Diese Facharbeit befasst sich mit der Euler´schen Zahl, wird dabei aber über die Schulmathematik hinausgehen Dabei werden einerseits zwei verschiedene Verfahren erläutert und angewandt, wie die Euler´sche Zahl ermittelt werden kann, andererseits wird mit Hilfe der Anwendung der Taylorreihenentwicklung die natürliche Exponentialfunktion, zumindest in einem bestimmten Intervall, approximiert.
Diese Anwendung ist, im Gegensatz zu den Herleitungsverfahren der Euler´schen Zahl: Intervallschachtelung und mithilfe der Exponentialreihe, keineswegs Inhalt der Schulmathematik, wobei die anderen beiden Kernthemen nur eine nebensächliche Rolle im Mathematikunterricht spielen. Jedoch wird bei der gesamten Bearbeitung dieser Facharbeit darauf geachtet, unbekannte Verfahren zu erläutern und verständlich darzustellen, um nicht ein zu großes Vorwissen zum Verständnis zu verlangen. Dadurch wird, hoffentlich für alle, die Besonderheit dieser einzigartigen Zahl und der damit verbundenen Funktion deutlich.
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkung
1. Einleitung
2. Intervallschachtelung von e
2.1. Allgemeine Definition
2.2. Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip
2.3. Intervallschachtelung am Beispiel der Euler´schen Zahl e
3. Taylorreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion
3.1. Allgemeine Erklärung
3.2. Mathematische Definition
3.3. Herleitung von Tn und Rn
3.4. Anwendung für die natürliche Exponentialfunktion fx = ex
4. Darstellung von e als Exponentialreihe
4.1. Darstellungsweise
4.2. Herleitung
5. Schluss
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Facharbeit hat zum Ziel, die theoretischen Hintergründe und Approximationsverfahren der Euler´schen Zahl sowie der natürlichen Exponentialfunktion zu erläutern und über den Standardumfang der Schulmathematik hinaus zu vertiefen. Dabei wird der Frage nachgegangen, wie diese mathematischen Konzepte präzise hergeleitet und approximiert werden können.
- Mathematische Grundlagen der Intervallschachtelung zur Bestimmung der Euler´schen Zahl
- Einführung und Anwendung der Taylorreihenentwicklung
- Approximation der natürlichen Exponentialfunktion
- Herleitung der Darstellung von e als Exponentialreihe
Auszug aus dem Buch
3.1. Allgemeine Erklärung
Zu jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion kann eine Taylorreihe entwickelt werden. Diese Taylorreihe fungiert als Approximation (eines bestimmten Wertes) einer vorgegebenen Funktion. Dabei entspricht fx einer Taylorreihe mit unendlich vielen Gliedern, wobei die einzelnen Glieder jeweils addiert werden. Jedes Glied ist dabei ein Taylorpolynom, die alle zusammen eine Taylorreihe mit n Gliedern bzw. eine Taylorreihe n-ten Grades bilden. Je höher dabei der Grad der Taylorreihe ist, desto genauer lässt sich die gegebene Funktion approximieren. x0 entspricht zudem der Entwicklungsmitte, also um welchen Punkt die Taylorreihe entwickelt und die gegebene Funktion approximiert wird. Außerdem entspricht n der n-ten Ableitung der Funktion. Mit Hilfe des Restglieds kann der maximale Fehler abgeschätzt werden, den die durch die Taylorreihe entwickelte Funktion zur ursprünglichen Funktion hat. Dies ist entscheidend, da man die vorgegebene Funktion nie über den gesamten Verlauf des Graphen genau approximieren kann.
Zusammenfassung der Kapitel
Vorbemerkung: Die Verfasserin motiviert ihre Arbeit durch die mathematischen Leistungen Leonhard Eulers und formuliert das Ziel, die Euler´sche Zahl und deren Herleitung intensiv zu durchdringen.
1. Einleitung: Es wird die Bedeutung Leonhard Eulers sowie die Relevanz der Euler´schen Zahl und der natürlichen Exponentialfunktion für mathematische Modelle skizziert.
2. Intervallschachtelung von e: Dieses Kapitel definiert das Prinzip der Intervallschachtelung und wendet es methodisch auf die Euler´sche Zahl an, um diese mathematisch korrekt einzugrenzen.
3. Taylorreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion: Hier wird das mathematische Konzept der Taylor-Reihen eingeführt, die Polynom-Näherung hergeleitet und diese spezifisch auf die Exponentialfunktion angewandt.
4. Darstellung von e als Exponentialreihe: In diesem Teil wird gezeigt, wie die Euler´sche Zahl als unendliche Summe dargestellt werden kann und wie Euler dies historisch herleitete.
5. Schluss: Die Arbeit fasst die gelernten Approximationsverfahren zusammen und reflektiert den Erkenntnisgewinn über die Bedeutung der Euler´schen Zahl.
Schlüsselwörter
Euler´sche Zahl, e, natürliche Exponentialfunktion, Intervallschachtelung, Taylorreihe, Taylorpolynom, Restglied, Approximation, Grenzwert, Potenzreihe, Bernoulli´sche Ungleichung, Mathematische Herleitung, Leonhard Euler, Funktionsanalyse, Analysis
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Facharbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Herleitung und Approximation der Euler´schen Zahl sowie der natürlichen Exponentialfunktion.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Die zentralen Themen sind das Verfahren der Intervallschachtelung sowie die Taylorreihenentwicklung als Methode zur Funktionsapproximation.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, die Herleitungsschritte Eulers nachzuvollziehen und zu zeigen, wie die betreffenden mathematischen Konstanten und Funktionen präzise bestimmt werden können.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Die Arbeit nutzt mathematische Beweisführungen, die Analyse von Folgen, Grenzwertbetrachtungen sowie die Anwendung von Taylor-Polynomen und der Bernoulli´schen Ungleichung.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die methodische Herleitung der Euler´schen Zahl durch Intervallschachtelung und die mathematische Approximation der Exponentialfunktion mittels Taylorreihen.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Die wichtigsten Fachbegriffe sind Euler´sche Zahl, Taylorreihe, Intervallschachtelung, Approximation und Exponentialfunktion.
Warum ist das Restglied bei der Taylorreihe so wichtig?
Das Restglied nach Lagrange ist entscheidend, da es eine mathematische Fehlerabschätzung erlaubt, um zu bestimmen, wie genau die Taylor-Näherung an die tatsächliche Funktion heranreicht.
Wie wurde die Euler´sche Zahl historisch durch Euler hergeleitet?
Euler nutzte für die Herleitung der Exponentialreihe Ansätze, bei denen er Potenzen mit einer Basis a durch binomische Reihen entwickelte und schließlich den Grenzübergang für ein unendlich kleines Intervall betrachtete.
Welchen Stellenwert nimmt die Schulmathematik in der Arbeit ein?
Die Facharbeit baut auf schulmathematischem Wissen auf, erweitert dieses jedoch um fortgeschrittene Verfahren wie die Taylorreihenentwicklung, um die Besonderheit der Euler´schen Zahl verständlich zu machen.
Welche Rolle spielt die Bernoulli´sche Ungleichung?
Sie dient als wichtiges Beweismittel im Rahmen der Intervallschachtelung, um die Monotonie der Folgen zu beweisen, die zur Approximation der Euler´schen Zahl genutzt werden.
- Arbeit zitieren
- Anonym (Autor:in), 2021, Die Euler´sche Zahl e. Spezielle Ausarbeitungen und die Taylorreihenentwicklung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1030957
