Die Physik des cartesischen Tauchers. Eine wissenschaftliche Untersuchung

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung
1.1 Historischer Hintergrund
1.2 Aufgabe
1.3 Hypothesen

2. Theoretische Grundlagen
2.1 Einführung
2.2 Physikalische Gesetzmäßigkeiten und Prinzipien
2.2.1 Herleitung für die Auftriebskraft des Tauchers
2.2.2 Gesetzmäßigkeiten für den Taucher
2.3 Cartesischer Taucher im sinkenden/steigenden Zustand
2.4 Cartesischer Taucher im schwebenden/schwimmenden Zustand
2.5 Druck und Temperatur
2.5.1 Boyles Gesetz
2.6 Irreversibilität
2.6.1 Katastrophentheorie
2.7 Schlussfolgerung

3. Experimentelle Prüfung der Theorie
3.1 Aufbau des Experiments
3.2 Durchführung
3.3 Ergebnisse
3.4 Auswertung
3.5 Weitere Untersuchungen der Größen

4. Diskussion der Ergebnisse
4.1 Kritische Betrachtung der Messdaten
4.2 Kontrolle der Hypothesen
4.3 Zusammenfassung

5. Literatur- und Quellenverzeichnis

6. Abbildungsverzeichnis

1. Einführung

Diese Arbeit entstand im Rahmen des „GYPT“ Wettbewerbs 2021 und des „Jugend forscht“ Wettbewerbs 2021. Die Aufgabe lautete wie folgt: ein einfacher cartesischer Taucher (z. B. ein umgekehrtes, teilweise mit Wasser gefülltes Reagenzglas) wird in ein langes, vertikales, mit Wasser gefülltes Reagenzglas gestellt. Die Erhöhung des Drucks im Schlauch zwingt den cartesischen Taucher zum Sinken. Erreicht er eine bestimmte Tiefe, kehrt er nie wieder an die Oberfläche zurück, auch wenn der Druck wieder auf seinen Anfangswert zurückgesetzt wird. Untersuchen Sie dieses Phänomen und seine Abhängigkeit von relevanten Parametern.

Der irreversible cartesische Taucher ist ein in Flüssigkeit schwimmender, mit Luft gefüllter Hohlkörper, der nach Absinken nicht wieder von selbst auftauchen kann. Mit dieser Problemstellung beschäftigt sich die wissenschaftliche Arbeit ausführlich.

Der cartesische Taucher ist sehr interessant, da selbst so ein simples Spielzeug sehr viele physikalische Fragen aufwirft. Der cartesische Taucher ist ein mit Flüssigkeit und Luft gefüllter Hohlkörper. Er kann als Spielzeug oder als Messgerät für den hydrostatischen Druck in Flüssigkeiten verwendet werden. An ihm kann man die Prinzipien des Schwimmens, Schwebens und Sinkens bzw. Steigens von Körpern verdeutlichen. Noch dazu kommen Prinzipien wie Pascals und Boyles Gesetz.

1.1 Historischer Hintergrund

„Der Name ist abgeleitet von René Descartes, latinisiert „Cartesius“. Er wurde angeblich um 1640 von René Descartes entwickelt, tatsächlich aber vom italienischen Physiker Raffaello Magiotti erfunden und 1648 erstmals beschrieben.“¹

1.2 Aufgabe

Ob in Schwimmblasen von Fischen oder in U-Booten: Das Prinzip des cartesischen Tauchers ist in einigen Alltagssituationen zu finden. Für diese Objekte gilt: überschreiten sie eine bestimmte Tiefe, so sinken diese und können ohne Gegenmaßnahmen nicht wieder auftauchen. Mithilfe dieses schon ausführlich erforschten Prinzips ist es hier möglich, genau diesen Vorgang und die Bewegung des Körpers zu beschreiben.

Besonders diese anschauliche und interessante Physik hinter dem irreversiblen cartesischen Taucher, reizten mich dazu diese Aufgabe vom „German Young Physicists’ Tournament“ auszusuchen.

Der cartesische Taucher zeigt ein verwirrendendes Phänomen auf. Wenn man eine große Flasche hat und diese zusammendrückt, sodass der Taucher sinkt, sinkt der Taucher. Er kann einen Punkt erreichen, an dem er überhaupt nicht mehr aufsteigen kann - er wird irreversibel. Wenn eine Kraft von außen auf die Flasche ausgeübt wird, so steigt der Wasserstand im cartesischen Taucher an, da das Luftvolumen abnimmt. „Ab einem bestimmten Wasserstand beginnt der Taucher zu sinken. Wird die von außen auf die Flasche wirkende Kraft reduziert, so sinkt der Wasserstand im Taucher wieder und der Taucher steigt an die Oberfläche.“²

Meine Leitfragen für diese Facharbeit waren:

- Wie kann der Zusammenhang zwischen dem Druck und dem von Luft eingenommenen Volumen beschrieben werden?
- Mit welcher Gleichung kann beschrieben werden, ob der Taucher aufsteigt oder sinkt?
- Welche der darin enthaltenen Parameter verändern sich während des Experiments?
- Wie hängt seine Funktionsweise mit dem eingeschlossenen Luftvolumen zusammen?
- Wie kann erklärt werden, dass der Taucher ab einer bestimmten Tiefe absinkt?
- Unterhalb welches experimentell bestimmten Luftvolumens sinkt der Taucher immer? Warum?
- Was passiert, wenn die Flasche nicht vollständig gefüllt ist?

