Wahrscheinlichkeitsrechnung

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6 Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.1 Der Begriff des zufälligen Ereignisses

Experiment:

Zufallsexperiment:

Versuchsbedingungen: z.B. einmaliges Ziehen von Kugeln aus einer Urne liefert: 1. Ergebnis, 2. Ergebnis, 3. Ergebnis, ... n-tes Ergebnis

6.1.1 Der Ereignisraum

Annahme: Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments bezeichnet man mit dem Symbol ω (kleines Omega) (jedes einzelne Ergebnis). Somit gibt es endlich viele Ergebnisse: ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ... ω m

Ω : = {ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ... ω m } ⇒ Ereignisraum eines Zufallsexperiments

Der Ereignisraum läßt sich in Teilmengen zerlegen. Diese Teilmengen, die mit Großbuchstaben A, B, C, D, ... oder A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... bezeichnet

werden, heißen Ereignisse.

Die Menge aller Teilmengen (Ereignisse) von Ω heißt Potenzmenge von Ω, P(Ω)

Die einelementigen Teilmengen von Ω heißen Elementarereignisse.

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Beispiel 3: Zufallsexperiment: "Werfen eines Würfels"

Nun soll gezeigt werden, dass die Mächtigkeit m (z.B. Anzahl der Elemente von A), Einfluß auf die Potenzmenge ausübt.

Für m = 1, 2, 3 gilt die Formel: P (Ω) = 2 m

Beispiel 4: Ω: = {KK, KZ, ZK, ZZ} sei der Ereignisraum des Zufallsexperiments: "zweimaliges Werfes einer Münze ( nacheinander)" Bilden Sie die Teilmengen von Ω

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6.1.2 Operationen im Ereignisraum 05.12.00

Die Beziehungen und Verknüpfungen lassen sich wie folgt auf Ereignisse übertragen:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) unmögliches Ereignis: Die leere Menge ∅ ist Teilmenge von Ω

Beispiel: Beim Werfen zweier Würfel werden folgende Ereignisse betrachtet:

Ω: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ereignisse: A: = {1, 2, 3}

Verknüpfungen: A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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6.2 Der Wahrscheinlichkeitsraum

6.2.1 Die relative Häufigkeit h i = n i / n

Bedingungen: a) Die vorausgegangenen Versuchsausgänge haben keinen Einfluß auf die nachfolgenden Versuchsdurchführungen

b) Die Zufallsexperimente können beliebig oft wiederholt werden

absolute Häufigkeit: Ist die Anzahl des Eintretens der Ereignisse A und B = n(A) und n(B)

relative Häufigkeit: sind die prozentualen Anteile der Ereignisse gemessen an der Anzahl der durchgeführten Versuche (n)

⇒

h n = 0 bedeutet: leere Menge,

d.h. die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis beträgt 0% h n = 1 bedeutet: Ω (gesamter Ereignisraum),

d.h. die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ergebnisses beträgt 100%

a) Für zwei unvereinbare Ereignisse A und B gilt: A∩B = ∅ h n (A∩B) = 0

b) Sind die Ereignisse A und B nicht unvereinbar, so können A und B gleichzeitig eintreten. Problem: In der Summe h n (A) + h n (B) sind

Doppelzählungen enthalten

  =  ) ( ) ( ) ( B A B A B A B A Beispiel:

dann ist die relative Häufigkeit des Ereignisses A:

und die relative Häufigkeit des Ereignisses B:

− + =  ) ( ) ( ) ( ) ( B A h B h A h B A h also:

n n n n

Ergebnisse: i 1 2 3 4 5 6 n i 12 20 16 18 19 15 Summe 100

Frage: Wie groß ist die relative Häufigkeit bei 100 Würfen, dass A∪B eintritt?

h n (A) = 2 ∪ 3 = 20/100 + 16/100 = 36/100 zusammen 70/100 ./. 16/100

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h n (B) = 4 ∪ 3 = 18/100 + 16/100 = 34/100 P = 0,54 = 54%

