Rotation starrer Körper

Einleitung:

Die von uns am 6.12.2001 durchgeführte Versuchsreihe zum Thema “Rotation von starren Körper“ soll die physikalischen Gesetze und die Anwendungsmöglichkeiten zu diesem Thema verdeutlichen. Im Alltag finden wir das Prinzip des Versuches an vielen Stellen, wie z.B. dem Hubschrauber, wieder, welches aber meist leicht verändert ist, da die Beschleunigung des Dreharmes selten durch ein Gewicht erzeugt wird. Die Rotoren des Hubschraubers oder auch eines Ventilators werden durch einen Motor betrieben, da viel mehr und vor allem länger Kraft benötigt wird, welche ein Gewicht nicht erzeugen kann.

Versuchsaufbau

Abb. 1

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©Mathias Georgi

Legende:

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Allgemeine Versuchsbeschreibung:

Bei dem Versuch, der sich mit der Rotation starrer Körper beschäftigt, wird ein waagerechter Dreharm an eine senkrecht gelagerte Treibrolle montiert. Vom Mittelpunkt des Dreharmes sind im gleichen Abstand zwei Gewichte von je 200g entfernt (m1). Um die Treibrolle ist eine Schnur gewickelt, an der auf der anderen Seite ein 10g schweres Gewicht (m2) befestigt ist, welches an einem Haken hängt. Damit das Gewicht auch senkrecht nach unten hängen kann und nicht durch Reibung (z.B. durch die Tischkante) aufgehalten wird, ist die Schnur über eine Rolle, welche in der Mitte eine Rille besitzt, gelegt.

1. Versuch:

Bei diesem Versuch sind die beiden Gewichtsstücke (m1) je 20cm vom Drehmittelpunkt entfernt und werden losgelassen, so dass das Gewicht (m2) sich dem Boden nähert, wodurch sich die Dreharme drehen. Nach je ½ Drehung die gebrauchte Zeit mit einer Stoppuhr gemessen und tabellarisch festgehalten, bis sich der Arm vier mal vier gedreht hat. Das Gewicht m2 bleibt hierbei konstant.

Messdaten:

Tab. 1

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Aufgabe 1.1: Grafische Darstellung des überstrichendenen Winkels ϕ=n2π in Abhängigkeit von der gemessenen Zeit t (t-ϕ Diagramm)

Abb. 2

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Aufgabe 1.2: Grafische Darstellung des überstrichenen Winkels ϕ in Abhängigkeit von t² (t²- ϕ Diagramm). Interpretiere die graphische Darstellung und bestimme hieraus die Winkelbeschleunigung α (siehe z.B. Metzler S. 69)

Abb. 3

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Bei der Auswertung der Messwerte mit Hilfe eines Diagramms kann man unschwer erkennen, dass es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt und daher eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorhanden sein muss. Im Optimalfall müssten Messwerte auf der durchgezogene Gerade liegen, was aber leider nicht der Fall ist, da bei diesem Versuch Messfehler vorliegen (nicht alle angegebenen Fehler beeinflussen das Ergebnis des Diagramms Abb. 3):

Tab. 2

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Jetzt können wir uns mit der Berechnung der Winkelbeschleunigung beschäftigen, die laut Definition folgendermaßen ist:

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Um bei dieser Gleichung α rauszubekommen, müssen wir jetzt nur noch wissen, was wir für ω einsetzen müssen.

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Nun setzen wir dieses für ω in die Gleichung ein und erhalten folgende Gleichung, die wir für die Berechnung α’s benutzen werden.

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Setzt man nun in der Gleichung für die einzelnen Messwerte die Umdrehungen n und die dazugehörige Zeit t ein, so erhält man für α mit Ausnahme von kleineren Abweichungen, die mal wieder auf die vielen Messfehler zurückzuführen sind (vgl. Tab. 2), für jede Messung das gleiche Ergebnis, was darauf schliessen lässt, dass α konstant ist.