Wenn von außen auf die Flasche eine Kraft einwirkt, wird die Flasche zusammengedrückt. Damit steigt der Druck in der Flasche, der auf die Luftblase im Taucher wirkt. „Dadurch wird die Luft komprimiert, sie nimmt ein geringeres Volumen ein und der freiwerdende Raum wird von nachströmendem Wasser eingenommen. Füllt sich der Taucher mit Wasser, so nimmt seine Masse zu.“³ Daher steigt seine Gewichtskraft FG. „Seine Auftriebskraft FA bleibt jedoch konstant, da sich das Volumen des Tauchers nicht verändert. Ist nun so viel Wasser in den Taucher geströmt, dass die Gewichtskraft FG des Tauchers größer ist als seine Auftriebskraft FA, so beginnt er zu sinken.“⁴

Wenn die Flasche nicht vollständig mit Wasser gefüllt ist, zum Beispiel nur zu %, dann muss man die Flasche stärker zusammendrücken, als wenn sie komplett gefüllt wäre. „Ursache hierfür ist, dass nun nicht nur die Luft im Taucher komprimiert wird, sondern auch die Luft in der Flasche.“⁵

1.3 Hypothesen

Um diese umfassenden Leitfragen beantworten zu können und die Ergebnisse praktisch nachzuweisen, habe ich mir einige Hypothesen überlegt. (Herleitungen siehe Theorie Teil).

1. Hypothese

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Hypothese

Der „no return point“ ynr ist mit dieser Gleichung berechenbar:

3. Hypothese

Der cartesische Taucher ist nie auf dem „no return point“ unter Wasser stabilisierbar, auch wenn dort scheinbar ein Equilibrium zwischen den Kräften der Auftriebs- und der Gewichtskraft herrscht.

2. Die Theorie des cartesischen Tauchers

2.1 Einführung

Grundlegend sind die wichtigsten Kräfte, die auf den cartesischen Taucher wirken, die Gewichtskraft FG und die Auftriebskraft FG. Diese beiden physikalischen Größen bestimmen, ob der cartesische Taucher sinkt, schwebt, steigt oder schwimmt. Die Gewichtskraft sorgt dafür, dass der Taucher sinkt, und die Auftriebskraft sorgt für das Aufsteigen. Diese Gesetzmäßigkeiten sind zu sehen in meiner Experimentierskizze.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

m⁶ sz

Diese Wirkung wird unter dem Archimedischen Prinzip^{7 8} 7 8 zusammengefasst.

Weitere wichtige Faktoren sind das Pascal’sche Gesetz und das Boyle’sche Gesetz. Das Pascal’sche Gesetz besagt, dass der hydrostatische Druck P, also der Druck, der sich innerhalb einer ruhenden Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft einstellt, P(h) =p-g-h + P0 Abbildung 1 Eigene Aufnahme entspricht.⁹ Benannt wurde das Prinzip nach dem Mathematiker Blaise Pascal.¹⁰ Im Boyle’schen Gesetz ist festgehalten, dass der Druck idealer Gase bei gleichbleibender Temperatur (isotherme Zustandsänderung) und gleichbleibender Stoffmenge n umgekehrt proportional zum Volumen V ist.¹¹ Erhöht man den Druck auf ein Gasvolumen, wird durch den erhöhten Druck das Volumen verkleinert. Das Gas wird komprimiert. Verringert man jedoch den Druck, so dehnt es sich das Volumen aus. Man spricht jetzt von einer Expansion des Gases. Daraus folgt die halbquantitative Aussage für die eingeschlossene Gasmenge: Je größer der Druck P, desto kleiner das Volumen V (bei Kompression) und je kleiner der Druck P, desto größer das Volumen V (bei Expansion). Daraus folgt: P -V = konstant. Die Physiker Robert Boyle und Edme Mariotte haben dieses Gesetz entdeckt.¹² Durch diese Prinzipien und Gesetze lässt sich die Bewegung und die Irreversibilität des cartesischen Tauchers erklären.

2.2 Physikalische Gesetzmäßigkeiten und Prinzipien

Die Auftriebskraft, auch statischer Auftrieb genannt, ist umgekehrt proportional zu dem Gewicht des durch den Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumens. Eine grundlegende Gesetzmäßigkeit ist das Archimedische Prinzip: Durch den Auftrieb verliert ein eingetauchter Körper (scheinbar) so viel an Gewicht, wie die von ihm verdrängte Flüssigkeit wiegt.¹³ Der Betrag der Auftriebskraft, die auf den Körper wirkt, ist also gleich dem Betrag der Gewichtskraft des verdrängten Mediums.