Der Begriff der Wahrscheinlichkeit 05.12.00

Eine auf einem System von Ereignissen definierte Funktion P heißt Wahrscheinlichkeit, wenn die folgenden Axiome (Regeln, die keines Beweises bedürfen) erfüllt sind: (nach Kolmogorow)

1) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt ist 0 ≤ P(A) ≤ 1

2) P(Ω) = 1

3) P(A∪B) = P(A) + P(B), falls (A∩B) = ∅, d.h. es gibt keine Schnittmenge

Folgerungen aus den Axiomen:

1) Für jedes Ereignis A gilt: P(A) = 1- P(A)

2) Das unmögliche Ereignis besitzt die Wahrscheinlichkeit P(∅) = 0

3) Für beliebige Ereignisse A und B gilt:

4) Für die Vereinigung zweier beliebiger Ereignisse gilt:

5) Sind die Ereignisse A 1 , A 2 , ... A n paarweise unvereinbar, so gilt:

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6.2.3 Der Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace 06.12.00

Annahme: Die Elementarereignisse besitzen dieselbe Wahrscheinlichkeit

zu A: = { (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), |A|=

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) } = 11 Fälle

P(A) = 11 / 36 = 0,30555 = 30,555%

zu B: = { alle, außer (6, 6) } = 35 Fälle, da nur (6, 6) nicht gilt

P(B) = 35 / 36 = 0,97222 = 97,222%

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zu C: = { (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } = 6 Fälle

P(C) = 6 / 36 = 0,1666 = 16,666%

zu D: = { (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6) } = 6 Fälle

P(D) = 6 / 36 = 0,1666 = 16,666%

Jetzt werden die Bedingungen verändert!

Beispiel.: Eine Urne enthält 3 rote und zwei schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln zufällig herausgenommen und zwar:

a) gleichzeitig

b) nacheinander (ohne zurücklegen)

c) nacheinander (mit zurücklegen)

Durch die Änderung ergibt sich eine Veränderung des Ereignisraums. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen?

Zuerst alle Kugeln durchnummerieren

zu a) !"#$%

|A 1 | = 3 Fälle

⇒ P(A 1 ) = 3 / 10 = 0,30 = 30%

zu b) !"#$% Ω 2 : = { (!,"), (",!), (!,#), (#,!), (!,$),

|A 2 | = 6 Fälle

P(A 2 ) = 6 / 20 = 0,30 = 30% also genau die gleiche Wahrscheinlichkeit ⇒

zu c) !"#$%

|A 3 | = 9 Fälle

⇒

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6.3 Kombinatorische Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten

a) Permutationen

1) Anordnung aller n Objekte p n = n!

Beipiel 1: Objekte: A, B, C Möglichkeiten: ABC, BCA, CAB, ACB, BCA, CBA

P 3 = 3! = 6

Beispiel 2: Bei einer Feier sollen 10 Personen an einem runden Tisch Platz nehmen. Die

Tischordnung erfolgt nach zufälliger Auslosung. Herr M. möchte neben Frau S. sitzen. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beide nebeneinander sitzen?

= ) ( A P

Variante: Die 10 Personen sitzen an einer (nicht runden Theke) &&&&&&&&&&

= ) ( A P

^k = n(n-1)•(n-2)... = n! / (n-k)! 2) Anordnung von k aus n Objekte p n

Werden aus n verschiedenen Objekten k ausgewählt und nur diese ^k = n(n-1)•(n-2)... = n! / (n-k)! angeordnet, so gilt: p n

⇒ Variation ohne Wiederholung

Beipiel 3: Ein Verein mit 10 Mitgliedern will 3 Vorstandsmitglieder einzeln wählen. Auf wie viele verschiedene Arten kann der 1., 2., 3. Vorstandsposten besetzt werden?

