Stetige Modelle der Standortplanung in logistischen Netzwerken

INHALTSVERZEICHNIS

1. EINFÜHRUNG

2. STANDORTPLANUNG
2.1 EINFLUSSGRÖßEN UND METHODEN DER STANDORTPLANUNG
2.2 LOGISTISCHE NETZWERKE
2.3 STANDORTMODELLE IN DER EBENE
2.3.1 Distanzmessung
2.3.2 Bestimmung eines neuen Standortes
2.3.2.1 Geometrisch: Standortbestimmung im Dreieck
2.3.2.2 Physikalisch: Varignon’scher Apparat
2.3.2.3 Analytisch: Iteratives Verfahren nach Miehle
2.3.2.4 Kritische Würdigung des Steiner-Weber-Ansatzes

3. LOCATION-ALLOCATION-MODELLE ALS VERFAHREN ZUR LÖSUNG KOMPLEXER STANDORTPROBLEME
3.1 THEORIE DER STANDORT-EINZUGSBEREICH-PLANUNG
3.2 DAS STANDORT-EINZUGSBEREICH-PROBLEM AM BEISPIEL
3.2.1 Problemstellung der Fallstudie
3.2.2 Bestimmung der optimalen Lagerstandorte
3.2.2.1 Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösungsermittlung
3.2.2.2 Ergebnis und abschließende Betrachtungen zur Fallstudie

4. VERZEICHNIS DER VARIABLEN UND ABKÜRZUNGEN

5. LITERATURVERZEICHNIS

6. ANHANG

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

ABBILDUNG 1: METHODEN DER STANDORTPLANUNG

ABBILDUNG 2: NETZWERKDARSTELLUNG DER STRUKTUR EINES DISTRIBUTIONSSYSTEMS

ABBILDUNG 3: STEINER-WEBER-PROBLEM

ABBILDUNG 4: GEOMETRISCHE BESTIMMUNG DES OPT. STANDORTES IM STANDORTDREIECK

ABBILDUNG 5: VARIGNON'SCHER APPARAT

ABBILDUNG 6: STANDORTE DER KUNDEN DER JOTK EA GMBH

ABBILDUNG 8: OPTIMALE LAGERSTANDORTE UND EINZUGSGEBIETE

TABELLENVERZEICHNIS

TABELLE 1: STANDORTE UND UMSÄTZE DER KUNDEN DER JOTKEA GMBH

TABELLE 2: INTERVALLFIXE LAGERKOSTEN

TABELLE 3: MÖGLICHE KOMBINATIONEN DER EINZUGSBEREICHE

TABELLE 4: SCHWERPUNKTKOORDINATEN

TABELLE 5: ERGEBNISSE DER SIEBTEN ITERATION

TABELLE 6: TRANSPORTKOSTEN : LAGER → EINZUGSBEREICHE

TABELLE 7: TRANSPORTKOSTEN : PRODUKTION → LAGER

TABELLE 8: LAGERKOSTEN

TABELLE 9: GESAMTKOSTEN

1. Einführung

Standortentscheidungen sind auf Grund ihres langfristigen Charakters (>20Jahre) Ent- scheidungsprobleme im Sinne der strategischen Unternehmensplanung¹. Die Wahl eines Standortes ist zum einen, wenn die Entscheidung einmal umgesetzt wurde, wegen der hohen Kostenintensität und Kapitalbindung von Lagern und Produktionsstätten, kaum revidierbar. Zum anderen beeinflusst die Entscheidung für Produktions- und Lager- standorte die internationale Wettbewerbspolitik der Unternehmung und bildet die struk- turellen Rahmenbedingungen für das Entstehen eines Logistiksystems². Des weiteren hilft ein Standortvorteil die Wettbewerbsfähigkeit des Unternehmens zu sichern, wenn es dem Unternehmen gelingt, sich durch eine optimale Standortwahl gegenüber sonst unter gleichen Bedingungen arbeitenden Konkurrenzunternehmen eine „Bequemlich- keitsrente“³ zu schaffen⁴. Die Tragweite des Problems der Standortwahl und die vielen verschiedenen Faktoren, die diese Entscheidung beeinflussen, machen eine sorgfältige und fundierte Planung unabdingbar. Im folgenden werden zunächst verschiedene Ein- flussgrößen und daraus resultierende unterschiedliche Bewertungsmethoden kurz von- einander abgegrenzt und der Zusammenhang zwischen Optimierung der Standortpla- nung und logistischen Netzwerken herausgestellt. Im Anschluss daran werden drei Ver- fahren vorgestellt, die auf verschiedene Weise die Problematik der Bestimmung eines Standortes in der Ebene lösen. An Hand eines rechnerischen Beispiels wird abschlie- ßend die Problematik der Standort-Einzugs-Bereichsplanung dargestellt und ein exem- plarischer Lösungsweg beschrieben.

2. Standortplanung

2.1 Einflussgr öß en und Methoden der Standortplanung

Wissenschaftliche Ansätze, die sich mit dem Problem der Standortplanung auseinander setzen gibt es schon seit langem und können in drei Kategorien unterteilt werden:

1. Volkswirtschaftliche Standorttheorien, deren erste Ansätze auf J. H. von Thünen (1783-1850) zurückgehen, der um 1803 ein agrarisches Modell zur ökonomischen Nutzung des Raumes für einen isolierten, kreisrunden Staat entwickelte.
2. Betriebliche Standorttheorien, die sich mit den Problemen einzelner Unterneh- men in Bezug auf die Wahl geeigneter Produktions- und Lagerstätten beschäfti- gen.
3. Innerbetriebliche Standortplanung, die die Anordnung der Betriebsmittel im Unternehmen selbst optimieren soll.⁵

