Der Doppler-Effekt

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im Fernsehen auftritt. Der Empfänger (in diesem Fall der Zuschauer vor dem Fernseher) nimmt eine Frequenzverschiebung wahr, d.h. die Frequenz der von den Rennautos ausgesendeten Geräusche, wird vom Empfänger höher bzw. tiefer wahrgenommen - je nachdem, ob sich das Auto nähert oder entfernt. Der Doppler-Effekt tritt immer dann auf, wenn sich eine Quelle (z.B. eine Schallquelle) und ein Empfänger aufeinander zu-, voneinander weg- oder aneinander vorbeibewegen. Begonnen wird in dieser Arbeit mit der Klärung der Begriffe „Schwingung“ und „Welle“, da diese für den Doppler-Effekt wichtig sind. Im Weiteren wird das Leben und Wirken des Christian Johann Doppler beschrieben um etwas über den Entdecker dieses Effektes zu erfahren. Grob lässt sich der akustische Doppler-Effekt in zwei Fälle einteilen: Im ersten Fall bewegt sich die wellenaussendende Quelle und im zweiten der Empfänger, der die Wellen der Quelle aufnimmt. Für den akustischen Doppler-Effekt ist es entscheidend, wer von beiden sich bewegt, was anhand von Rechenbeispielen verdeutlicht wird. Es gibt allerdings noch andere Fälle, wie z.B. ein bewegtes Medium, die desweiteren benannt werden. Neben dem akustischen Doppler-Effekt gibt es noch den optischen, der als letztes beschrieben wird. Die Facharbeit basiert hauptsächlich auf Literatur aus dem Internet und dem Buch „Physik“ von Paul A. Tipler.

II. Hauptteil

1. Klärung der Begriffe „Schwingung“ und „Welle“

1.1 Was ist eine Schwingung?

Es gibt mehrere Dinge, die schwingen, z.B. eine Schaukel oder ein Faden-pendel. Aber auch ein Funkgerät schwingt, obwohl man keine Bewegung beobachten kann. Beim Fadenpendel gibt es zwei Umkehrpunkte. Befindet sich das Massestück am höchsten Punkt, so besitzt es maximale potentielle Energie (Lageenergie). Die kinetische (Bewegungs-) Energie ist an diesem Punkt gleich Null. Bewegt sich das Massestück nun vom höchsten Punkt zum tiefsten und hat diesen erreicht, so ist die kinetische Energie maximal und die potentielle Energie gleich Null. Einen solchen Vorgang nennt man Schwingung, da sich die zwei Energiezustände periodisch (regelmäßig) wechseln. Ist das Massestück einmal hoch und runter geschwungen, so hat es genau eine Schwingung vollführt. Die Dauer dieser Schwingung nennt man die Periodendauer T. Der größte Abstand des Massestücks von der Ruhelage nennt man Amplitude ( s ˆ ). Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde bezeichnet man als

Frequenz f. Die Einheit für die Frequenz ist demnach

die Einheit Hz (Hertz) verwendet.

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(vgl. [3] S. 1)

1.2 Was ist eine Welle?

Führt man einer Wellenquelle Energie zu, so entsteht eine Schwingung, die Wellen im jeweiligen Medium verbreitet. Die Wellen breiten sich dann nach allen Seiten in diesem Medium aus. Vom Menschen werden nur die Licht-, Wasser- und Schallwellen wahrgenommen. Wasserwellen bewegen sich zweidimensional an der Oberfläche des Mediums, während Schall-, Licht-, Wärme- und Radiowellen sich dreidimensional zu allen Seiten verbreiten. Sie werden auch Kugelwellen genannt, da die Wellen um die Quelle herum eine Kugel bilden. Die Geschwindigkeit der Wellen ist in jedem Medium anders. Sie hängt von der Elastizität, der Dichte und der Temperatur des jeweiligen Mediums ab. Die Abstände zwischen den einzelnen Wellen werden als Wellenlänge

λ bezeichnet.

