Umkehrfunktionen

Schuljahr:FACHARBEIT

Thema:

Die Umkehrfunktion, deren Eigenschaften, Stetigkeit und Ableitbarkeit

Unterrichtsfach: Mathematik

Name der Schülerin: Christiane Ahlers

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
2. Existenz der Umkehrfunktion
2.1 Begriffsklärung
2.2 Kriterien
2.3 Erläuterung
2.4 Herleitung
3. Die Eigenschaften der Umkehrfunktion
3.1 Stetigkeit
3.2 Monotonie
3.3 Differenzierbarkeit
4. Anwendungen der Umkehrregel
4.1 Wurzelfunktionen
4.2 Arkus-Funktionen
4.2.1 die Arkussinus-Funktion
4.2.2 die Arkuskosinus-Funktion
4.2.3 die Arkustangens-Funktion
4.3 Logarithmus- und Exponentialfunktion
4.3.1 allgemeine Logarithmus- und Exponentialfunktion
4.3.2 natürliche Logarithmus- und Exponentialfunktion
5. Schlusswort
6. Literaturverzeichnis

(Anm. d. Red.: alle Grafiken und Formeln können nur in der Flashansicht und im E-Book angezeigt werden)

1.Einleitung

In dieser Facharbeit versuche ich, Umkehrfunktionen im allgemeinen zu erläutern. Ich erkläre den Begriff und lege die Kriterien dar, die typisch für Injektivität sind. Weiterhin leite ich sie graphisch und rechnerisch her. Die möglichen Eigenschaften sind im Kapitel 3 vorgestellt. Darunter verstehen sich Monotonie, Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Um Sinn und Zweck der Erklärungen zu veranschaulichen wende ich die Umkehrregel bei verschiedenen Funktionsgruppen an. Besonders betonen möchte ich die Arkusfunktionen sowie die Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.

2. Existenz der Umkehrfunktion

2.1 Begriffsklärung

Um einen Einblick in die Bedeutung des Begriffs Umkehrfunktion zu bekommen werde ich zu aller erst den Funktionsbegriff definieren: Er gehört zu den zentralen Begriffen in der Mathematik.
Gegeben seien die Mengen D, die Definitionsmenge, und W, die Wertemenge. Die Menge G stellt eine Teilmenge von DW dar. Wenn nun jedem Element xD genau ein Element yW zugeordnet wird, so dass (x;y)G, dann heißt das Mengentripel f = (D,W,G) Funktion. Es gilt: f(x) = y. Beispielsweise wird jedem Menschen ein Geburtstag zugeordnet: D = {Menschen}, W = {Geburtstage} f(Mensch) = Geburtstag. Andererseits ist die Zuordnung im nächsten Beispiel nicht eindeutig: D = {Menschen}, W = {Staatsbürgerschaften}. Es liegt hier keine Funktion vor, weil ein Mensch aus der Definitionsmenge D mehrere Staatsbürgerschaften aus der Wertemenge W haben kann.
Funktionen können surjektiv, injektiv und bijektiv sein:
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedem yW mindestens ein Urbild xD zugeordnet werden kann. Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes yW höchstens ein Urbild xD hat. Eine Funktion heißt bijektiv, wenn jedes yW genau ein Urbild xD hat.1 Bijektive Funktionen sind also sowohl surjektiv als auch injektiv. Die Injektivität wird sich im folgenden als definierende Eigenschaft der Umkehrbarkeit erweisen.
Der Begriff ,,Umkehrfunktion" erklärt sich im wesentlichen selbst. Kehrt man eine umkehrbare Funktion um, erhält man wieder eine Funktion, die Umkehr-funktion genannt wird. Dies erreicht man durch das Vertauschen der x- und y-Werte.

2.2 Kriterien

Eine Funktion ist genau dann umkehrbar (injektiv), wenn zwei verschiedenen Stellen x1 und x2 auch zwei verschiedene Funktionswerte f(x1) und f(x2) zugeordnet werden können.
Das heißt: x1 x2 f(x1) f(x2) x1,x2 _ D(f).
Ein Kriterium für Umkehrbarkeit ist die strenge Monotonie, da jede streng monotone Funktion injektiv ist.
Fällt sie streng monoton, bedeutet das: x1 < x2 f(x1) > f(x2) x1,x2 _ D(f).
Steigt sie streng monoton, bedeutet das: x1 < x2 f(x1) < f(x2) x1,x2 _ D(f).
Ist eine Funktion insbesondere differenzierbar und ihre Ableitung nicht gleich Null, gilt also f´(x) < 0 oder f´(x) > 0 x _ D(f), dann ist sie ebenfalls umkehrbar.
Gelten diese Eigenschaften nur über einem bestimmten Intervall, so ist die Funktion durch Einschränkung auf dieses Intervall umkehrbar.
Ein Beispiel bietet f(x) = x2. Sie besitzt über  kein einheitliches Monotonieverhalten. Über dem Intervall [0 ; [ jedoch ist sie umkehrbar, da sie hier streng monoton wachsend ist.