Der weitere Verlauf dieser Arbeit wird sich auf Problemstellungen konzentrieren, die im Zusammenhang mit der betrieblichen Standortplanung und ihrer Theorien zu sehen sind. Die betriebliche Planung von Standorten, ob für Lager- oder Produktionsstätten, wird von den unterschiedlichsten Einflussfaktoren bestimmt. Häufig sind diese qualita- tiven Ursprungs, wie z. B. der Bildungsstand des ansässigen Arbeitskräfte-potentials oder persönliche Präferenzen der Betriebsleitung, und daher nur schwer oder gar nicht messbar. Auf qualitativen Faktoren gründende Methoden dienen also der Aufnahme nichtquantifizierbarer Kriterien in den Entscheidungsprozess, durch Erfassung und Be- wertung der Einflussgrößen, z. B. über Kriterienkataloge oder Scoring-Analysen⁶. Diese Analysen sind zwar intersubjektiv nachvollziehbar, jedoch auf Grund der vielen subjek- tiv festzulegenden Teilkriterien nicht objektiv.⁷

Das Unternehmen muss schwerpunktmäßig festlegen, an welcher Zielgröße sich der Planungsprozess orientieren soll. Generell kann zwischen transportkosten- und produktionskostenorientierter Standortwahl unterschieden werden. Je nach Zielkriterium der Firma lässt diese sich bei ihrer Entscheidung von logistischen Grundsätzen oder aber dem Arbeitskräftepotential und Lohnkriterien leiten⁸.

Für eine objektive Planung der Standortwahl bieten sich Verfahren der quantitativen Standortplanung, wie Simulation und Optimierung an. Auf Grund der Komplexität einer Standortentscheidung, die aus den vielen zu berücksichtigenden Faktoren resultiert, ist eine Reduktion der ökonomischen Wirklichkeit durch Abbildung in einem zielgrößenre- levanten Modell nötig⁹. Quantitative Optimierungsmodelle bilden das zugrunde liegen- de Entscheidungssystem formal-mathematisch ab und erfüllen die Aufgabe „eine oder mehrere Zielfunktionen unter gegebenen Nebenbedingungen zu minimieren oder zu maximieren.“¹⁰ Über geeignete Lösungsverfahren gelingt es so, optimale oder suboptimale Lösungen zu ermitteln.

Allgemein lassen sich zwei verschiedene Ansätze der quantitativen Standortplanung herausstellen.

1. Standortmodelle in der Ebene (kontinuierliche bzw. stetige Standortplanung), die dadurch gekennzeichnet sind, dass grundsätzlich jeder durch Koordinaten bestimmbare Punkt in der Ebene potentieller Standort sein kann. Zur Messung der Entfernung zwischen verschiedenen Punkten in der Ebene dienen verschiedene Metriken, z. B. die euklidische Entfernung („Luftlinie“) oder die rechtwinklige Entfernung („Manhattan-Distanz“). Die Anzahl möglicher Standorte strebt also theoretisch gegen unendlich¹¹.
2. Netzwerkmodelle (diskrete Standortplanung), die sich dadurch auszeichnen, dass ihnen als Lösungsraum ein Netzwerk zu grunde liegt. Kundenorte und Standorte werden in den Knoten des Graphen abgebildet. Die Transportpro- zesse laufen über die Kanten des Graphen, so dass sich die Entfernung durch die Ermittlung der Länge der Wege im Netzwerk bestimmen lässt¹². Die An- zahl möglicher Standorte ist also begrenzt auf die Anzahl der Knoten im Netzwerk.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Methoden der Standortplanung

2.2 Logistische Netzwerke

Der Zusammenhang zwischen Optimierung der Standortwahl und logistischen Netz- werken wird klar, bedenkt man, dass die Standortstruktur den räumlichen Rahmen des wirtschaftlichen Handelns der Unternehmung bestimmt. Um auf den heutigen Märkten langfristig wettbewerbsfähig zu bleiben, ist die Gestaltung eines prozessorientierten Managements integrativer Logistiksysteme über die gesamte Wertschöpfungskette hin- weg notwendig geworden. Neuartige Ansätze, wie das Supply Chain Management, sol- len zur Optimierung der wertschöpfenden Logistikkette beitragen, indem Material- und Informationsflüsse vom Rohstoff bis zum Kundenservice integriert werden. So werden die Märkte heute und in Zukunft verstärkt durch unternehmensübergreifende Logistik- netzwerke umspannt.¹³

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Netzwerkdarstellung der Struktur eines Distributionssystems¹⁴

Im Gabler Lexikon „Logistik“ wird der Begriff „Logistiknetzwerk“ wie folgt definiert:

„Das Logistiknetzwerk ist ein Modell zur Abbildung der Grundstruktur von Logistik- systemen. Es kann grafisch als Geflecht von Quelle-Senke-Beziehungen dargestellt werden, in welchem die Transport-, Umschlags- und Lagerprozesse zur Raum- und Zeitüberbrückung sowie die damit verbundenen Informationsprozesse ablaufen. Jedes Unternehmen bzw. jeder Wertschöpfungsverbund von Unternehmen ist prinzipiell als Logistiknetzwerk darstellbar.“¹⁵

Demnach ist jedes Unternehmen zugleich Teil eines globalen weltumspannenden Logis- tiksystems sowie eigenständiges Teilsystem des Netzwerks, innerhalb dessen das Unternehmen seine Ziele nur verwirklichen kann, wenn seine Standortstruktur entsprechend geplant und optimiert ist.¹⁶

2.3 Standortmodelle in der Ebene

Modelle der Standortplanung in der Ebene gehen von den folgenden drei Annahmen aus:

1. „Die Kundenorte sind auf einer homogenen Fläche (Ebene) verteilt.
2. Jeder Punkt ist potentieller Standort.
3. Die Entfernung zwischen zwei Punkten wird mit einer bestimmten Metrik ge- messen.“¹⁷