^k = 10! / (10-3)! = 720 Möglichkeiten p n

6.3.1 Permutation mit Wiederholung

Besteht eine Menge von n Objekten aus k verschiedenen Untergruppen, wobei n 1 , n 2 , ... n n die Anzahl der gleichen Elemente in den Untergruppen ist, so gilt:

^W P n = n! / (n 1 ! • n 2 ! • ...• n k ! )

Beispiel: Auf wieviele verschiedenen Arten kann man die Buchstabenreihe ABAABCDDEFFEFF anordnen? (n = 14)

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6.3.2 Kombination 11.12.00

Kombination ohne Wiederholung und mit Variation

Beispiel: Wieviele Ziffernpaare lassen sich mit den Ziffern der Menge A:= {1, 2, 3} bilden?

mit der 1: (1, 1), (1, 2), (1, 3) mit der 2: (2, 1), (2, 2), (2, 3) mit der 3: (3, 1), (3, 2), (3, 3)

Stichprobentheorie: Modell mit zurücklegen

Kombination ohne Wiederholung und ohne Variation 11.12.00

Beispiel: Wie viele 2-elementige Teilmengen besitzt die Menge?

^k = ( 5! ) / (( 5-2 )! 2!) = 10 A:= {1, 2, 3, 4, 5} Binominalkoeffizient: p n

Die Binomialkoeffizienten können aus dem Pascalschen Dreieck ermitteln werden

Beispiel 1: Wieviele verschiedene Tippreihen gibt es im Zahlenlotto 6 aus 49?

^k = ^{6 49} = 13.983.816 Möglichkeiten p n

Beispiel 2: Bei einer Feier stößt jeder der Gäste mit jedem Gast an. Wie oft klingt es?

^k = ^{2 12} = 66 Möglichkeiten p n

6.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Baylsche Formel

Bei einer Versuchsreihe betrachten wir nur diejenigen Versuche, bei denen das Ereignis B eingetreten ist. Z.B. B ist Teilmenge von Ω. Die Teilmenge besitzt den Umfang h m (B)

Beispiel:

Aus dem WS 00/01 wird zufällig eine Person ausgewählt, die an einem Wettbewerb teilnehmen soll. Es soll auf jeden Fall eine Frau teilnehmen. Es sollen folgende Ereignisse betrachtet werden:

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A:= { Die ausgewählte Person ist aus Block A }

B:= { Die ausgewählte Person ist eine Frau } C:= { Die ausgewählte Person ist aus Block A und es ist eine Frau }

Die Wahrscheinlichkeit (P) von A (abhängig von B) ist also 70,59%

Häufig sind bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) sowie die absolute Wahrscheinlichkeit P(B) bekannt. Die Umformung von P (A|B) lautet:

( P

〈 〈 = ) / ( ) / ( ) ( ) ( B A C P A B P A P C B A P

Beispiel: In einem Korb liegen 10 gleich aussehende Pralinen. 3 Davon sind mit Marzipan

(M) gefüllt und 7 sind mit Likör (L) gefüllt. Eine Person greift zufällig (4 mal hintereinander) in den Korb und holt jeweils eine Praline heraus.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (P), dass die Person im 1., 2., 3. und

4. Zug eine Praline mit Likör (L) greift?

b) Wie groß ist P, dass die Person im 1. Zug eine M-Praline, im 2. Zug eine L-Praline, im 3. Zug eine L-Praline und im 4. Zug eine M-Praline greift?