2.3 Erläuterung

Anschaulich schneidet also jede Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal.
Ist diese Bedingung erfüllt, ist die Umkehrrelation - also das Vertauschen der x- und y-Werte - eine Funktion. Sie wird Umkehrfunktion f -1 (gesprochen: f oben minus eins) genannt.
Nun werden die Terme der Gleichung wechselseitig in die Variablen der anderen Funktion eingesetzt: Deswegen gilt für alle xD(f): f -1[f(x)] = x und für alle yW(f): f[f -1(y)] = y.2 Hieraus kann geschlossen werden, dass wenn eine Funktion f umkehrbar ist, ihre Umkehrfunktion f -1 ebenfalls diese Eigenschaft hat. Das bedeutet: Die Umkehrfunktion von f -1 ist wieder f (f -1)-1 = f .3
Am Beispiel einer linearen Funktion lässt sich dieser Zusammenhang am einfachsten erklären, da die Funktion hier nicht eingeschränkt werden muss.
f(x) = 2x + 1 = y x = y - = f -1(x)
f -1[f(x)] = f(x) - = (2x + 1) - = x + - = x (für alle x)
f[f -1(y)] = 2 f -1(y) + 1 = 2 ( y - ) + 1 = y - 1 + 1 = y (für alle y)

2.4 Herleitung

Graphisch erzeugt man die Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten spiegelt.
Hier wird die Wertemenge der Funktion f die Definitionsmenge der Umkehrfunktion f -1.
Rechnerisch wird die Umkehrfunktion gebildet, indem die x- und y-Werte der Funktion f vertauscht und anschließend nach y aufgelöst werden.

Beispiel:
Funktionsgleichung: f(x) = 2 x + 12
Vertauschen der Variablen: f(y) = 2 y + 12
Auflösen nach y: y = - 6 = f -1(x)

3. Eigenschaften der Umkehrfunktion

3.1 Stetigkeit

Eine zusammenhängende Menge A (wenn also mit x1, x2A alle Zahlen x, die zwischen x1 und x2 liegen, in A eingeschlossen sind) wird durch eine über A stetige Funktion auf eine zusammenhängende Menge B abgebildet.

Beweis:

Wir legen fest, dass x1,x2A und f(x1) f(x2). Jetzt gibt es zu jedem Funktionswert z zwischen f(x1) und f(x2) eine Stelle x zwischen x1 und x2

Satz 1:

Eine Funktion f, die über der zusammenhängenden Menge M stetig ist, hat die Eigenschaft, injektiv zu sein, genau dann, wenn sie über M streng monoton ist. mit f(x) = z. Folglich ist die Bildmenge von A (die Menge B = f(A)) wiederum zusammenhängend.

Beweis:

Aufgrund des ,,genau dann, wenn"-Prinzips zerfällt der Beweis des Satzes in zweie Teile:
,,_": Voraussetzung: Die Funktion f ist streng monoton.
Konsequenz: Zu den Stellen x1 und x2 (wobei gilt x1 < x2) gehört der Funktionswert f(x1) < f(x2) (oder > f(x2)); in jedem Falle ist f(x1) f(x2). Dies ist gleichzeitig das Kriterium für Injektivität f -1 ist eine Funktion.
,,·": Voraussetzung: Die Funktion f ist umkehrbar.
Konsequenz: f -1 ist eine Funktion. Wenn nun f nicht streng monoton ist, gibt es drei Stellen x1, x2, x3 mit x1 < x2 < x3 für die z.B. gilt:
f(x1) < f(x2) aber f(x2)  f(x3).