2.3.1 Distanzmessung

Wie schon in Kapitel 2.1 erwähnt, sind die Transportkosten eine maßgebliche Einfluss- größe zur Standortbestimmung durch quantitative Modelle. Geht man nun zusätzlich von der Annahme aus, dass die Transportkosten proportional sind zur transportierten Menge und dem zurückgelegten Weg, dann wird die Distanz zwischen Standort und Bedarfsort zum ausschlaggebenden Standortfaktor. In der Realität werden Entfernungen durch Nutzung von Straßen, Schienen, Wasserwegen oder Flugverkehrswegen über- wunden. Modelle der Standortplanung in der Ebene reduzieren diese, dem Menschen zugängliche Verkehrsmöglichkeiten, durch die drei oben genannten Annahmen so, dass Entfernungen mit Hilfe passender Funktionen und Beschreibung der Lage der Orte durch Verwenden von Koordinaten im zweidimensionalen euklidischen Raums abge- bildet und bestimmt werden können¹⁸. Eine Funktion d(x,y), die die Distanz zweier Punkte x und y in einem definierte Raumsystem bezeichnet, wird als „Metrik“ bezeich- net, wenn sie folgenden Axiomen genügt:

1. Distanzen können nie negativ sein (Nichtnegativitätsbedingung), d.h.

d(x,y) ³ 0

2. Keine Richtungsabhängigkeit, d.h.

d(x,y) = d(y,x)

3. Die Distanz ist nur dann gleich Null, wenn die beiden Punkte zu- sammenfallen, d.h.

d(x,y) = 0, wenn gilt: x = y

4. Der Umweg ist nie kürzer als der direkte Weg (Dreiecksunglei- chung), d.h.

d(x,y) £ d(x,z) + d(z,y) ¹⁹

Eine Klasse von Metriken zur Messung der Distanz zwischen zwei Punkten A und B mit den Koordinaten (xa, ya)und(xb, yb) in der Ebene ist die lp Norm, die definiert wird durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die zur Distanzmessung am häufigsten verwandten Spezialfälle der lp-Metrik sind die Rechtwinklige Entfernung ²⁰ , für die gilt, p = 1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und die Euklidische Distanz ²¹, für die gilt, p = 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die rechtwinklige, oder auch Manhattan-Entfernung, ist in erster Linie bei der innerbe- trieblichen Standortplanung von großer Relevanz, da in Betrieben oft rechtwinklige Wegesysteme gegeben sind. Die euklidische oder auch Luftlinienentfernung dient hin- gegen der Bestimmung betrieblicher Standorte²². Für Werte von p, für die gilt 1 < p < 2, ergeben sich Entfernungsmaße, die zwischen der kurzen Luftliniendistanz und der lan- gen rechtwinkligen Entfernung liegen. Dies ermöglicht eine Annäherung an topologi- sche Gegebenheiten, z. B. die Darstellung der Verbindungen an ein Straßennetz²³. Die Ausführungen der folgenden Problemstellungen werden sich allein auf die euklidische Entfernungsmessung beziehen.

2.3.2 Bestimmung eines neuen Standortes

Das Problem der Bestimmung eines neuen Standorts in der Ebene, auch Steiner-Weber- Problem oder verallgemeinertes Weberproblem genannt, lässt sich, wie in Abb. 3 dargestellt, graphisch veranschaulichen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Steiner-Weber-Problem²⁴

Es geht also darum, den Standort eines Lagers oder Betriebes so zu bestimmen, dass die „Summe der mit der Kundennachfrage gewichteten Entfernungen zu den Kunden ein Minimum annimmt.“²⁵ Hierbei seien die Transportkosten proportional zur transportier- ten Menge und zur zurückgelegten Entfernung. Sie betragen c GE je ME und LE. Der Transportkostensatz ist auf Grund dieser Verhältnisgleichheit unabhängig von Menge und Entfernung, so dass c=1 gesetzt werden kann, ohne dass sich die Lage des gesuch- ten Standortes verändert²⁶. Formal-mathematisch lässt sich das Problem also wie folgt beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Mathematik beschäftigt sich schon seit mehreren hundert Jahren mit dem Problem der Standortbestimmung in Polygonen. Benannt wurde das Problem nach dem Mathematiker J. Steiner (1835) und dem Ökonom A. Weber (1909), die sich schon zu ihrer Zeit mit der Thematik auseinander setzten. Eine ökonomische Auslegung erfuhr die Problematik bereits gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch W. Launhardt.²⁷

Im Folgenden werde ich zur Lösung dieses Problems drei Verfahren theoretisch erläu- tern.

2.3.2.1 Geometrisch: Standortbestimmung im Dreieck

Eine geometrische Lösung für die Standortbestimmung im Polygon ist nur für das Dreieck relativ einfach graphisch zu bestimmen. Nach dem Verfahren von Launhardt²⁸ beschreibt sich das Problem wie folgt:

Es existieren n=3 Kundenstandorte P_j, deren Koordinaten in der Ebene ein Dreieck auf- spannen. Gesucht ist der transportkostenminimale Standort, also der Standort, der bei Verwendung des Einheitstransportkostensatzes die Summe der durch die Nachfrage- menge b_j gewichteten Distanzen der drei Kundenorte zu dem neu zu platzierenden Standort S minimiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Geometrische Bestimmung des opt. Standortes im Standortdreieck²⁹

Zur Ermittlung des Punktes S, zieht man zunächst aus dem Punkt P1 einen Kreisbogen mit dem Radius r1 aus dem Verhältnis der Nachfragemenge von b3 und b2 multipliziert mit L3 (Abstand P₁;P₃). Aus dem Punkt P3 zieht man einen Bogen mit dem Radius r3 = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen Q1 spannt mit den Punkten P₁ und P₃ ein neues Dreieck auf, dessen Seiten das Verhältnis der mit der Kundennachfrage gewichteten Entfernungen widerspiegeln.