Darstellung der Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm:

zu a) P (A 1L , A 2L , A 3L , A 4L )

= P (A 1L ) • P (A 2L |A 1L ) • P (A 3L |A 1L ∩A 2L ) • P (A 4L |A 1L ∩A 2L ∩A 3L )

= 7/10 • 6/9 • 5/8 • 4/7 = 0,167 = 16,7%

zu b) 3/10 • 7/9 • 6/8 • 2/7 = 0,05 = 5%

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6.4.1 Die vollständige (totale) Wahrscheinlichkeit

Ereignisse A i , die

- den ganzen Ereignisraum ausschöpfen (z.B. 5 Maschinen in einer Halle)

- sich gegenseitig ausschließen (unabhängig voneinander sind)

- alle gleichzeitig mit einem Ereignis B auftreten (z.B. Ausschuß

Ereignis: B = A 1 ∩B + A 2 ∩B + A 3 ∩B + A 4 ∩B + A 5 ∩B

Beispiel: In einem 1. Regal befinden sich 30 Röhren, von denen drei unbrauchbar sind. In einem 2. Regal befinden sich dagegen 50 Röhren, wovon 8 unbrauchbar sind. Eines der beiden Regale werde zufällig ausgewählt und daraus dann eine Röhre entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (P), dass die entnommene Röhre unbrauchbar ist?

Lösung: Bedingungen für eine totale Wahrscheinlichkeit sind erfüllt

Ω

A 1 := { Das erste Regal wird ausgewählt }

A 2 := { Das zweite Regal wird ausgewählt }

B:= { Die entnommene Röhre ist unbrauchbar }

P(A 1 )

P(B|A 1 )

P(B|A 2 )

P(B)

= 3/30•0,5 + 8/50•0,5 = 0,05 + 0,08 = 0,13 = 13%

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Beispiel: In einer Kiste befinden sich 10 Werkstücke, von denen 4 fehlerhaft sind. Daraus

werden 2 Werkstücke hintereinander ohne zwischenzeitliches Zurücklegen ausgewählt. Wie groß ist die (P), dass das beim 2. Zug ausgewählte Werkstück brauchbar ist?

A:= {Das erste Werkstück ist brauchbar} B:= {Das zweite Werkstück ist brauchbar} bzw. unbrauchbar, hier egal

= ) ( A P

| ( A B P

= ) ( B P

6.5 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

a) Unvereinbarkeit ⇒ A∩B = ∅ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) (Summenregel) "entweder ... oder" in der Formulierung

b) Unabhängigkeit ⇒ P(A∩B) = P(A) • P(B) (Produktregel) "sowohl ... als auch", beides tritt ein

Zwei Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, wenn gilt: P(A∩B) = P(A) • P(B)

Sind die Ereignisse A, B, C unabhängig, so sind auch die in den Tripeln enthaltenen Ereignisse unabhängig, d.h.

) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A

Beispiel: A, B, C seien 3 unabhängige Ereignisse des Ereignisraumes Ω. Es sei die Wahrscheinlichkeit (P) für P(A) = 0,75, P(B) = 2/3, P(C) = 0,5 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit (P) der Ereignisse, die durch folgende Aussagen beschrieben werden:

1.) kein Ereignis tritt ein

2.) Genau ein Ereignis tritt ein 3.) Genau zwei Ereignisse treten ein 4.) Alle drei Ereignisse treten ein 5.) Mindestens ein Ereignis tritt ein 6.) Höchstens ein Ereignis tritt ein 7.) Mindestens zwei Ereignisse treten ein 8.) Höchstens zwei Ereignisse treten ein

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Lösung: bei (P) für P(A) = 0,75, P(B) = 2/3, P(C) = 0,5

= − = ↓ = ↓ 75 , 0 25 , 0 1 ) ( ) ( : C B A E P oder

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7 Zufallsvariable 18.12.00

7.1 Definition einer Zufallsvariable

(z.B. Begriff: Geschwindigkeit, zugehöriger variabler Wert: 120 km/h)

Jedem Versuchsergebnis wird genau eine reelle Zahl X(ω) ∈ R zugeordnet, d.h. bei jedem Versuchsergebnis ω liegt auch der zugeordnete Zufallswert X(ω) fest.

Da sowohl die Ereignisse (ω) als auch die Werte der Funktion X vom Zufall abhängen, nennt man X eine Zufallsvariable.