Nun bestehen zwei Möglichkeiten: f(x2) = f(x3) oder f(x2) > f(x3). Der erste Fall stellt ein typisches Beispiel für nicht gegebene Injektivität dar. Bei dem zweiten Fall
ist dann z.B. f(x1) f(x2), dann gibt es wegen der vorausgesetzten Stetigkeit und dem oben bewiesenen Satz zu jedem Funktionswert z zwischen f(x1) und f(x2) zwei Stellen 1 und 2 mit x1 < 1 < x2 , x2 < 2 < x3 und f(1) = f(2) = z . Auch in diesem Fall ist die Umkehrbarkeit nicht gegeben. Nicht jeder Stelle x1 und x2
(x1 x2)wird ein Funktionswert f(x1) und f(x2) (f(x1) f(x2)) zugeordnet. Dies gilt auch für jede andere Möglichkeit.4

3.2 Monotonie

Da sich f -1 graphisch durch eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten darstellen lässt, liegt es nahe zu vermuten, dass die Umkehrfunktion einer monoton wachsenden (fallenden) Funktion ebenfalls monoton wachsend (fallend) ist. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = x3 + 1 mit x > 0 das gleiche Monotonieverhalten wie ihre Umkehrfunktion f -1(y) = .

Satz 2: Ist die Funktion f streng monoton steigend (fallend), so ist auch die Umkehrfunktion f -1 streng monoton steigend (fallend).

Beweis:
Wir nehmen an, dass f streng monoton steigend ist. Das bedeutet aus x1 < x2 folgt f(x1) < f(x2) für x1, x2 D(f). Nun behaupten wir, dass f -1 ebenfalls streng monoton steigend ist. Das heißt aus f(x1) < f(x2) folgt x1 < x2. Es ist nicht möglich, dass x1 = x2, da folglich f(x1) = f(x2) sein müsste. Der Fall, dass x1 > x2 ist, ist auch nicht möglich, weil dann f(x1) > f(x2) sein müsste aus dem Grund, dass die Funktion streng monoton wachsend ist. Daher muss x1 < x2 sein. Es folgt also aus f(x1) < f(x2), dass x1 < x2 ist.
Ein entsprechender Beweis kann zu einer streng monoton fallenden Funktion geführt werden.5

3.3 Differenzierbarkeit

Satz 3 (Umkehrregel):

Wenn eine Funktion f über einem bestimmten Intervall A streng monoton und ableitbar an der Stelle xA mit f´(x) 0 ist, dann ist ihre Umkehrfunktion f -1 ebenfalls ableitbar an der Stelle y (mit y = f(x)). Dabei gilt, dass f´(x) = .

anschaulicher Beweis:

Voraussetzung:

f hat an der Stelle x durch den Punkt P mit den Koordinaten (x | y) eine Steigung m = f´(x). Der Punkt Q mit den Koordinaten (y | x) der Umkehrfunktion wird P zugeordnet, da für sie gilt, dass y = f(x) und x = f -1(y).

Konsequenz:

Für f -1 bedeutet das nun, dass eine Tangente mit m´= durch Q verliefe. Die Steigungen m und m´ sind also reziprok zueinander. Daraus folgt: f´(x) = =.
Wir haben diesen Sachverhalt bisher nur anschaulich verifiziert. Daher folgt ein rechnerischer Beweis.6

Beweis:

Vorraussetzung: f(x0) = y0.
Konsequenz: Um die Sekantensteigung der Umkehrfunktion - also die Ableitung zu bilden - benutzen wir die Formel . Wir müssen nun zeigen, dass die Ableitung gleich ist. Nach Satz 2 gilt: Da f streng monoton ist, muss auch f -1 streng monoton sein. Daraus folgt:
y y0 ; f -1(y) f -1(y0) ; y = f[f -1(y)] ; y0 = f[f -1(y0)]. Demnach können wir auflösen.
= =
=
An der Stelle x0 ist die Funktion f differenzierbar und stetig. Wenn yy0 gilt auch xx0 , da f -1 nach dem oben beschriebenen Gesetz stetig sein muss. Das heißt:
f -1´(y0) = = =
Daexistiert und f´(x0) 0 gilt, existiert auch
. Es ist also bewiesen, dass Satz 3 gilt:
f -1´(y0) = f -1´[f(x0)] = f´(x0) = 7

4. Anwendungen der Umkehrregel

4.1 Wurzelfunktionen

Die Funktion f(x) = ist stetig und differenzierbar. Ihre Umkehrfunktion f -1(y) = y2 mit D(f) = + ist ebenfalls stetig und nur dort differenzierbar, wo die Ableitung der Funktion nicht gleich Null ist. Im Folgenden untersuchen wir die Ableitung der Wurzelfunktion:
Es sei: f(x) = mit x+ f -1(y) = y2 mit x+
f -1[f(x)] = [f(x)]2 mit f(x)+ f -1´[f(x)] = 2 f(x)
Nach der Umkehrregel (siehe Satz 3) können wir in die allgemeine Formel
f´(x) = einsetzen:
f´(x) = = für x

Satz 4:

Die Ableitung der Wurzelfunktion f(x) = = x mit x+ und nN* lautet f´(x) = = x mit x und nℕ*.