Den Punkt Q₂ erhält man auf die gleiche Weise, nur dass der Kreisbogen aus P3 mit r4 = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der Bogen aus P2 mit r5 = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gezogen wird. Verbindet man nun die Punkte Q₁ mit P₂ sowie Q₂ mit P₁, dann schneiden sich diese beiden Geraden in dem Punkt minimaler Transportkosten, dem gesuchten Standort S.³⁰

2.3.2.2 Physikalisch: Varignon’scher Apparat

Da geometrische Modelle, wie oben beschrieben, nur für n=3 Kunden eine einfache graphische Lösung besitzt, werden auch physikalische Modelle, wie der Varignon’sche Apparat³¹ eingesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Varignon'scher Apparat³²

Die n Kundenorte werden maßstabsgetreu auf eine Platte übertragen. In den Projekti- onspunkten werden Löcher gebohrt, durch die für jeden Kunden ein Faden gezogen wird. An diesen werden unterhalb der Platte Gewichte angebracht, die proportional zur Nachfragemenge der Kunden sind. Auf der Platte werden die Fäden miteinander ver- knüpft. Der Knotenpunkt im Kräftegleichgewicht markiert schließlich den gesuchten Standort.³³

2.3.2.3 Analytisch: Iteratives Verfahren nach Miehle

Das algebraische Modell zur Lösung des Problems der Bestimmung eines Standortes in der Ebene besteht in der Minimierung der folgenden Funktion³⁴.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zielfunktion Z(x,y) ist eine stetige, konvexe Funktion³⁵, d. h. sie besitzt ein globales Minimum, dass sich mit Hilfe der Differentialrechnung ermitteln lässt. In einem ersten Schritt müssen also die partiellen Ableitungen der Funktion ermittelt und deren Nullstellen bestimmt werden³⁶.

Partielle Ableitung nach x:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Partielle Ableitung nach y:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Versucht man nun, entsprechend der notwendigen Bedingung für ein Extremum, die beiden Ausdrücke nach Null aufzulösen, so stellt man fest, dass dies nur teilweise möglich ist. Nach Umformen erhält man für x und y die Gleichungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variablen x und y lassen sich nicht vollständig auf der linken Seite der Gleichung isolieren, was eine analytische Lösung des Gleichungssystems unmöglich macht. Ein Näherungsverfahren, das über mehrere Iterationsschritte eine hinreichend genaue Lö- sung des Problems liefert, ist das Verfahren von Miehle (1958)³⁷. Das Verfahren be- ginnt mit dem Einsetzen vorgegebener Startwerte für x und y in die rechte Seite der Gleichung. Dies sind zumeist die Schwerpunktkoordinaten x s uns y s³⁸. Auf diese Weise erhält man auf der linken Seite neue Koordinatenwerte (x ₁ ,y₁ ), die im nächsten Iterationsschritt wiederum als Ausgangskoordinaten in die rechte Seite der Gleichung eingesetzt werden. Das Verfahren wird fortgesetzt, bis eine gegebene Abbruchschranke³⁹ unterschritten wird, d. h. wenn die Differenz der letzten Iteration zu der unmittelbar vorangegangenen Iteration eine vorgegebene Zahl unterschreitet. Es ist zu beachten, dass das Verfahren nur durchführbar ist, wenn im Laufe der q Iterationen keiner der gefundenen Punkte (x q,y q) mit einem der gegebenen Kundenorte (u _j ,v _j ) zusammenfällt⁴⁰. Andernfalls wären die Ableitungen nicht definiert⁴¹.

Um dieses Problem zu umgehen und das Verfahren für jeden Fall anwendbar zu machen, wird die Zielfunktion ein wenig geändert, in dem nun, statt der bekannten euklidischen Distanz ein modifiziertes euklidisches Entfernungsmaß eingesetzt wird, welches um die beliebig kleine, additive Konstante e⁴² erweitert wird.

Modifizierte Zielfunktion:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf diese Weise sind im modifizierten Miehle-Verfahren⁴³ die Ableitungen auch in den Problemfällen des Itertionsverfahrens definiert.

2.3.2.4 Kritische Würdigung des Steiner-Weber-Ansatzes

Die größte Schwierigkeit bei Anwendung kontinuierlicher Ansätze zur Lösung realer Problemstellungen stellt sicher deren hohe Abstraktion von den tatsächlichen Gegeben- heiten dar. Durch die Annahme, dass jeder Punkt in der Ebene potentieller Standort ist, werden geographische und infrastrukturelle Gegebenheiten völlig außer acht gelassen, so dass der errechnete, optimale Standort im Extremfall auf einer Bergspitze oder in einem See liegen könnte. Weiterhin wird durch die Anwendung der euklidischen Distanz unterstellt, dass jede Lieferung zum Kunden auf kürzestem Wege (Luftlinie) erfolgt. Auch modifizierte, gewichtete Distanzen nach der lp-Norm (s. Kap. 2.3.1) können reale Verkehrswege⁴⁴ nur unzureichend abbilden⁴⁵.

Zudem wird durch die strikte Ausrichtung auf die Transportkosten nicht der kostenmi- nimale sondern der transport kostenminimale Standort bestimmt. Andere Faktoren, wie z. B. die Grundstücksgröße, die Arbeitsmarktsituation oder Standortsubventionen durch die öffentliche Hand, werden in der Zielfunktion gar nicht erfasst⁴⁶. Solche Restriktio- nen lassen sich jedoch teilweise durch Formulieren von Nebenbedingungen in die Prob- lemstellung einbeziehen⁴⁷. Eine weitere Möglichkeit wäre die Ermittlung von Iso- kostenlinien zur Bestimmung zulässiger Lösungen gleichen Kostenniveaus. Diese haben den Vorteil, dass Abweichungen vom Optimum, die sich aus der Nichtberücksichtigung relevanter Faktoren in der Zielfunktion ergeben, kostenmäßig relativ leicht überblickt werden können⁴⁸.