Formal: P( X = x ) = P ({ω ∈ Ω | X(ω) = x})

Die Wahrscheinlichkeit, dass X (Geschwindigkeit) = x (120 km/h) ist

oder: P (a < x ≤ b) = P ({ω ∈ Ω | a < x(ω) ≤ b})

Beispiel: Für einen Einsatz von 1,50 DM wird folgendes Spiel angeboten: Beim Werfen von 3 Münzen wird die Anzahl der geworfenen Wappen in DM ausgezahlt.

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Diskrete Zufallsvariable

Der Wertebereich der Zufallsvariable ist abzählbar (aus N oder Z, ganze Zahlen bzw. keine Zwischenwerte)

Beispiel: Der Besitzer eines Jahrmarktstandes bietet folgendes Spiel an: Beim Werfen zweier Würfel erhält der Spieler 10 DM, wenn beide Würfel ein 6 zeigen, sowie 2 DM, wenn genau ein Würfel eine 6 zeigt. (hier: Zufallsvariable: Gewinn = X, zugehörige Werte: 0, 2, 10 = x)

→x = 10 X 10 = {(6, 6)} (nur eine Möglichkeit)

{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} →x = 2 (10 Möglichkeiten) X 2 =

X 0 =

daraus ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten P

P(X = 10) = 1/36 P(X = 2) = 10/36 P(X = 0) = 25/36 Summe 1

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x) = P(X ≤ x) = Σ i ≤ k P(X = x k )

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Beispiel: Gegeben ist die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X durch:

0

1

= x F ) ( 1

3

1

Aufgaben:

a) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion

b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion grafisch dar

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P für: P(x ≥ 2,3), P(x > 1), P(1,5 < x < 2,3), P(x ≤ 2,3), P(x > 0)

zu c) P(x < 2) = 1/3 + 1/6 = 1/2 = 0,5 P(x > 1) = 1/10 + 2/5 = 1/2 = 0,5 P(1,5 < x < 2,3) = 0 P(x ≤ 2,3) = 1/3 + 1/6 + 1/10 = 3/5 = 0,6

P(x > 0) P(x > 1)

aus der Fragestellung ergibt sich die Funktion!

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7.3 Erwartungswert und Varianz 19.12.00

Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit der Verteilung: {(x i , P(X = x i )} und ist

die Summe der x i -Werte endlich, d.h. Σ xi • P(X = x i ), so heißt

µ = E(x) = Σ xi • P(X = x i ) "My"

Beispiel: X bezeichne die Anzahl der von einem Autohändler an einem Tag verkauften Autos. Dabei sei bekannt, dass X folgende Verteilung besitzt:

Frage: Berechnen Sie den Erwartungswert

Lösung: µ = ∑ x i • P(X = x i ) =

[(0•0,03)+(1•0,25)+(2•0,2)+(3•0,1)...+(10•0,004)] = 1,804

Interpretation: Es ist zu erwarten, dass im Durchschnitt pro Tag 1,804 Autos verkauft werden. 1,804 ist eine absolute Größe für den Erwartungswert (kann auch ein Prozentwert sein abhängig von der Problemstellung)

Beispiel 2: Bei einem Jahrmarktspiel mit zwei Würfeln erhält man bei einem Einsatz von 0,40 DM als Gewinn 1 DM für die Augensumme 10, 2 DM für die Augensumme 11 und 3 DM für die Augensumme 12. Wie groß ist der Erwartungswert des Reingewinns?