Beweis: 8
Voraussetzung: f(x) = f-1(y) = yn

Konsequenz: f -1[f(x)] = [f(x)]n [f(x)]n´= n[f(x)]n-1
Nach Satz 3 kann die Formel angewendet werden, um die Ableitung der Wurzelfunktion zu erhalten: f´(x) =
Wir setzen ein:
f`(x) = = = = = x

Dieser Beweis hätte auch über den Differenzenquotienten erstellt werden können. Durch die Verwendung der Umkehrregel jedoch benötigt man nicht so viele Umformungen.

4.2 Arkusfunktionen

4.2.1 die Arkussinus-Funktion

Die Sinusfunktion ist zwar in  definiert; sie entspricht aber nicht den Kriterien für eine umkehrbare Funktion. Wenn wir sie trotzdem bezüglich ihrer Umkehrfunktion untersuchen wollen, müssen wir sie auf ein streng monotones Intervall einschränken.

Wir untersuchen also f(x) = sin x über dem Intervall [- ; ].
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, suchen wir nach dem Winkelbetrag aus [- ; ], dessen Sinus gleich f(x) ist. Diese Funktion nennen wir Arkussinus-Funktion. Folglich gilt:
f(x) = sin x mit x[- ; ]
f -1(y) = arcsin y mit y[-1 ; 1]

Beispiel einer Umformung:

Funktion: f(x) = sin x = y also: f= 1
Umkehrfunktion: f -1[f(x)] = arcsin y = x also: f -1[f()] = arcsin 1 =

Untersuchung der Eigenschaften:

Die eingeschränkte Sinusfunktion ist streng monoton wachsend, über eine zusammenhängende Menge definiert (also stetig) und differenzierbar für
x]- ; [. Das hat für die Arkussinusfunktion die Folge, dass sie streng monoton wachsend, stetig und differenzierbar für y]-1 ; 1[ ist.

Ableitung:

Um die Ableitung der Arkussinusfunktion bilden zu können, muss vorausgesetzt werden, dass f(x) = arcsin x = y f -1(y) = sin y = x
Ich benutze nun Satz 3, um die Ableitung zu bilden: f´(x) =
Eingesetzt ergibt sich: f´(x) = = .
Da für die Kosinusfunktion über dem Intervall [] cos y 0 gilt, ist folgende Auflösung möglich. Wir nutzen dabei die feststehende Regel
sin2x + cos2x = 1 cos x = und die Voraussetzung, dass
sin f(x) = x ist.
= =

Satz 5:

Die Ableitung der Arkussinusfunktion f(x) = arcsin x mit x[-1 ; 1] lautet
f´(x) = mit x]-1 ; 1[.9

4.2.2 die Arkuskosinus-Funktion

Auch die Kosinusfunktion muss auf ein bestimmtes Intervall eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar wird. Es bietet sich an, das Intervall [0 ; ] zu untersuchen, da sie dort streng monoton ist. Die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion wird als Arkuskosinus-Funktion bezeichnet und ist definiert über [-1 ; 1].

Beispiel einer Umformung:

Funktion: f(x) = cos x = y also: f(2) = cos 2 = 1
Umkehrfunktion: f -1[f(x)] = arccos y = x also: f-1[f(2)] = arccos 1 = 2

Untersuchung der Eigenschaften:

Die eingeschränkte Kosinusfunktion ist streng monoton fallend, stetig und für x[0 ; _] differenzierbar. Dies hat die Folge, dass die Arkuskosinus-Funktion streng monoton fällt, über einer zusammenhängenden Menge definiert und für y[-1 ; 1] ableitbar ist.

Ableitung:

Voraussetzung ist, dass f(x) = arccos x = y f -1(y) = cos y = x.
Nun kann Satz 3 benutzt werden, um über die Umkehrfunktion zu differenzieren. Wir setzen ein:
f´(x) = = = =
Satz 6: Die Ableitung der Arkuskosinus-Funktion
f(x) = arccos x mit x[-1 ; 1] lautet
f´(x) = - mit x

]-1 ; 1[. 10

4.2.3 die Arkustangens-Funktion

Die Tangensfunktion ist über der Menge \{,,,...} definiert und es gilt
tan x = . Damit sie umkehrbar wird, schränken wir sie auf den Intervall ]- ; [ ein. Die Umkehrfunktion der eingeschränkten Tangensfunktion nennen wir Arkustangens-Funktion. Sie ist definiert über .