Die oben aufgeführten Verfahren stellen auf einen Einproduktfall bei proportionalen Transportkosten ab. Fixkosten werden in diesem Modell als von der Wahl des Standor- tes unabhängig angesehen und beeinflussen die Standortentscheidung somit nicht. Die Lagerstruktur ist einstufig und die Lagerkapazität unbeschränkt, so dass in dem Modell von einer direkten Belieferung der Kunden ausgegangen wird. Beziehungen von der Produktionsstätte zum Lager bleiben unberücksichtigt. Diese Annahmen können die Standortwahl verfälschen, da in der Realität Transportkostendegressionseffekte auftre- ten⁴⁹. Je größer die transportierte Menge je Transportweg ist, desto niedriger werden die Transportkosten je Gewichtseinheit. Die Transportmenge der ersten Teilstrecke (vom Produktions- zum Lagerort) ist viel größer als die Liefermenge des zweiten Teilstücks (vom Lager zum Kunden), da diese von der Nachfrage der Kunden abhängt. Somit ist die Transportkostenintensität auf dem ersten Teilstück wesentlich geringer als auf dem zweiten Teilstück. Das aus diesem Zusammenhang resultierende Bestreben, das erste Teilstück möglichst lang zu halten und viele kleine Lager in Kundennähe zu platzieren⁵⁰ löst ein Anzahlproblem aus, da sich Transportkosten und die Kosten für das in den Lagern gebundene Kapital gegenläufig entwickeln. Die optimale Lageranzahl entspräche also dem Minimum der Summe aus Transport- und Kapitalbindungskosten. Festzuhalten ist jedoch, dass die transportkostenminimale Bestimmung eines Standortes der Geschäftsleitung durchaus als sinnvoller Anhaltspunkt dienen kann, in welcher Region Angebote über geeigneten Grundstücken eingeholt werden können.

Die in Kapitel 2.3.1 beschriebenen Verfahren sind jedoch lediglich zur Planung nur ei- nes Standortes einsetzbar. Zur Festlegung der Lageranzahl, deren Einzugsbereiche und ihrer optimalen Standorte müssen demnach andere, komplexere Verfahren zur Problem- lösung herangezogen werden. Mit einem dieser Verfahren, dem Standort- Einzugsbereichs-Problem, bzw. dem Location-Allocation-Verfahren, beschäftigt sich das folgende Kapitel.

3. Location-Allocation-Modelle als Verfahren zur Lösung komplexer Standortprobleme

3.1 Theorie der Standort-Einzugsbereich-Planung

Im Rahmen der Standort-Einzugsbereich-Planung gilt es, für eine zuvor unbestimmte Anzahl Lager die optimalen Standorte und deren entsprechende Einzugsbereiche zu ermitteln. Genauer lässt sich dieses Problem verbal und mathematisch wie folgt formu- lieren:

Für n Kunden in einer homogenen Ebene mit den Koordinaten (u_j ;v_j ) und dem Bedarf b j sind Auslieferungslager zu errichten, deren Anzahl m sowie deren Koordinaten (x_i ,y _i ) durch ein geeignetes Verfahren zu bestimmen sind. Die Transportmengen je Periode werden mit w ij, die entsprechenden Transportkosten mit c ij und die Maximalkapazität der Lager mit a i bezeichnet. Jeder Kundenort darf jeweils von nur einem Lagerort ver- sorgt werden, so dass sich die Lieferstruktur sternförmig darstellen lässt.⁵¹ Hierbei legt die Bestimmung der Transportvariable w ij den zugehörigen Einzugsbereich der Standor- te fest.⁵²

Es gilt also folgendes Gleichungssystem zu lösen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es zeigt sich, dass sich das Gesamtproblem im Prinzip aus zwei Teilproblemen zusammensetzt. Zum einen aus der Zerlegung des Gebietes in m Teilgebiete (die Einzugsbereiche) und zum anderen aus der Ermittlung des jeweils optimalen Standortes innerhalb des beigeordneten Teilgebietes⁵³, welcher über die Lösung von m einzelnen SteinerWeber-Problemen nach dem Miehle-Verfahren erfolgt.

Auf diesen Überlegungen basierend, lässt sich ein von Cooper entwickeltes LocationAllocation-Verfahren (1972) in vier Schritten zusammenfassen:

1. Bestimme m Ausgangsorte!
2. Allocation-Phase: Ordne die n Kunden den m Ausgangsorten durch Bestimmung von w ij und Lösen eines klassischen Transportproblems zu!
3. Location-Phase: Berechne neue optimale Standorte durch Lösen von m einfa- chen Steiner-Weber-Problemen für die, in Schritt che! 2 festgelegten, Einzugsberei-
4. Wiederhole Schritt 2 und 3 solange, bis die Koordinatenverschiebungen eine festgelegte Abbruchschranke unterschreiten!⁵⁴

An dieser Stelle sei festgehalten, dass die Anzahl der Möglichkeiten, eine Menge von n Kunden in m Einzugsbereiche zu zerlegen, enorm groß ist und mit der Anzahl von Kunden exponentiell wächst.