Lösung: Zufallsvariable = X:= {Reingewinn} = {-0,40, 0,60, 1,60, 2,60}

Interpretation: Im Durchschnitt liegt der Reingewinn bei -0,12222 DM, d.h. ein Spieler, der häufig daran teilnimmt, verliert im Durchschnitt 0,12222 DM pro Spiel (Für den Anbieter des Spiels ist es auf Dauer gesehen lohnend)

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Varianz und Standardverteilung (Streuung)

Ist µ der Erwartungswert von X mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung {(X i • P(X = x i )} so heißt die Größe σ ² (Sigma) = D ² (x) = ∑(x i - µ) ² • P i

Sigma = σ = D(x) = √5,8333 = 2,415229

Für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen gilt auch:

σ ² = ∑ ^{xi 2} • P(X = x i ) -µ 2

σ ² = 8,65 - 1,75 ² = 5,5875 ⇒ σ = 2,363789

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8.1 Hypergeometrische Verteilung (HV) 09.01.01

Bedingungen:

a) Modell ohne Zurücklegen

¬A: = Ereignis tritt nicht ein b) A: = Ereignis tritt ein (Es gibt nur eine dieser beiden Möglichkeiten)

c) Parameter müssen bekannt sein:

N: Anzahl aller Elemente in der Grundgesamtheit (GG) M: Anzahl der günstigen Elemente in der GG (wonach gefragt ist)

n: k:

4 Formeln: 1) die Wahrscheinlichkeitsverteilung (= Häufigkeitsverteilung)

von 0 bis ... einsetzen; Ergebnis: Wahrscheinlichkeitsverteilung daraus ergibt sich die 2) Verteilungsfunktion (kummulierte Werte)

3) der Erwartungswert µ (∅-lich zu erwartender Wert bei einer Stichprobe)

µ = E(x) =

4) die Varianz σ 2

σ ² (Sigma) = D ² (x) =

sowie die Streuung: σ = D(x) =

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Statistik A - Internationales Management 20

Beispiel 1) In einer Urne befinden sich 5 rote, 2 schwarze und 4 weiße Kugeln.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 rote Kugel zu ziehen

N = 11, M = 5, n = 5, k = 0/1 P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

( P

( P

P(X ≤ 1)= P(X = 0) + P(X = 1) = 0,012987 + 0,162337 = 0,17532 = 17,5%

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Beispiel 2) Eine Lieferung von 100 Transistoren enthalte genau 4 fehlerhafte

Lösung: N = 100, M = 4, n = 5, k = 0/1 P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

( P

( P

P(X ≤ 1)= P(X = 0) + P(X = 1) = 0,811875 + 0,1764946 = 0,98837 = 98,84%

b)

Interpretation: Im ∅ sind bei jeder Stichprobe 0,2 Transistoren defekt

σ ² = c)

Beispiel 3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Lotto "6 aus 49" drei Richtige ankreuzt?

Lösung: HV, da "Modell ohne Zurücklegen"

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8.2 Binomialverteilung (BV) 09.01.01

Bedingungen:

a) Modell mit Zurücklegen

¬A: = Ereignis tritt nicht ein b) A: = Ereignis tritt ein (Es gibt nur eine dieser beiden Möglichkeiten)

P(A) = P

P (

n = Stichprobenumfang

graphische Darstellung:

Erwartungswert und Varianz

Für eine binomial verteilte Zufallsvariable X mit n und p gilt:

σ ² = D ² (x) = n • p• q µ = E(x) = n • p wobei q = (1-p) und p = M/N

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eine richtige und zwei falsche Antworten angegeben. Die Prüfung ist bestanden, wenn bei mindestens 5 Fragen die richtige Antwort angekreuzt wird.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht der Kandidat die Prüfung?

b) Wie lauten Erwartungswert und die Streuung der Zufallsvariablen X, welche die Anzahl der richtigen Antworten beschreibt.

zu b)

Übergangskriterien von HV auf BV

Ist der Stichprobenumfang n gegenüber der Grundgesamtheit N sehr klein, so kann die HV durch die BV ersetzt werden.

Hinreichende Aproximation: N ≥ 2000 und n / N ≤ 0,1 also ≤ 10%

ausreichende Apr. bereits bei: N ≥ 1000 und n / N ≤ 0,1 also ≤ 10%