(vgl. [2] S. 1)

2. Leben und Wirken Dopplers

Christian Johann Doppler wurde am 29.11.1803 in Salzburg als Sohn eines Steinmetzmeisters geboren. Seine Eltern waren Johann und Therese Doppler. 1829 bis 1835 arbeitete er als Mathelehrer am Polytechnischen Institut Wien und gab an der Uni Salzburg Vorlesungen in Philosophie. 1835 bekam er eine Dozentenstelle an der Uni Prag. 1836 heiratete er Mathilde Sturm, Tochter eines Goldschmieds aus Salzburg. Mit ihr hatte er fünf Kinder und wohnte abwechselnd in Wien und Prag. Im Jahre 1842 entdeckte er den nach ihm benannten Doppler-Effekt. Am 25. Mai des gleichen Jahres veröffentlichte er vor der königlichen Böhmischen Gesellschaft sein Buch „Über das farbige Licht der Doppelsterne”, wodurch er in aller Welt bekannt wurde.1848 wurde er Professor für praktische Geometrie an der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. 1850 wurde Doppler Physikprofessor an der Universität Wien und Direktor des von Kaiser Franz Josef neu gegründeten physikalischen Institut. Am 17. März 1853 starb Christian Johann Doppler während seines Krankenurlaubs in Venedig. Als Todesursache wird eine Staublunge vermutet, da er in der Steinmetzwerkstatt seines Vaters immer Staub ausgesetzt war. Zu Lebzeiten schrieb Doppler Beiträge zu Akustik, Optik, Elektrizitätslehre und Astronomie sowie zur analytischen Geometrie. (vgl. [1] & [12] S. 77)

3. Doppler-Effekt bei mediumgebundenen Wellen - akustischer Doppler-Effekt

3.1 Quelle bewegt - Empfänger ruht

3.1.1 Quelle bewegt sich auf der Verbindungslinie von beiden

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(vgl. [6] S. 5-6 & [11])

3.1.2 Quelle bewegt sich abseits der Verbindunslinie

Bewegt sich die Quelle abseits der Verbindungslinie, so zeigt der Geschwindigkeitsvektor nicht genau auf die Quelle. Also zerlegt man diesen Vektor

v in einen Vektor

Q

irrelevant ist). Die Frequenz ist vom Vektor

des Empfängers auf die Quelle zu angibt. Aus den Vektoren ergibt sich nun ein

rechtwinkliges Dreieck, in dem

Hypothenuse darstellt. Der Winkel α wird von den Vektoren ′

v und Q v

Q

eingeschlossen. Nach dem Cosinusgesetz ergibt sich:

Dies setzt man nun in Gleichung II.6 bzw. II.7 ein und kann so die Empfängerfrequenz berechnen. (vgl. [6] S. 7)

3.2 Empfänger bewegt - Quelle ruht

3.2.1 Empfänger bewegt sich auf der Verbindungslinie

Bewegt sich der Empfänger während die Quelle, ruht so bleibt die Wellenlänge gleich, wohingegen die Frequenz sich verändert. Geht die Bewegung des Empfängers auf die λ in gleicher Zeit

Quelle zu, so wird seine Frequenz höher, da mehr Wellen-längen Q ∆ am Empfänger vorbeiziehen. Für seine Frequenz gilt dann t

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Nimmt man nun die Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit

diese nach λ um, so erhält man

und es ergibt sich

f noch ausgeklammert werden und für dir Empfängerfrequenz ergibt sich Nun kann Q

die Formel

Bei dieser Gleichung erkennt man nun sofort, dass die empfangene Frequenz größer ist als die gesendete. Bewegt sich der Empfänger genau in entgegengesetzte Richtung, also von der Quelle weg, so muss ein Vorzeichenwechsel erfolgen. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus:

Hier wird auch gleich deutlich, dass die empfangene Frequenz kleiner ist als die gesendete ist - im Gegensatz zu dem Fall, wo sich der Empfänger auf die Quelle zubewegt. (vgl. [6] S. 3-4 & [11])

3.2.2 Empfänger bewegt sich abseits der Verbindungslinie

Nach gleicher Herleitung wie in Kapitel 3.1.2 ergibt sich

′

α ⋅ = cos v v . Dies wird nun in Gleichung II.11 bzw. II.12 eingesetzt und man

E E

kann die Empfängerfrequenz berechnen. (vgl. [6] S. 4-5 & [11])