Die Kombinationsmöglichkeiten ergeben sich aus der Stirlingschen Zahl

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für n=10 Kunden und m=2 Lager ergeben sich 511 Kombinationsmöglichkeiten, bei n=30 Kunden würde sich die Anzahl der Kombinationen auf 563.870.911 erhöhen. Ein Rechner, der pro Steiner-Weber-Problem eine Sekunde benötigt, würde demnach für die Berechnung der Gesamtlösung eine Zeit von knapp 18 Jahren beanspruchen.⁵⁵ Eine vollständige Enumeration ist demnach praktisch nicht durchführbar. Stattdessen kom- men zur Festlegung der Teilgebiete Heuristiken in Frage, wie z. B. die Zulässigkeits- matrix⁵⁶, in der Kundenorte zunächst so zu möglichen Einzugsgebieten zusammenge- fasst werden, dass diese einen technisch sinnvollen Zusammenhang darstellen. In einem zweiten Schritt kann die Anzahl dieser Einzugsgebiete noch weiter verringert werden, indem nicht sinnvolle Kombinationen, bei denen Bedarfsorte, die am Weg liegen aber nicht mitbeliefert werden, ausgeklammert werden.⁵⁷ Sinnlos ist ein Einzugsbereich im- mer dann, wenn „das kleinste, achsenparallele Rechteck, das sich um die Bedarfsorte dieses Einzugsgebietes legen lässt, Bedarfsorte enthält, die nicht zu dem vorgegebenen Einzugsgebiet gehören.“⁵⁸ Mit anderen Worten, dürfen sich, um eine optimale Lösung zu erhalten, die konvexen Hüllen der Einzugsgebiete nicht überschneiden.⁵⁹ Diese Tat- sache kann man sich zur heuristischen Bestimmung der Teilgebiete von sehr kleinen Problemstellungen (m=2) zunutze machen, in dem man die Kundenorte durch ziehen einer Geraden in zwei disjunkte Teilmengen gliedert, so oft, bis sämtliche Aufteilungen miteinander kombiniert worden sind, für die dann die entsprechenden Steiner-Weber- Probleme gelöst werden können.

3.2 Das Standort-Einzugsbereich-Problem am Beispiel

Im Folgenden handelt es sich um ein einfaches Beispiel mit n=5 Kunden und m=2 zu planenden Auslieferungslagern. Die Fallstudie stellt in gewisser Weise einen Spezialfall des Location-Allocation-Problems dar, da folgende Annahmen zusätzlich getroffen werden:

- Der betrachtete Zeitraum beträgt ein Jahr.

- Alle Kapazitäten ai seien unbeschränkt.

- Die Transportkosten cij sind proportional zur transportierten Menge und zur zu- rückgelegten Entfernung. Es kann cij = 1 gesetzt werden.

- Die transportierte Menge wij ist proportional zum getätigten Umsatz.

- Die Gesamtkosten, die letztlich minimal seien sollen, setzen sich zusammen aus:

- Transportkosten TK1 für die Versorgung der Auslieferungslager von der Produktionsstätte
- Transportkosten TK2 für die Versorgung der Einzugsbereiche durch die Lager
- intervallfixe Lagerkosten LK in Abhängigkeit von der Lagermenge

3.2.1 Problemstellung der Fallstudie

Die JotKea GmbH ist ein mittelständiges Unternehmen der Möbelbranche mit Zentral- sitz und Produktion in Freiburg. Bisher wurde der gesamte Verkauf für ganz Deutsch- land über das Hauptwerk in Freiburg abgewickelt. Die Kunden wurden jeweils nach Bestellung vom firmeneigenen Fuhrpark von Freiburg aus in Touren beliefert. Dies hat relativ lange Lieferfristen für die Kunden im nördlichen Teil der Republik zur Folge und ist zusätzlich mit hohen Kilometerleistungen und Fahrtzeiten verbunden. Aus die- sen Gründen überlegt die Unternehmensleitung, zwei Auslieferungslager in der Nähe ihrer Kunden in Nord- und Mitteldeutschland zu lokalisieren. Es gilt die transportkos- tenoptimalen Standorte mit Hilfe eines analytischen Verfahrens zu bestimmen. Die La- ge der Absatzorte im kartesischen Koordinatensystem, der Umsatz der Kunden und die sich daraus ergebenden Transportmengen und Bedarfsverhältnisse sind, ebenso wie die intervallfixen Lagerkosten in Abhängigkeit von der durchschnittlich eingelagerten Menge, den nachstehenden Tabellen zu entnehmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Standorte und Umsätze der Kunden der JotKEA GmbH

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Intervallfixe Lagerkosten

Abbildung 6: Standorte der Kunden der JotKea GmbH

Die obenstehende Abbildung soll die Problemstellung anhand einer Visualisierung der Lage der gegebenen Standorte von Kunden und Produktionsstätte verdeutlichen. Es ilt, zwei Lager zu errichten, die derart optimal zu platzieren sind, dass die Summe aus Transportkosten (TK1 und TK2) und Lagerkosten minimiert wird.

Auf Grundlage der gegebenen Informationen kann im folgenden Kapitel mit der Lösung der Problemstellung begonnen werden.

3.2.2 Bestimmung der optimalen Lagerstandorte

Die zur Bestimmung der Lösung der Fallstudie aus Kapitel 3.2.1 zur Anwendung kom- mende Theorie und die getroffenen Annahmen wurden in den vorangegangenen Kapi- teln dieser Arbeit bereits erläutert, so dass auf dahingehende Erklärungen bei der Be- schreibung des Lösungsweges verzichtet werden kann. Die folgenden Berechnungen zur Lösung der Problemstellung sollen lediglich die Anwendung der Theorie auf ein kon- kretes Beispiel verdeutlichen Sie sind deshalb stark vereinfacht⁶⁰ und erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

3.2.2.1 Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösungsermittlung

Bestimmung möglicher und sinnvoller Einzugsbereiche (Allocation-Phase)

Unter Ausnutzung der Feststellung (s. Kap. 3.1), dass sich zum Erhalt einer optimalen Lösung die konvexen Hüllen der Teilgebiete nicht überschneiden dürfen, wurden die fünf Kundenorte in sieben sinnvolle, disjunkte Einzugsbereichskombinationen eingeteilt, die sich folgendermaßen zusammensetzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3: Mögliche Kombinationen der Einzugsbereiche

Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten

Die Schwerpunktkoordinaten xs und ys wurden mit den Formeln

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für sämtliche Kombinationen aus Tab. 3 ermittelt und ergeben sich zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 4: Schwerpunktkoordinaten