Beispiel einer Umformung:
Funktion: f(x) = tan x = y also: f() = tan = 0
Umkehrfunktion: f -1[f(x)] = arctan y = x also: f -1[f()] = arctan 0 =
Eigenschaften:
Die eingeschränkte Tangensfunktion ist streng monoton wachsend, stetig und ableitbar. Daraus folgt, dass die Arkustangens-Funktion ebenfalls streng monoton wächst, stetig und ableitbar ist.

Ableitung:
Wir legen fest, dass f(x) = arctan x = y und f -1(y) = tan y = x.
f´(x) = = = = = cos2y
Nach der Regel 1+tan2 = 11 cos2 = können wir weiter auflösen.
cos2y = =
Satz 7: Die Ableitung der Arkustangens-Funktion
f(x) = arctan x mit x]- : [ lautet
f´(x) = mit x.12

4.3 Logarithmus- und Exponentialfunktion

4.3.1 allgemeine Logarithmus- und Exponentialfunktion

Die Logarithmusfunktion f(x) = logax ist für jedes beliebige a außer 1 definiert über . Sie schneidet die x-Achse genau einmal im Punkt (1|0). Für a > 1 ist sie streng monoton steigend, für a < 1 fällt sie streng monoton. a = 1 ist nicht definiert.
Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion - vorausgesetzt die Basis stimmt überein - ist die Exponentialfunktion f -1(y) = ax. Sie ist definiert über  und schneidet die y-Achse genau einmal im Punkt (0|1). Für a > 1 steigt sie streng monoton, für a < 1 fällt sie streng monoton und a = 1 liegt sie parallel zur x-Achse.

Satz 8:

Es gilt a = x für x logaax = x für x.

Beweis:

Voraussetzung:

f(x) = logax = y f-1(y) = ay = x

Konsequenz:

Wir setzen f(x) in f-1(y) ein: f-1(y) = a = x

Voraussetzung:

f(x) = ax f-1(y) = logay

Konsequenz:

Satz 9:

Es gilt logbx = logba  logax = logax für a, b\{1} und für x.

Wir setzen f(x) in f-1(y) ein: f-1(y) = logaax = x

Beweis:
f(x) = logbx = = logax = logax = logax
= logba logax

Satz 10:

Ist die Exponentialfunktion f(x) = ax mit \{1} an der Stelle 0 differenzierbar, so ist auch sie mit x  differenzierbar. Es gilt:
f´(x) = f`(0)  f(x) = f´(0)  ax.

Beweis:

Um die Steigung der Sekante zu berechnen benutzen wir den Differenzenquotienten.
= = = ax
Die Steigung der Sekante ist also proportional zur Funktion f(x) = ax. Das heißt für eine streng monoton steigende Funktion, dass sie schneller wächst, wenn x größer ist. Der Proportionalitätsfaktor c = = ist der Differenzenquotient für die Stelle 0.
Nimmt man an, h stelle eine gegen Null laufende Funktion dar, so erhält man die Ableitung der Exponentialfunktion.
( ax) = () ax
Wird dieses Verfahren auf den Proportionalitätsfaktor c angewendet, so erhält man die Ableitung an der Stelle 0.
= = f´(0)
Wenn dieser Grenzwert existiert, muss auch der Grenzwert des Differenzen-quotienten der Exponentialfunktion existieren. Es gilt:
f´(x) = f´(0)  f(x) = f´(0)  ax 13
Dieses Ergebnis beschreibt zwar exakt die Ableitung der Exponentialfunktion, aber um sie zu errechnen wird die Ableitung an der Stelle 0 benötigt. Um nun ein berechenbares Ergebnis zu erhalten suchen wir nach der Exponentialfunktion, deren Ableitung an der Stelle 0 gleich 1 ist. Nur hier ist es möglich, mit den bisher gegebenen Sätzen ein Ergebnis zu erlangen.