2.2.1 Herleitung für die Auftriebskraft Fa

Wir betrachten ein Gefäß, dass mit einer Flüssigkeit gefüllt ist. In diesen Behälter wird ein Körper eingeführt, der das Volumen VK und die Dichte pK hat. Die Flüssigkeit hingegen wird durch das Volumen Vund die Dichte p beschrieben. Auf den Körper wirkt die Gewichtskraft. Diese lässt sich mit FG K = mK ■ g definieren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wirkt auf den Körper jedoch nur die Gewichtskraft, so wird der Körper permanent auf den Grund des Gefäßes sinken. Dies ist jedoch nicht der Fall. Der Körper schwimmt auf dem Wasser. Es muss also eine andere Kraft geben, die der Gewichtskraft entgegenwirkt. Der Körper in der Flüssigkeit nimmt einen bestimmten Raum (VK) ein und verdrängt dabei die Flüssigkeit. Das verdrängte Volumen V ist gleich dem Volumen des Körpers Vk. Es ergibt sich also VK = V. Ein Unterschied besteht jedoch in den Dichten der beiden Stoffe. Die Gewichtskraft für die verdrängte Flüssigkeit beträgt also FG = p -VK ■ g . Diese Kraft sorgt für den Auftrieb. Wenn der Körper schwimmt bzw. schwebt, befinden sich die Kräfte im Gleichgewicht: 0 = FA- FG. Die Auftriebskraft ist also FA= FG = Pmedium ' VKörper ' 9- Archimedes von Syrakus war der Erste, der diesen Zusammenhang entdeckt hat.¹⁴ Deshalb spricht man oft vom archimedischen Prinzip.

2.2.2 Gesetzmäßigkeiten für den Taucher

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 Eigene Skizze

P = Druck, y = Höhe bzw. Tiefe, Y = Länge der Luft unter y = 0, L = Länge des Tauchers, l0 = ursprüngliche Länge der Luftblase, BpBuoyancy) = Auftriebskraft, W(Weight) = Gewichtskraft.

Für diese Gesetzmäßigkeit ergeben sich 4 verschiedene Zustände für unseren Körper in der Flasche:

Abb. 2.a) Die Kräfte gleichen sich aus, der Taucher schwimmt und die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft FA = FG.

Abb. 2b) Die Kräfte sind ungleich und der Taucher sinkt FA < FG.

Abb. 2.c) Die Kräfte sind gleich und der Taucher schwebt innerhalb des Wassers FA = fg .

Abb. 2.d) Der Taucher steigt und FA > FG.

Die Auftriebskraft wird also durch das Volumen bzw. die Größe der Luftblase bedingt. Das Volumen der Luftblase ändert sich jedoch sichtlich bei Erhöhung des Druckes (ersichtlich in den Messwertetabellen und Anhängen zu der Experimentdurchführung). Dieses Phänomen liegt am Boyle’schen Gesetz: Wenn wir davon ausgehen, dass unser

Gas ein ideales Gas ist und die Temperatur konstant bleibt, wird das Volumen der Luft, wenn man den Druck erhöht, komprimiert.15 16 Da die Flasche je nach Experiment unterschiedlich hoch mit Wasser gefüllt war, sind die Experimentergebnisse unterschiedlich. Wenn die Flasche komplett mit Wasser gefüllt ist, ist die einzige komprimierbare Luft, die Luft in unserem cartesischen Taucher. Das liegt daran, dass Wasser inkompressibel ist. Bei Erhöhung des Druckes wird also dieses Volumen komprimiert. Wenn man die Flasche nicht komplett mit Wasser füllt, zum Beispiel nur zu 75%, gibt es mehr Luft im System. Somit muss der Druck noch höher verstärkt werden, um dieselbe Wirkung wie beim oben genannten Beispiel zu erzeugen. Das Pascal’sche Gesetz spielt außerdem eine große Rolle. Damit lässt sich ”der hydrostatische Druck für Fluide mit konstanter Dichte im homogenen Schwerefeld berechne[n]“.77 Es gilt: P(h) =p- g ■ h + P0 . Die Höhe h entspricht hier natürlich der Größe y, also der Tiefe des Tauchers. Das Pascal’sche und das Boyle’sche Gesetz haben also einen direkten Einfluss auf die Auftriebskraft.

2.3 Cartesischer Taucher im sinkenden/steigenden Zustand

Wenn der cartesische Taucher sinkt oder steigt, sind die Auftriebskraft und die Gewichtskraft ungleich. Eine Kraft ist stärker als die andere. Also FA < FG oder FA > fg .