Lösen der einzelnen Steiner-Weber-Probleme nach dem Verfahren von Miehle (Location-Phase)

In diesem Schritt werden die zugehörigen einfachen Steiner-Weber-Probleme gelöst. Die Berechnungen wurden nach insgesamt sieben Iterationen terminiert, da mit den an dieser Stelle gewonnenen Koordinaten bereits hinreichend genaue Aussagen bezüglich der räumlichen Festsetzung der Lagerstandorte getroffen werden können. Die letztlich gewonnenen Koordinaten der optimalen Einzugsbereichskombination können der Jot- KEA GmbH ohnehin nur als Anhaltspunkte dienen. Die Geschäftsleitung muss dann, aufbauend auf den Ergebnissen der Berechnung, in der Umgebung, der als optimal er- mittelten Standorte, Grundstücke finden, die bezüglich qualitativer Kriterien⁶¹ ihren Ansprüchen genügen. Anzumerken sei an dieser Stelle noch, dass aus eben genannten Gründen die Berechnungen mit auf zwei Dezimalen gerundeten Werten durchgeführt wurden.

Die Ergebnisse der letzten Iteration lassen sich der untenstehenden Tabelle entneh- men⁶².

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 5: Ergebnisse der siebten Iteration

Bestimmen der Zielwerte (TK2)

Die Zielwerte, die die Transportkostenrelationen⁶³ für die Versorgung der verschiedenen Einzugsbereiche von den gefundenen Standorten aus widerspiegeln, wurden über die Formel der Steiner-Weber-Zielfunktion berechnet und ergeben sich zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 6: Transportkosten: Lager → Einzugsbereiche

Bestimmen der Transportkostenrelationen TK1

Die Transportkosten, die sich aus den Versorgungslieferungen von der Produktionsstätte zu den Lagern ergeben, lassen sich ebenfalls durch Anwendung der Zielfunktion des Steiner-Weber-Problems bestimmen und ergeben sich zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 7: Transportkosten: Produktion → Lager

Bestimmung der intervallfixen Lagerkosten

Zur Bestimmung der Kosten der Lagerung berechnet man zunächst die im Jahresdurch- schnitt eingelagerte Menge, die sich für jedes Kundengebiet aus dem entsprechenden Bedarf ableitet und entnimmt dann den zugehörigen Kostenwert der Tabelle 2 in Kap.

3.2.1. So ergeben sich folgende Werte:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 8: Lagerkosten

Bestimmen der Gesamtkosten Kges

Die Gesamtkosten berechnen sich aus der Summe von den Transportkosten zur Versor- gung der Lagerstandorte durch die Produktion, den Transportkosten zur Versorgung der Kundenorte durch die Lager und den zugehörigen Lagerkosten. Für die sieben Einzugs- bereichskombinationen ergeben sich auf diese Weise Gesamtkosten in Höhe von:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 9: Gesamtkosten

3.2.2.2 Ergebnis und abschließende Betrachtungen zur Fallstudie

Minimal sind die Gesamtkosten für die Einzugsbereichskombination 4. Die optimalen Lagerstandorte sind also für Lager 1 mit den Koordinaten (0,98 / 4,49) und dem zugehörigen Einzugsbereich {BN / H / HH} und für das Lager 2 mit (5,99 / 6,59) und {HAL / B} gegeben. Für die JotKEA GmbH wäre es also transportkostenoptimal ein Lager in der Umgebung des Kunden in Bonn und ein zweites Lager in der Umgebung nördlich von Berlin zu errichten, was die folgende Abbildung verdeutlicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Optimale Lagerstandorte und Einzugsgebiete

Abschießend sei noch einmal hervorgehoben, dass die analytische Bestimmung optima- ler Standorte, trotz ihrer Abstraktion von realen Problemstellungen, durchaus der Entscheidungsunterstützung bei der Suche nach einer optimalen Standortstruktur dienlich sein kann. Die Geschäftsleitung der JotKEA GmbH sollte sich an den Ergebnissen der Berechnung orientieren und unter Einbeziehung qualitativer Ansprüche, wie Berücksichtigung von Infrastruktur, Verkehrsanbindung, Grundstückspreise und -größe, Umweltauflagen, Steuern, Subventionen usw., die für das Unternehmen günstigsten Standorte in den berechneten Regionen ermitteln.

Der in der Fallstudie gesetzte Rahmen zur Standortoptimierung der JotKea GmbH zeigt eine stark vereinfachte Darstellung der Problematik. In der Praxis kommen zur Lösung komplizierter Standort-Einzugsbereichs-Probleme transportorientierter Unternehmen computerbasierte Entscheidungsunterstützungssysteme⁶⁴ zum tragen. Diese sind in der Lage, Distributionsstrukturen von Unternehmen zu optimieren. Eingabedaten der Kun- denorte (Land, Ort, PLZ und nachgefragte Menge) sowie der Depotstandorte (Anzahl, Kapazität und jeweiliger Einzugsbereichsradius) werden in kurzer Zeit analytisch nach- Location-Allocation-Verfahren verarbeitet. Das Optimierungsprogramm verknüpft ab- schließend die Lage des theoretisch optimalen Standortes mit den geographischen Ge- gebenheiten, beispielsweise in Bezug auf die Verkehrsanbindungen oder topologische Grenzen, und findet so den real günstigsten Standort.

