzfassen.
Das Problem, den Flächeninhalt eines von einer geschlossenen Kurve begrenz- ten Flächenstücks oder das Volumen eines durch eine Funktionskurve begrenz- ten Rotationskörpers zu erklären und zu berechnen, führt zur Definition der In- tegralrechnung. Der Grenzprozess ergibt sich dabei durch beliebig genaue Ap- proximation5 der Flächenstücken durch elementar bestimmbare Teilflächen. Elementar deshalb, da sich diese Teilflächen mit „einfachen“ mathematischen Mitteln genau bestimmen lassen. Es kommt vor, dass der Graph einer Funktion f bekannt ist, die Funktionsgleichung f(x) aber nicht bekannt ist.
So eine Situation ist häufig in der Physik finden, z.B. bei der Streckenberech- nung. Bei einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer beschleunigten Be- wegung ist die gefahrene Strecke nach einer bestimmten Zeit anzugeben. Die hier grauunterlegte Fläche gibt die Maßzahl für die Strecke s an. Wenn man also diese Fläche ermittelt ist damit auch der Zahlenwert für die Strecke s bekannt. Es gibt zwei solcher graphischen Verfahren:
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a) Das Integral als Summengrenzwert
b) Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeich- nerisch ermittelten Stammfunktion
3. Das Integral als Summengrenzwert
3.1. Allgemeine Erklärung des Summengrenzwertes
Die Flächenermittlung mit Hilfe von Summengrenzwerten, ist in einem ganzen einfachen Beispiel zu verdeutlichen. Es soll ange- nommen werden, dass die Fläche eines Kreises zu berechnen sei. Hierzu stelle man sich vor, dass mit Hilfe eines Vieleckes um den Kreises die gesuchte Fläche des Kreises annähernd zu berechnen sei (nebenstehende Abbildung). Durch immer genauere Näherungswerte d.h. einer höheren Anzahl von Ecken (gestricheltes Vieleck), nähert man sich immer mehr dem genauen Flä- chenwert des Kreises.
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3.2. Einfaches Beispiel anhand einer linearen Funktion
Das selbe Prinzip gilt und funktioniert auch bei der Flächenberechnung von Funktionen. Hierbei unterteilt man die Fläche der Funktion in mehrere kleine oder große Abschnitte (Teilintervalle). Als Beispiel:
Gegeben sei die Funktion: f(x) = 2x
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Die Fläche A im Intervall von [0;3] unter dem Funktions- graphen ist auszurechnen. Nun nähert man die gegebene Fläche an durch eine zu kleine „untere Treppenfläche“ und durch eine zu große „obere Treppenfläche“, wie sie in ne- ben stehender Abbildung eingezeichnet sind. Wir bezeich- nen diese drei Teilintervalle als A1, A2 und A3, welche alle die Längenmaßzahl h=1 haben. Wir bezeichnen die Maß- zahlen der beiden Treppenflächen als „Untersumme“s3 bzw. als „Obersumme“S3. Da hier eine lineare Funktion
vorliegt, lässt sich einfach die Zahl der Rechtecke abzählen und dann mit der Fläche eines einzelnen multiplizieren.
[...]
1 Integer: lat. ganz
2 Quadratur: Umwandlung einer beliebigen Fläche in ein flächengleiches Quadrat
3 Zusammenfassung von Differential- und Integralrechnung
4 vgl. hierzu: W.Gellert, Mathematik-Kleine Enzyklopädie, Leipzig, VEB, S. 482
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Thema der Leseprobe?
Die Leseprobe behandelt das Thema der Integralrechnung, insbesondere die graphische Integration.
Was sind die Hauptabschnitte der Leseprobe?
Die Hauptabschnitte umfassen die Historie der Integralrechnung, die Vorgehensweise, das Integral als Summengrenzwert (mit Unterabschnitten zur allgemeinen Erklärung, linearen Funktionen und Unter-/Obersummenbildung), das Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten Stammfunktion, eine Beurteilung, ein Nachwort, das Literaturverzeichnis und einen Anhang.
Was wird im Abschnitt "Historie der Intergralrechnung" behandelt?
Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über die historische Entwicklung der Integralrechnung, beginnend bei Archimedes, über die Entwicklungen im 16. Jahrhundert bis hin zu Newton, Leibniz und Riemann.
Was wird im Abschnitt "Vorgehensweise" behandelt?
Dieser Abschnitt beschreibt die allgemeine Vorgehensweise bei der Integralrechnung, insbesondere die Approximation von Flächen durch elementar bestimmbare Teilflächen und die graphischen Verfahren zur Flächenermittlung.
Was wird im Abschnitt "Das Integral als Summengrenzwert" behandelt?
Dieser Abschnitt erläutert das Konzept des Integrals als Summengrenzwert, beginnend mit einer allgemeinen Erklärung anhand eines Kreises, gefolgt von einem einfachen Beispiel mit einer linearen Funktion und der Bildung von Unter- und Obersummen.
Was wird im Abschnitt "Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten Stammfunktion" behandelt?
Dieser Abschnitt behandelt die Methode zur Bestimmung der Fläche unter einer Kurve mithilfe der zeichnerisch ermittelten Stammfunktion, einschließlich der Einführung, Bedingungen und Konstruktionsschritte.
Welche Mathematiker werden in der Leseprobe erwähnt?
Die Leseprobe erwähnt Archimedes, Newton, Leibniz, Taylor, Euler, Lagrange, Laplace und Riemann.
Was bedeutet "Quadratur" im Kontext der Leseprobe?
Quadratur bedeutet die Umwandlung einer beliebigen Fläche in ein flächengleiches Quadrat.
Was ist der Unterschied zwischen Untersumme und Obersumme?
Die Untersumme ist eine Approximation der Fläche unter einer Kurve durch Rechtecke, die kleiner als die tatsächliche Fläche sind. Die Obersumme ist eine Approximation durch Rechtecke, die größer als die tatsächliche Fläche sind.
Was ist das Ziel der graphischen Integration?
Das Ziel der graphischen Integration ist es, den Flächeninhalt unter einer Funktionskurve zu ermitteln, wenn die Funktionsgleichung nicht bekannt ist oder die Integration analytisch schwierig ist.
- Arbeit zitieren
- Daniel Sprehe (Autor:in), 2001, Die graphische Integration, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/101734