3.3 Rechenbeispiele zum Doppler-Effekt

1. Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von

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3.4 Quelle und Empfänger gleichzeitig bewegt

Um die Formel für den Fall wenn sich beide bewegen, d.h. Empfänger und Quelle, zu f ermitteln kombiniert man die Faktoren aus den Formeln II.11 und II.12, die mit Q

multipliziert werden und erhält folgende Formel:

Bei der Vorzeichenwahl ist die Bewegungsrichtung von Empfänger und Quelle relativ zum Medium zu berücksichtigen. Nähern sich die beiden einander, so wird die Frequenz größer und es muss entsprechend das Pluszeichen im Zähler auftauchen, während im Nenner das Minuszeichen verwendet werden muss. Bei Entfernung ist es genau umgekehrt. Da die Frequenz kleiner wird, muss im Zähler das Minus- und im Nenner das Pluszeichen verwendet werden. Die allgemeine Formel für die

Empfängerfrequenz lautet

bezogene Ausbreitungsgeschwindigkeit und λ die Wellenlänge im Medium (von

ruhendem Beobachter gesehen) darstellt. Auch wenn Empfänger und Quelle sich gleichzeitig bewegen kann es sein, dass sie sich abseits der Verbindungslinie befinden. Genau wie in Kapitel 3.1.2, 3.2.2 und 3.5 zerlegt man die

′ ′

v bzw. Q v bzw. v v in die Komponenten v und 1 Geschwindigkeitsvektoren E

E Q

v zerlegen. Nach selber Herleitung wie in 3.1.2, 3.2.2 und 3.5 ergibt sich als und 2

Formel für die Empfängerfrequenz

α ⋅ −

(vgl. [6] S. 8-9& [11])

3.5 Medium bewegt - Quelle und Empfänger ruhen

Bewegt sich das Medium, so wird dieses im Bezug auf den akustischen Doppler-Effekt als sehr störend empfunden. Ein Beispiel für die Bewegung des Mediums ist in der Natur der Wind, der beispielsweise das Wasser bewegt. In so einem Fall wird die Geschwindigkeit des Mediums von der der bewegten Quelle bzw. des bewegten

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Empfängers abgezogen. Die Formel für den Doppler-Effekt bei auf der Verbindungslinie von Empfänger und Quelle bewegtem Medium lautet dann

Da sich der Geschwindigkeitsvektor des Mediums allerdings nicht immer auf der Verbindungslinie von Empfänger und Quelle befindet, zerlegt man diesen in die . Der Winkel ϕ wird von

v′ v Vektoren Medium und dem zu ihm orthongonalen Medium

diesen beiden Vektoren eingeschlossen. Daraus folgt nach dem Satz des Pythagoras v′ ϕ = Medium cos v′ , oder nach Medium umgeformt:

v

Medium

(vgl. [7] & [11])

3.6 Allgemeine Formel des akustischen Doppler-Effekt

In Kapitel 3.1 und 3.2 ergaben sich jeweils verschieden Ergebnisse. Daraus kann man folgern, dass nicht die Bewegung wichtig ist, sonder wer von beiden sich bewegt. Ist die Geschwindigkeit des Empfängers oder die der Quelle verhältnismäßig klein gegenüber der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, so gehen beide Gleichungen ineinander über:

vernachlässigt werden. Die allgemeine Formel für den akustischen Doppler-Effekt lautet dann ϕ α

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Bewegung zwischen Empfänger und Quelle. Die dopplerverschobene Wellenlänge λ′

im Vakuum wird durch die spezielle Relativitätstheorie beschrieben:

< v 0 Bei Annäherung von Quelle und Empfänger gilt für die Relativgeschwindigkeit v << erhält man die gleiche Formel wie für eine > c v 0 und bei Entfernung . Für bewegte Quelle:

Erweitert man Gleichung II.19 mit

f beim optischen Doppler-Effekt: Empfängerfrequenz E

Der optische Doppler-Effekt findet in der Astronomie praktische Anwendung. Er wird zur Geschwindigkeitsbestimmung von Sternen und Quasaren (sternähnliches Objekt mit intensiver Radiostrahlung) genutzt. Bewegt sich der Stern von der Erde weg, so nimmt die Wellenlänge zu. Man nennt diesen Vorgang „Rotverschiebung“. (vgl. [10])

III. Schluß

Nachdem ich nun meine Facharbeit fertiggestellt habe, ist mir bewusst geworden, dass jeder den akustischen Doppler-Effekt kennt und ihn fast jeden Tag wahrnimmt. Da es allerdings etwas Alltägliches für die Menschen ist, nimmt man diesen nicht bewusst wahr. Im Gegensatz dazu ist der optische Doppler-Effekt den meisten Menschen nicht bekannt. Dehalb wurde er in dieser Facharbeit auch nur in einem kleinen, kurzen Kapitel erwähnt. Ein weiterer Grund dafür, den optischen Doppler-Effekt nur kurz zu erwähnen ist, die Beschränkung der Arbeit auf 15 Seiten.

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Während ich an dieser Facharbeit schrieb, hegte ich keinerlei Zweifel am Doppler-Effekt, da mir alles sehr einleuchtend erschien. Kurz vor Beendigung der Arbeit stieß ich allerdings im Internet auf Leserbriefe im „Focus“ Ausgabe 1/95. Dr. Heinz W. Hopf aus Mannheim äußert hier z.B. seine Zweifel, dass die in Kapitel 5 beschriebene „Rotverschiebung des Lichts, das von entfernten Himmelskörpern kommt, ausschließlich auf dem Doppler-Effekt basiert.“ ([12] Z. 20-22). Seiner Meinung nach ist es auch möglich, dass die Rotverschiebung auf einer Alterung der Sterne beruht, ohne dass sich das Licht von der Erde entfernt. Dipl.-Ing. Thomas Wäscher aus Heidelberg bezeichnet es sogar als falsch, dss man an der Rotverschiebung erkennen kann, dass sich das Licht von der Erde entfernt (vgl. [12] Z. 12-14). Es muss also in Zukunft, meiner Meinung nach, weiter am optischen Doppler-Effekt geforscht werden, um die Wahrheit zu erfahren.

Zum Abschluß dieser Arbeit kann ich jedoch sagen, dass der akustische Doppler-Effekt im alltäglichen Leben bekannt und auch wichtig ist. Wie in Kapitel 4 vorgestellt benutzt die Polizei diesen Effekt zur Geschwindigkeitsmessung des Verkehrs. Auch in der Luftfahrt ist der Doppler-Effekt nicht mehr wegzudenken. Mit ihm erhalten die Piloten und Fluglotsen alle wichtigen Daten zur Navigation. Der akustische Doppler-Effekt trägt also zur Sicherheit im Verkehr bei und ist somit nicht mehr unerläßlich.

IV. Literaturverzeichnis

[1] „Doppler und Luftfahrt“, Website http://www.christian-doppler.org/

luftfahr.htm; 11.02.2001

[2] „Was sind Wellen?“, Website http://www.christian-doppler.org/wellen.htm;

11.02.2001

[3] „Was sind Schwingungen?“, Website http://www.christian-doppler.org/

schwing.htm; 11.02.2001

[4] „Christian Doppler“, Website http://www.christian-doppler.org/leben.htm;

11.02.2001

[5] „Doppler-Effekt“, Website http://angelaschule.osnabrueck.de/eigene/

schule/facharbeit/Doppler-.../doppler-effekt.htm; 01.03.2001

[6] „Facharbeit Dopplereffekt“, Website http://www.hackie.de/facharbeit/

facharbeit.html; 07.02.2001

[7] Meyers Enzyklopädisches Lexikon; Band 7: Div - Eny und 2. Nachtrag;

Lexikonverlag; Mannheim 1973; Bibliographisches Institut AG

[8] F. Pedrotti, L. Pedrotti, Werner Bausch, Hartmut Schmidt; „Optik - Eine

Einführung“; 1. Auflage 1996; Prentice Hall