2.4 Cartesischer Taucher im schwebenden/schwimmenden Zustand

Der cartesische Taucher in seinen verschiedenen Zuständen mit physikalischen Größen. (a) Der cartesische Taucher: ein Reagenzglas mit Wasser gefüllt (b) Der cartesische Taucher ^{15 16 17} schwimmt (c) Der cartesische Taucher schwimmt bei dem kritischen Druck P* (d) Der cartesische Taucher ist gesunken.

P0 ist der Normaldruck; P der Druck im Gefäß und P* ist der kritische Druck bei der der Taucher auf Höhe ye = 0 schwimmt. Bei weiterem Erhöhen des Drucks P* würde der Taucher sinken. L ist die gesamte Länge des Reagenzglases; l0 ist die Höhe der ursprünglichen Luftsäule im Reagenzglas und l ist die Höhe der Luftblase von dem ins Wasser gesetzten Reagenzglases. Dabei ist y eine vertikale Koordinaten-Achse, welche die Höhe angibt; ye bezeichnet eine beliebige Höhenposition, bei der der Taucher schwimmt, und ynr kennzeichnet die Höhe des „no return points“ (Punkt der Irreversibilität): den Punkt, ab welchem der Taucher sinkt. Y ist dabei die Länge der Luftblase im Reagenzglas unter der Wasseroberfläche; Ye bezeichnet diese Länge, während der Taucher schwimmt und Te* bezeichnet diese Länge, bei dem kritischen Druck

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn wir jetzt das archimedische Prinzip für das Schweben oder Schwimmen anwenden, erhalten wir FA = FG. Wenn wir die Masse der Luft, da sie verschwindend klein ist, vernachlässigen, erhalten wir somit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Faktor pTube bezieht sich hierbei auf — des Tauchers. Der Parameter p steht für die Dichte des Wassers und beträgt p = 1 gcm~3. Das Volumen kann man annähernd durch V « (0 L(d2uß — djnn) berechnen und A = dfnn ist die horizontale Querschnittsfläche durch den Taucher. Der Ortsfaktor ist g = 9.81 ms~2. Der Term in den Klammern beschreibt das Volumen des Glases im Wasser und die damit verbundene Auftriebskraft.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4 Eigene Skizze

In diese Gleichung (Gl. 1) geht der Druck zwar noch nicht als direkte Größe ein, jedoch hängt ye bzw. Ye vom Druck ab. Indem wir den Druck zu dem Wert P* erhöhen, bringen wir den Taucher genau an die Grenze der Wasseroberfläche, also ye = 0 (siehe Abb. 3c). Wenn man den Druck weiter erhöht, fängt der Taucher an zu sinken. Wir können die Höhe der Luftblase bei ye = 0 theoretisch berechnen. Nach dem Umstellen aus der oberen Gleichung (Gl. 1) folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Höhe der Luftblase bei ye = 0 hängt also nur von den beiden Dichten und den räumlichen Eigenschaften V,A ab. Die ursprüngliche Größe der Luftblase l0 hat also keinen Einfluss auf Eg . Solange ye << L ist (was bei meinen Experimenten immer der Fall war) ist der Term in den Klammern bei Gleichung (1) annährend 0 und somit gilt Ye «

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5 Druck und Temperatur

Wenn wir die Luft im Taucher als ideales Gas betrachten und die Temperaturänderung vernachlässigen, können wir nach dem Pascal’schen und dem Boyle’schen Gesetz den Druck berechnen. Die Gleichung für den Schweredruck ist P(h) = pgh + P0 ¹⁸, wobei h die Tiefe des Tauchers ist. Je tiefer der Taucher ist, desto stärker ist auch der Druck. Mit P0 beschreiben wir den Atmosphärendruck, also auch den Druck, den wir von außen hinzufügen. Außerdem gilt nach Boyle in unserem Gefäß PV = ^ = konstant oder P1V1 = P2V2. Hier versteckt sich das Grundprinzip des cartesischen Tauchers und seiner Irreversibilität.

2.5.1 Boyles Gesetz

Je größer der Druck, desto kleiner das Volumen. Da wir den Druck künstlich erhöhen und der Taucher beim Sinken ebenfalls einem erhöhten Druck ausgesetzt ist, verringert sich das Volumen. Der cartesische Taucher fängt an zu sinken, da FG > FA. Das liegt daran, dass der Wert der Gewichtskraft sich mit steigendem Druck nicht verändert FG = mg = konstant. Die Auftriebskraft hingen ist vom Volumen abhängig und dadurch, dass sich der Druck erhöht und dass Volumen sich verringert, gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Auftriebskraft ist schwächer nach Druckerhöhung und FA vorher > FA nachher. Deshalb sinkt der Taucher bei der Erhöhung des Druckes. Nach Boyle gilt P1V1 = P2V2. Wenn wir das auf unseren Fall anwenden, das Pascal‘sche Gesetz vom Schweredruck

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus können wir ye berechnen:

Wenn wir in die Druckgleichung (Gl. 4) ye = 0 (Abb. 3c) einsetzen und somit P = P* gilt, entfällt ye komplett aus der Gleichung. Die Fläche hat ebenfalls keinen Einfluss mehr.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In meinen Experimenten war Ygpg << P und deshalb kann der zweite Term in der Klammer (Gl. 6) vernachlässiget werden. Somit haben wir P0l0 « P*Y£ oder im Verhältnis beschrieben

Wenn der Taucher statisch ist und ein Kräftegleichgewicht herrscht, gilt y = ye und y lässt sich durch Gleichung (5) berechnen. Wenn dieses Kräftegleichgewicht gestört wird, wirkt eine vertikale Kraft - der Taucher sinkt oder steigt. Die Kraft kann man durch das archimedische Prinzip berechnen: F = FA — FG. FA können wir mit Gleichung (1) berechnen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit können wir für jeden Punkt im Taucher und im Gefäß die jeweilige Kraft berechnen. Aus Gleichung (8) lässt sich Gleichung (9) durch Faktorisieren herleiten. Wenn wir annehmen, dass die Temperatur gleichbleibt, dann können wir nach dem Pascal’schen Prinzip und dem Boyle‘schen Gesetz auch den Druck berechnen (Gleichung (6)). Es gibt wieder zwei verschiedene Fälle.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.6 Irreversibilität

Wie kommt es also zur Irreversibilität des cartesischen Tauchers? Wenn man den Taucher durch Erhöhen des Druckes sinken lässt, gibt es einen Punkt ynr , an dem der Taucher, auch wenn man den Druck ausgleicht, nicht mehr aufsteigen kann. Der Taucher wird irreversibel. In meinen Experimenten ist mir aufgefallen, dass ye — 0 und der Taucher somit eingetaucht war. Wenn der Taucher sinkt, nimmt das Volumen der Luft ab. Damit kann die Kraft aus Gleichung (9) negativ werden. Wenn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ist die Kraft, die auf den Taucher wirkt, nach unten gerichtet. Der Taucher sinkt.

Grundlegend kann man dieses Phänomen nur in sehr großen bzw. langen Gefäßen beobachten. In einer normalen Flasche kann diese Erscheinung nicht auftreten. Bei einem größeren Experimentaufbau hingegen, ist der hydrostatische Druck von Pascals Prinzip an einer Stelle ynr zu stark und der Taucher kann, selbst wenn man keinen Druck mehr hinzugibt, nicht mehr steigen. Der Parameter ynr muss also der Wert sein, an dem der Druck P einen bestimmten Stellenwert Pnr überschreitet. Den Wert ynr können wir somit mit Gleichung (11) berechnen. Als Parameter y setzen wir y = ynr und Y = Te* (Wert für Y bei F = 0, siehe Gleichung (14)). Nach dem Umstellen erhalten wir dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei AP = P* — P0. Somit haben wir eine Alternative für Gleichung (7) in der der Faktor l0 keine Rolle mehr spielt. Das ist praktisch, denn auch geringe Messfehler würden die Ergebnisse stark beeinflussen.

2.6.1 Katastrophentheorie

Weitergehend kann man dieses Phänomen auch mit der Katastrophentheorie erklären. Mit der Katastrophentheorie wird das Wachstum eines Wertes x (zum Beispiel die Höhe y) über die Zeit t in dynamischen Systemen beschrieben. Bei dem cartesischen Taucher und seiner Irreversibilität handelt es sich um die Faltungskatastrophe. Das ist aber eine Fragestellung für eine weitere Facharbeit. Weitergehend wäre ein möglicher Ansatz, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Tauchers beim Sinken und Steigen zu untersuchen.

2.7 Schlussfolgerung

Die Irreversibilität des Tauchers lässt sich auf die Länge der Luftblase innerhalb des Tauchers zurückführen. Die Länge wird durch das Boyle’sche Gesetz und durch das Pascal’sche Gesetz bedingt. Nach Archimedes Prinzip ist der Auftrieb wiederum von der Größe der Luftblase bzw. dem Volumen abhängig. Wichtig anzumerken ist außerdem, dass dieses Phänomen nicht in normalen Flaschen zu beobachten ist. Das Gefäß muss größer sein (vgl. Pascal‘sches Gesetz), damit man den Punkt der Irreversibilität erreichen kann.

3. Experimentelle Überprüfung der Theorie

3.1 Aufbau des Experiments

Für das Experiment benutzte ich ein 1,50m hohes Plexiglasrohr, welches oben und unten luftdicht verschlossen war. In den oberen Deckel führen zwei Kunststoffschläuche, über welche ich mit Kolbenspritze, Manometer und Druckventil den Druck zuführen, messen und ablassen konnte. Für den cartesischen Taucher verwendete ich ein Reagenzglas, welches ich mit der Öffnung nach unten in das Wasser des Gefäßes gelegt habe. Um den Taucher von außerhalb bewegen und fixieren zu können, befestigte ich eine Büroklammer mit Tape am Reagenzglas und

Abbildung 6 Eigene Aufnahme

bewegte ihn von außen mit einem stärkeren Magneten. So konnte ich genauere Messungen durchführen.

