Komplexe Zahlen

Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkung

1. Unser Zahlensystem
1.1 Natürliche Zahlen
1.2 Ganze Zahlen
1.3 Rationale Zahlen
1.4 Reelle Zahlen
1.5 Komplexe Zahlen
1.5.1 Historie
1.5.2 Komplexe Zahlen als Lösung quadratischer Gleichungen
1.5.3 Die imaginäre Einheit
1.5.4 Imaginärzahlen und komplexe Zahlen

2. Darstellung komplexer Zahlen
2.1 Summendarstellung
2.2 Paardarstellung, geometrische Darstellung
2.3 Polarkoordinaten-Darstellung (goniometrische Darstellung)

3. Rechnen mit komplexen Zahlen
3.1 Addition und Subtraktion
3.1.1 Mathematische Addition oder Subtraktion
3.1.2 Grafische Addition oder Subtraktion
3.1.2.1 Addition
3.1.2.2 Subtraktion
3.2 Multiplikation
3.2.1 Arithmetische Form
3.2.2 Goniometrische Form
3.2.3 Multiplikation konjugierter Zahlenpaare
3.3 Division
3.3.1 Arithmetische Form
3.3.2 Goniometrische Form
3.4 Potenzieren und Radizieren

4. Komplexe Zahlen in der Praxis

Nachwort: Wie reell sind reelle Zahlen?

Quellen

Vorbemerkung

Von den uns zur Auswahl vorgeschlagenen Facharbeits-Themen haben wir uns für die „komplexen Zahlen“ entschieden. Das Thema hat uns interessiert, weil es – über die bis dahin im Unterricht behandelten Zahlensysteme hinaus – einen Einblick in eine Zahlenwelt schafft, die nicht greifbar zu sein und nur in den Köpfen der Mathematiker zu existieren schien.

Im Zuge der Bearbeitung merkten wir sehr bald, dass auch für die

„ohnmöglichen“ oder „eingebildeten“ Zahlen^a die Gesetze der Mathematik gelten. Man kann mit ihnen rechnen, sie haben eine praktische Bedeutung für die Physik, wie wir unter Ziffer 4. zeigen werden. Und sie sind gar nicht so unmöglich und imaginär, wie Euler und auch Gauß meinten. Dazu nehmen wir im Nachwort Stellung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir haben gemeinsam Materialien zum Thema in der Öffentlichen Bibliothek der Stadt Aachen und im Internet beschafft und anschließend die Arbeit gemeinsam strukturiert. Anschließend haben wir Verantwortlichkeiten für die Bearbeitung der einzelnen Abschnitte vereinbart:

Wir versichern, die Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe erstellt zu ha- ben. Wir haben keine anderen Hilfsmittel als die im Quellenverzeichnis ge- nannte Literatur verwendet.

Üblicherweise müssen in Facharbeiten wörtliche Zitate und sinngemäße Übernahmen aus den verwendeten Quellen kenntlich gemacht werden. Im Zuge der Bearbeitung sind wir aber zu der Überzeugung gekommen, dass eine solche Kennzeichnung im Fach Mathematik keinen Sinn hat. Die Theorie der komplexen Zahlen und die sich daraus ergebenden Formeln sind in allen Lehrbüchern mehr oder weniger gleich dargestellt. Hier können wir „das Rad nicht neu erfinden“, und insofern ist fast die gesamte Arbeit eine „sinngemäße“, hinsichtlich der Formeln sogar „wörtliche“ Übernahme.

Die erläuternden Texte sind von uns selbst formuliert, die verwendeten Bei- spiele selbst gewählt und berechnet. Insbesondere die Kommentierung im Nachwort stellt eine eigenständige Leistung dar.

Fußnoten wurden – abweichend von der sonst üblichen Nummerierung –mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet, um Verwechslungen mit Exponenten zu vermeiden.

Baesweiler, 22. März 2001

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fabian Ohler Harald Schmidinger

1. Unser Zahlensystem

Der Bereich der komplexen Zahlen ist Bestandteil unseres Zahlensystems – allerdings ein Bereich, der erst relativ spät „entdeckt“^b wurde. Deshalb soll zur Einleitung zunächst ein kurzer Überblick über unser Zahlensystem gegeben werden.

Auffällig ist, dass es stets Problemstellungen gab, die mit den bis dahin be- kannten Zahlen nicht mehr zu lösen waren, und die deshalb eine Erweite- rung des Zahlensystems um weitere Bereiche erforderlich machten. Auch die komplexen Zahlen sind aus einer solchen Notwendigkeit entstanden, wie wir unter Ziffer 1.5 zeigen werden.

1.1 Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, ...). Die Zahl Null ist keine natürliche Zahl. Von den vier Grundrechenarten sind nur Addition und Multiplikation uneingeschränkt möglich. Bei Subtraktion und Division stößt man schnell an die Grenzen der natürlichen Zahlen.

Die natürlichen Zahlen können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden.

1.2 Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen ergibt sich aus der Erweiterung der natürlichen Zahlen um die Menge der negativen ganzen Zahlen und der Null^c. Die Notwendigkeit negativer Zahlen ergibt sich unmittelbar aus der Subtraktion, nämlich dann, wenn eine größere (ganze) Zahl von einer kleineren (ganzen) Zahl abgezogen werden soll.

In früheren Zeiten erschienen negative Zahlen zunächst sinnlos, z. B. wenn Zahlensysteme im Handel zur Bemessung von Mengen und Gewichten ge- braucht wurden. Heute ist es dagegen selbstverständlich, dass ein Konto ein „negatives Guthaben“ aufweisen kann, dass man also Schulden gemacht hat. Auch in der Physik sind negative Werte üblich, z. B. negative Temperaturen (Temperaturen unter 0 °C).

Die Darstellung der negativen Zahlen auf einem Zahlenstrahl ist nicht mög- lich, da sie links vom Anfangspunkt dieses Strahls liegen würden. Deshalb war eine Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden^d erforderlich, in- dem der Zahlenstrahl am Nullpunkt gespiegelt wird.

1.3 Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen die sich als Bruch in der Form m

n

darstel-

len lassen, wobei m und n ganze Zahlen sind. m wird Zähler genannt, n ist der Nenner des Bruches. n gibt also an, in wie viele Teile ein Ganzes zerlegt wird, m gibt an, wie viele dieser Teile vorhanden sind.

Nach dieser Definition sind auch die ganzen Zahlen rationale Zahlen, denn ganze Zahlen lassen sich stets als Bruch darstellen, wobei der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist.

Mit Einführung der rationalen Zahlen sind auch die Beschränkungen der na- türlichen Zahlen in Bezug auf die Division aufgehoben^e.

Jede rationale Zahl lässt sich auf der Zahlengeraden darstellen.

[...]

^a Euler, 1768/69 (vollständiges Zitat siehe Titelseite)

^b Eigentlich werden Zahlen nicht „entdeckt“ – vielleicht sollte man treffender sagen, sie werden „definiert“. Das sprachliche Bild wurde hier gewählt, weil die Definition neuer Zahlenbereiche durchaus mit wichtigen Entdeckungen im Bereich der Naturwissenschaften verglichen werden kann.

^c Historisch betrachtet wurde die Null allerdings erst sehr viel später als die negativen Zahlen und die gebrochen rationalen Zahlen eingeführt.

^d Während der Zahlenstrahl nur nach einer Seite (nämlich in Richtung der positiven Zahlen) unbegrenzt ist, ist die Zahlengerade in beide Richtungen (positiv und negativ) unbegrenzt.

^e mit Ausnahme der Division durch Null