4.3.2 natürliche Logarithmus- und Exponentialfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln x ist genau die Logarithmusfunktion, die im Punkt (1|0) die Steigung m = 1 hat. Sie ist definiert über , streng monoton wachsend und stetig. Ihre Umkehrfunktion f -1(y) = ex ist genau die Exponential-funktion (= e-Funktion), deren Steigung m im Punkt (0|1) gleich 1 ist. Sie ist über  definiert, stetig und streng monoton wachsend.
Die Eulersche Zahl e ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion und lässt sich näherungsweise ausdrücken durch e 2,718281828459

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion:

Nach Satz 10 gilt für eine beliebige Exponentialfunktion f(x) = ax mit a
f´(x) = f´(0)  ax . Unter der Voraussetzung der Existenz der Eulerschen Zahl e können wir diese Formel auch für die e-Funktion anwenden. f´(x) = f´(0)  ex = ex.
Satz 11: Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = ex lautet
f´(x) = ex, also f = f´ = f´´ = f´´´ = ...

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion:

Nach Satz 3 können wir die Ableitung durch folgende Formel erhalten:
f`(x) =

Satz 12:

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus f(x) = ln x lautet f´(x) =

f(x) = ln x f´(x) = = = =

Nun ist noch die Frage nach der exakten Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = ax offen.
Aufgrund der in Satz 8 hergeleiteten Regel können wir schreiben:
(ax)´ = (e)´ = (exlna)´
Mit Hilfe der Kettenregel leiten wir ab:
(exlna)´ = exlna  ln a = ax  ln a

Satz 13:

Die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = ax lautet f´(x) = ax  ln a.

Damit ergibt sich, dass die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0 gleich ln a ist. Die Umkehrregel gibt uns jetzt die Möglichkeit, auch die Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = logax zu ermitteln.
f´(x) = = =

Satz 14:

Die Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = logax lautet f´(x) =

5. Schlusswort

Die Umkehrfunktion wird selten als separater Sachverhalt untersucht. Meist wird sie lediglich als Unterpunkt bei der Betrachtung von verschiedenen Funktions-gruppen genannt. Daher wird ihr Wert oft unterschätzt. Erst durch intensive Auseinandersetzung mit diesem unscheinbaren Thema wurde mir bewusst, wie umfassend es ist. Die Umkehrfunktion kann auf nahezu jeden Funktionstypus angewendet werden. Weiterhin erfüllt die Umkehrregel - mit der ich mich in dieser Arbeit ausführlich befasst habe - eine unersetzliche Rolle in der Analysis.

Literaturverzeichnis

[1] Tischel, Gerhard: Einführung in die Mathematik, Frankfurt am Main 1974, S. 22, 24
[2] Dr. Lauter, Josef u.a.: Mathematik Sekundarstufe II - Analysis Leistungskurse, Düsseldorf 1987 S. 93, 94, 155-157
[3] Athen, Hermann u.a.(Hrsg.): Materialien für den Sekundarbereich II Mathematik - Mathematik heute Einführung in die Analysis 2, Hannover 1983, S. 68
[4] Klaus Bischops u.a.: Mathematikwerk für Gymnasien Oberstufe Analysis II, Düsseldorf 1974, S. 19 - 21
[5] Diekmann, Benno u.a.: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 172, 174-176, 185-190
[6] Eggs, Herbert u.a.: Mathematische Formelsammlung - Begriffe und Sätze, Frankfurt am Main 1989, S. 32

1 Tischel, Gerhard: Einführung in die Mathematik, Frankfurt am Main 1974, S. 22, 24

2 Dr. Lauter, Josef u.a.: Mathematik Sekundarstufe II - Analysis Leistungskurse, Düsseldorf 1987 S. 93

3 Athen, Hermann u.a.(Hrsg.): Materialien für den Sekundarbereich II Mathematik - Mathematik heute Einführung in die Analysis 2, Hannover 1983, S. 68

4 Klaus Bischops u.a.: Mathematikwerk für Gymnasien Oberstufe Analysis II, Düsseldorf 1974, S. 19 - 21

5 Diekmann, Benno u.a.: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 172

6 Dr. Lauter, Josef u.a.: Mathematik Sekundarstufe II - Analysis Leistungskurs, Düsseldorf 1987, S. 94

7 Diekmann, Benno u.a.: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 174, 175

8 Diekmann, Benno u.a.: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 176

9 Diekmann, Benno u.a.: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 185-186

10 Diekmann, Benno u.a.: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 187-188

11 Eggs, Herbert u.a.: Mathematische Formelsammlung - Begriffe und Sätze, Frankfurt am Main 1989, S. 32

12 Diekmann, Benno: Analysis Leistungskurs, Braunschweig 1990, S. 189-190

13 Lauter, Dr. Josef u.a.: Mathematik Sekundarstufe II - Analysis Leistungskurse, Düsseldorf 1987, S. 155-157