3.2 Durchführung

Mein Experiment besteht aus zwei Versuchen mit jeweils verändertem Parameter l0; Ich verwende immer denselben Taucher. Für jeden der zwei Versuche habe ich bei verschiedenen Drücken P jeweils die F-Werte in mehreren verschiedenen Höhen y gemessen. Den „no return point“ ynr habe ich nur bei Atmosphärendruck ermittelt, da ich den Druck bei dem der Taucher sinkt nicht mit meinem Manometer erfassen konnte. (Das Manometer misst erst ab 0,15 bar Überdruck und dann ist der Taucher bereits gesunken.) Ich lege den Taucher vorsichtig mit der Öffnung nach unten in das Gefäß, ohne dass dabei zusätzliche Luft in den Taucher gelangt. Das Gefäß wird jetzt druckdicht verschlossen; Druck und Abbildung 7 Eigene Aufnahme Position des Tauchers verändere ich mit Kolbenspritze

und Magneten und F wird von außen gemessen. Wichtig ist vor allem die präzise Messung des Wertes y, da sich der Wasserspiegel im Experiment ändert.

Ich habe dieses Experiment durchgeführt und mit zwei Tauchern bei unterschiedlichem Druck für die Höhe y die Höhe Y gemessen. Außerdem habe ich den „no return point“ für beide Taucher bei Normaldruck ermittelt. In der Tabelle sind meine gemessenen Y- Werte zusammen mit den jeweiligen y-Werten zu sehen:

Tabelle 1: Messwerte von y und Y von zwei Tauchern bei unterschiedlichem Druck. Beide Taucher haben dieselben

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

geometrischen Maße. Nur lQ unterscheidet sich. Bei Taucher 1 und 2 beträgt l0 in etwa 7,8 cm und 5,7 cm. Alle Angaben in cm. Meine Messungen für ynr waren für Taucher 1: -51.2 cm und für Taucher 2: -51.1 cm bei Normaldruck. Die Messwerte für ynr sind jedoch fehlerhaft. Mit dem Graphen vergleiche ich die Messwerte für Y mit den theoretisch berechneten T-Werten.

Werte. Taucher 1:

Farben Blau bis Grün (l0 = 7,8cm). Taucher 2: Farben Rot bis Braun (l0 = 5,7cm).

Die Messungen der T-Werte stimmen relativ genau mit den errechneten F-Werten überein und bilden denselben Graphen. Die erste Messreihe zeigt jedoch ein paar Abweichungen vom theoretischen Graphen auf. Die Fehler, die ich aus der Differenz zwischen berechneten und gemessenen Y-Werten errechnet habe, habe ich in folgender Tabelle aufgeführt und darunter in einem Graphen visualisiert.

Tabelle 2: Fehlertabelle mit den Differenzen zwischen berechneten und gemessenen T-Werten. Ergebnisse sind auf zwei Nachkommastellen gerundet. Angaben in cm.

Graph 2: Bildet die Differenz zwischen berechneten und gemessenen Y- Werten ab.

Werte aus Tabelle 2.

Aus der Tabelle sowie dem Graphen ist erkennbar, dass die berechneten T-Werte nur um maximal -2 bis +3 Millimeter voneinander abweichen. Diese großen Abweichungen stammen von der ersten Messreihe in Blau. Die Messreihe mit den geringsten Abweichungen ist die Messreihe in Lila. Insgesamt beträgt der Durchschnitt der absoluten Abweichungen der T-Werte rund 0,8 mm. Das heißt, dass trotz Messfehlern und abweichenden Parametern, die berechneten T-Werte im Durchschnitt nur etwa 0,8 mm von den gemessenen abweichen.

Für die zwei Messergebnisse des „no return points“ ynr, die beide etwa -51 cm betragen, konnte ich keine eindeutigen ynr-Werte berechnen, da hierfür extremst genaue Parameter

Werte der Durchmesser dinn und dauß nötig wären. Selbst ein Messfehler von nur 0,1 mm beim inneren oder externen Durchmesser vom Reagenzglas erzeugen bereits eine Abweichung von 60 cm bei den ynr-Werten. Ich nehme deshalb auch an, dass die Messwerte für ynr fehlerhaft sind. Diese kann ich also nicht als eindeutigen experimentellen Beweis benutzen. Mithilfe von P* könnte ich ynr auch ohne die Durchmesser berechnen, jedoch war ein „no return point“ im Experiment nur bei Normaldruck zu finden und mein Manometer konnte dort den geringen Überdruck von P* nicht erfassen.

3.5 Weitere Untersuchungen der Größen

Graph 3: Wenn man einen genaueren Blick auf die Kräfte des cartesischen Tauchers wirft, erkennt man, dass es ein stabiles Equilibrium bei ye und ein instabiles Equilibrium bei ynr gibt (siehe Gleichung (B)(9)).