Tab. 3

Umdrehungen Winkelbeschleunigung α

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Jetzt brauchen wir nur noch den Mittelwert der Winkelbeschleunigung bestimmen. Hierzu braucht man nur alle errechneten Werte zusammenzählen und die Summe durch die Anzahl der Werte zu teilen und erhalten als Ergebnis:

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Dieses beweist noch einmal die oben genannte Behauptung, dass es sich bei dieser Messreihe um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt.

2. Versuch

Bei diesem Versuch wird die Zeit, die der Dreharm für je drei Umdrehungen braucht, gemessen. Nachdem diese Messung durchgeführt ist, wird der Abstand zwischen den Gewichten und dem Drehzentrum geändert, wobei bei 10cm angefangen wird und die Gewichte in je 5er Schritten bis zu 25cm vom Drehzentrum entfernt werden. m2 bleibt auch hierbei unverändert.

Aufgabe 2.1: Berechne die Winkelbeschleunigung α und füge sie der Tabelle hinzu.

Messdaten & errechnete Winkelbeschleunigung:

Tab. 4

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Für die Berechnung der Winkelbeschleunigung setzen wir wieder die Werte in die Formel ein, wobei n dieses mal konstant 3 beträgt und daher der gesamte Zähler konstant bleibt. Es ändert sich nur die Zeit im Nenner, die immer größer wird und die Winkelbeschleunigung immer kleiner werden lässt. Daher beschleunigt der Dreharm, wenn die Gewichte weiter zum Drehzentrum entfernt sind, langsamer als bei einem kleineren Abstand.

Aufgabe 2.2: Berechne das Drehmoment M (siehe z.B. Metzler S. 66 und S. 67)

Für das Errechnen des Drehmomentes benötigen wir die dazugehörigen Formel:

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Hierbei steht r für den zu Anfang gemessenen Radius der Treibrolle (0.9cm) und F für die beschleunigende Kraft. Diese ist in diesem Fall, weil m2 an einem Faden hängt, die Gravitationskraft, die auf m2 wirkt.

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F = 0,0981N

Daher können wir jetzt folgende Werte einsetzen und das ganze letztendlich ausrechnen:

M = 0,009m * 0,0981N

M = 0,000883 Nm

Aufgabe 2.3: Erkläre den Begriff Trägheitsmoment J in Bezug zur Winkelbeschleunigung a und dem Drehmoment M. (siehe z.B. Metzler S. 70)

Der Bezug des Trägheitsmomentes ergibt sich aus der Formel:

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Verändert man bei einer Rotationsbewegung z.B. den Radius der Treibrolle oder die Winkelbeschleunigung, so ändert ich das Trägheitsmoment.

Schluss:

Die durchgeführte Versuchsreihe war eine Einführung in den Themenbereich “Rotation starrer Körper“ und hat uns die fundamentalen Gesetze dieses Bereiches nähergebracht. Bei den Versuchen sind wir auf verschiedene Probleme gestoßen, welche meist in Messfehlern endeten (vgl. Tab.2). Trotzdem dieser Fehlerquellen waren wir in der Lage, aus den Versuchen Grundgesetze aus diesem Themenbereich erfolgreich anzuwenden und zu interpretieren.

Literaturangaben:

[1]Joachim Grehn: “ Metzler Physik “ , Metzler Verlag, 1994, S. 70
[2]H ö fling: “ Physik Formeln und Einheiten “ , Aulis Verlag Deubner&Co KG, (Herangezogen zur Ü berpr ü fung von Formeln)

Erklärung:

Verwendete Hilfsmittel:

Grafische Darstellung des Versuchsaufbaus mit 3D Studio Max

Erstellung der Fachlichen Ausarbeitung mit Word97

Auswertung der Messwerte mit Excel97

Einfügen von Zahlen innerhalb der Versuchszeichnung mit Microsoft Paint

Hiermit versichere ich, dass die Arbeit selbstständig von mir angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der fachlichen Ausarbeitung, die im Wortlaut oder im wesentlichen aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe. Verwendete Informationen aus dem Internet oder anderen elektronischen Datenträgern sind vollständig als Ausdruck im Anhang an diese Arbeit beizufügen.