Weitergehend habe ich auch den Einfluss des Druckes genauer untersucht. Ich bin zu folgenden qualitativen Aussagen gekommen. Je höher der Druck P, desto kleiner das Luftvolumen Vair. Der Druck P hat also einen direkten Einfluss auf die Auftriebskraft B. Je kleiner y, desto größer der Druck (siehe Pascal). Weitere wichtige Erkenntnisse sind, dass die Größe der Luft Y mit steigender Tiefe y und mit steigendem Außendruck Pext abnimmt. Diese Größe ist schlaggebend für den Auftrieb.

Ich wollte diese Zusammenhänge noch genauer untersuchen, indem ich die Folgen der Erhöhung des Druckes notierte. Graph 4: Je größer der Druck P, desto kleiner die Größen ye und Ye. Je kleiner ye, desto größer ist die Auftriebskraft des Glases. Je kleiner Ye, desto kleiner die Auftriebskraft der Luft.

Darüber hinaus habe ich noch die kritischen Werte genauer untersucht. Graph 5: Wichtige Aussagen sind, dass Yl konstant bleibt und unabhängig von den Faktoren P und l0 ist (Archimedes Prinzip siehe Gleichung (2)).

Graph 6: Der kritische Druck P* ist hingegen abhängig von den Größen l0 und Y*, wobei P*~ l0 (Boyles Law siehe Gleichung (7)).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.1 Kritische Bewertung der Messdaten

Die Messdaten für die y- und E-Werte stimmen relativ genau überein. Es gibt jedoch einige kleine Abweichungen und Messfehler, die besonders bei den ynr-Werten zu betrachten sind. Der größte Messfehler stammt vom ungenauen Ablesen der Längenmaße; hier ist immer mit Messfehlern von ±1 mm zu rechnen. Den Wasserstand habe ich auch mit ±1 mm Abweichung gemessen, um die richtigen y-Werte berechnen zu können. So entstanden hauptsächlich die Abweichungen der y- und E-Werte. Einen geringen Einfluss auf die Messungen hatte evtl. auch, dass der Druck im Gefäß über die Schläuche, den Kolben aus der Spritze drückt, so dass der Druck im Gefäß fälschlicher Weise abnimmt. Diesen Faktor habe ich jedoch betrachtet und es entstand kein wirklicher Fehler. Bei den ynr-Werten gibt es einen Messfehler. Ich habe den sich verändernden Wasserspiegel für die ynr-Werte nicht beachtet, was die ynr-Werte fehlerhaft macht. Auch, dass beide ynr-Werte bei unterschiedlichem Z0-Parameter identisch sind, ist ein Indiz dafür, dass die ynr-Werte falsch sind.

4.2 Kontrolle der Hypothesen

1. Hypothese:

Die Höhe der Luftblase unter Wasser E, kann mit den Gleichungen (12, 13) berechnet werden, wie der Vergleich mit berechneten und gemessenen E-Werten eindeutig zeigt.

2. Hypothese: Ich konnte aufgrund fehlender ynr-Messwerte nicht experimentell belegen, dass sich ynr mit der Gleichung M = -k(lT-p)-r:

berechnen lässt. Jedoch habe ich bei meiner Recherche ein Paper gefunden, welches einen ähnlichen Ansatz aufzeigt.

3. Hypothese:

Der cartesische Taucher ist nie auf dem „no return point“ stabilisierbar. Das ist damit belegbar, dass der cartesische Taucher nie exakt auf dem „no return point“ schweben wird und auch damit, dass der Taucher durch jede kleinste Krafteinwirkung oder Druckänderung aus dem Gleichgewicht bei ynr geworfen wird und sinken oder steigen muss. Experimentell konnte ich beobachten, dass der cartesische Taucher erstaunlicherweise einmal länger als zehn Sekunden auf der Höhe des „no return points“ ynr verharren konnte, bevor er sank.

4.3 Zusammenfassung

Ich habe den cartesischen Taucher mithilfe von Reagenzgläsern mit eingeschlossener Luft theoretisch und experimentell untersucht. Ich konnte beobachten, dass das Kräftegleichgewicht beim Equilibrium des Schwimmens nicht länger konstant war, wenn sich der Außendruck veränderte. Außerdem kann der Taucher, nachdem er eine bestimmte Tiefe überschreitet, welche vom Druck abhängt, niemals wieder an die Oberfläche zurückkehren und wird irreversibel. Dieses überraschende Phänomen ergibt sich aus einer Kombination des Boyle‘schen Gesetzes und des Pascal‘schen Prinzips; die Größe der Luftsäule innerhalb des Glases hängt von Archimedes Prinzip, das den Auftrieb bestimmt, ab. Das System kann weitergehend mit einer Potentialfunktion der Faltungs-Katastrophe beschrieben werden. Der schwimmende Taucher sinkt bei einem gegebenen kritischen Druck spontan. Wenn das Gefäß hoch genug ist, wird der gesunkene Taucher niemals wieder auftauchen, auch wenn der Druck reduziert bzw. normalisiert wird. Mit meinen Experimenten konnte ich gute Messwerte sammeln, um meine Theorie sowie Hypothesen experimentell zu belegen. Dies betrifft die Gleichung für die Länge der Luftblase Y, mit welcher es möglich ist, den Wert für Y bei jeder beliebigen Höhe y zu berechnen und somit auch die Kraft F des Tauchers mit der Kraftgleichung für F für jede Wassertiefe ermitteln zu können.

5. Literatur- und Quellenverzeichnis

Bücherquellen

Demtröder, Wolfgang. Experimental Physik 1. 6. Auflage. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg. 2013

Meschede, Dieter, Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer Spektrum. Berlin Heidelberg. 2015.

Tipler, Paul A., Mosca, Gene. Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. 8. Auflage. Springer Spektrum. Berlin Heidelberg. 2019.

Kumric, Helga, Roser, Felix. Experimentalphysik: Mechanik. Springer Spektrum. Berlin Heidelberg. 2020

Internetquellen

Deutsche Physikalische Gesellschaft e.V. 2020. Irreversible Cartesian Diver. https://www.gypt.org/aufgaben/06-irreversible-cartesian-diver.html (08.03.2021)

Fiolhais, Carlos. 2002. The Cartesian diver and the fold catastrophe. https://www.researchgate.net/publication/242088917_The_Cartesian_diver_and_the_fol d_catastrophe (20.03.2021)

LEIFIphysik. Druck und Auftrieb. https://www.leifiphysik.de/mechanik/druck-und- auftrieb/versuche/cartesischer-taucher (10.01.2020)

LEIFIphysik. Allgemeines Gasgesetz. https://www.leifiphysik.de/waermelehre/allgemeines-gasgesetz/grundwissen/gesetz- von-boyle-und-mariotte (13.01.2021).

Spektrum. Archimedisches Prinzip. https://www.spektrum.de/lexikon/physik/archimedisches-prinzip/740 (12.01.2021). Wikipedia. Archimedisches Prinzip. https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Prinzip (12.01.2021).

Wikipedia. Cartesischer Taucher. https://de.wikipedia.org/wiki/Cartesischer_Taucher (10.01.2021)

Wikipedia. 02.1.2003. Thermische Zustandsgleichung idealer Gase. https://de.wikipedia.org/wiki/Thermische_Zustandsgleichung_idealer_Gase (08.01.2021)

Wikipedia. Hydrostatischer Druck. https://de.wikipedia.org/wiki/Hydrostatischer_Druck (14.01.2021) .

6. Abbildungsverzeichnis

Diagramm aus Boyles Experimenten, welches den Zusammenhang von Druck und Volumen aufzeigt.

Abbildung 5: Wikipedia. 2011. The plot of data recorded by Robert Boyle explaining Boyle's Law.

[...]

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¹ Zit. nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Cartesischer_Taucher (10.01.2021)

² Zit. nach: https://www.leifiphysik.de/mechanik/druck-und-auftrieb/versuche/cartesischer-taucher (10.01.2020)

³ Zit. nach: Ebd.

⁴ Zit. nach: https://www.leifiphysik.de/mechanik/druck-und-auftrieb/versuche/cartesischer-taucher (10.01.2020)

⁵ Zit. nach: Ebd.

⁶ Wagner, Jenny, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

⁷ Archimedisches Prinzip: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/archimedisches-prinzip/740

⁸ Archimedisches Prinzip: https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Prinzip (12.01.2021).

⁹ Meschede, Dieter, Gerthsen Physik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag

¹⁰ Hydrostatischer Druck: https://de.wikipedia.org/wiki/Hydrostatischer_Druck (14.01.2021).

¹¹ Allgemeines Gasgesetz: https://www.leifiphysik.de/waermelehre/allgemeines- gasgesetz/grundwissen/gesetz-von-boyle-und-mariotte (13.01.2021).

¹² Gesetz von Boyle-Mariotte: https://de.wikipedia.org/wiki/Thermische_Zustandsgleichung_idealer_Gase (13.01.2021).

¹³ Druck und Auftrieb: https://www.leifiphysik.de/mechanik/druck-und- auftrieb/grundwissen/auftriebskraft (13.01.2021).

¹⁴ Archimedes: https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedes (10.01.2021).

¹⁵ Meschede, Dieter, Gerthsen Physik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

¹⁶ Allgemeines Gasgesetz: https://www.leifiphysik.de/waermelehre/allgemeines- gasgesetz/grundwissen/gesetz-von-boyle-und-mariotte (13.01.2021).

¹⁷ Hydrostatischer Druck: https://de.wikipedia.org/wiki/Hydrostatischer_Druck (14.01.2021).

¹⁸ Demtröder, Wolfgang, Experimentalphysik 1 Mechanik und Wärme, Berlin Heidelberg: Springer­Verlag.