Auf diese Weise können internationale Distributionszonen organisiert, bestehende Lagerstrukturen überprüft oder Verlade- bzw. Umschlagszentren zur Erschließung neuer Märkte geplant werden.⁶⁵

4. Verzeichnis der Variablen und Abkürzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Literaturverzeichnis

BLOECH, J./IHDE, G.B. Großes Logistiklexikon, München, 1997

BLOECH, J.: Optimale Industriestandorte, Würzburg, 1970

BLOHM/BEER/SEIDENBERG/SILBER: Produktionswirtschaft, Herne/Berlin, 1988

DANGLMAIER, W.: Skript zur Vorlesung: Planung von Fertigungssystemen II, Universität Paderborn WS 97/98

DELFMANN PROF. DR., W.: Basiswissen BWL: Das Steiner-Weber-Problem, Wisu kompakt, 6/1987, S.291-293

DOMSCHKE, W./DREXL, A.: Logistik: Standorte, 3. Auflage, München, 1990

DOMSCHKE, W./SCHILDT,B.: Standortentscheidungen in Distributionssystemen, in: Isermann, H.(Hrsg.): Logistik, 2. Auflage, Landsberg/Lech, 1998

FEIGE: „ Entscheidungsunterstützungssyteme “ , Teil IV: Modelle und Verfahren zur Un- terstützung der Gestaltung logistischer Netze, Nürnberg, WS 00/01, aus: http://www.logistik.uni-erlangen.de/german/lehrver/eus/pdf/eus_pdf_content.htm, (22.05.01)

GELDERMANN, J./WIETSCHEL, M./RENTZ, O.: Industrielle Produktionswirtschaft I/Stoff und Energieflüsse in derökonomie, Unterlagen zur Vorlesung, Universität Karlsruhe,ß2000, Aus: http://www-iip.wiwi.uni- karlsruhe.de/~folk/schwbrett/vorlesungen/Ip1/kapitel3.pdf (06.06.2001),

GÜNTHER, H.-O./TEMPELMEIER, H.: Produktion und Logistik, 3. Auflage, Berlin, 1994

HANSMANN, K.-W.: Industrielles Management, 6. Auflage, München [u.a.]: Oldenburg, 1999

KLAUS, P./KRIEGER, W.: Gabler Lexikon Logistik -Managemant logistischer Netzwer ke und Flüsse-, 2. Auflage, Wiesbaden, 2000

KLEIBOHM, K.: Anwendung der linearen Programmierung auf ein Standortproblem, Folge Nr. 43, Universität Paderborn, 1995

KLOSE, A.: Wahlblock II Logistik: Standort- und Distributionsmanagement, St. Gallen,ß2000, aus: http://130.82.147.62/klose/teaching/sdm.pdf, (29.05.2001)

KLOSE, A.: Standortplanung in der Ebene, St. Gallen, 2000, http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm, (29.05.01)

KONTNY, H./ RÖSLER, O.: Restrukturierung der physischen Distributionslogistik. Grundlagen - Elemente - Methoden. Fallstudie, Marburg, 1997

PLÖGER, S./SCHMELING, R.: Referat zur Vorlesung Logistik: Controlling in logisti- schen Netzwerken: Anforderungen und generelle Möglichkeiten, Iserlohn, WS 00/01, Aus: http://wwwtbw.mfh-iserlohn.de/bwl/filz/l5.pdf

ROSENBERG, O.: Allgemeine BWL III.2: Produktionsmanagement, Universität Paderborn, SS1999

SCHILL, C.O.: Industrielle Standortplanung: Eine theoretische Konzeption und deren praktische Anwendung, Frankfurt am Main, 1990

6. Anhang

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x,y 11 für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x,y 12 für J2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x,y22 für J2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x,y31 für J1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x,y52 Schwerpunktkoordinaten für J2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x61 für J1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x62 Schwerpunktkoordinaten für J2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x71 für J1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung von x72 Schwerpunktkoordinaten für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung der Transportkosten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Berechnung der Lagermenge und -kosten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

---

¹ vgl. Klose,ß2000, S. 1

² vgl. Tempelmeier, 1994, S. 40

³ Siehe Schill, 1990, S. 1 nach Nauer, Standortplanung, 3/1968

⁴ vgl. ebenda, S. 1

⁵ vgl. Geldermann/Wietschel, Uni Karlsruhe,ß2000, S. 81

⁶ vgl. Isermann, 1998, S. 217

⁷ vgl. Rosenberg,ß1999, S. 23-24

⁸ vgl. Geldermann/Wietschel, Uni Karlsruhe,ß2000, S. 82

⁹ vgl. Klose,ß200, S.4

¹⁰ siehe Gabler Lexikon, Logistik, 2000, S. 434

¹¹ vgl. Feige, WS 00/01, S. 3 und Gabler Lexikon, Logistik, 2000, S.435

¹² vgl. Feige, WS 00/01, S. 3

¹³ vgl. Plöger/Schmeling, WS 00/01, S. 4-6

¹⁴ vgl. Isermann, 1998, S. 215

¹⁵ siehe Gabler Lexikon, Logistik, 2000, S. 340

¹⁶ vgl. Plöger/Schmeling, WS 00/01, S. 6 nach Gudehus, Logistik 2 - Netzwerke, Systeme und Lieferketten, 2000 S. 5

¹⁷ siehe Domschke/Drexl, 1990, S.115

¹⁸ vgl. Klose,ß2000, S. 11-12

¹⁹ vgl. Feige, WS 00/01, S. 23 und Klose,ß2000, S. 12

²⁰ Der Abstand zweier Punkte ist in diesem Fall als Summe aus den Differenzen der Koordinaten der beiden Punkte definiert (vgl. Kleibohm, 1995, S. 5)

²¹ Der Abstand zweier Punkte wird in diesem Fall durch Anwendung des Satzes des Pythagoras bestimmt, wobei die direkte Verbindungslinie der beiden Punkte die Hypothenuse und die Koordinatendistanzen der beiden Punkte die Katheten darstellen. So ergibt sich: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

²² vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 116

²³ vgl. Domschke/Drexl, S. 116 1990 und Kleibohm, 1995, S. 7

²⁴ vgl. wisu kompakt 6/87, S. 291

²⁵ siehe Feige, WS 00/01, S. 24

²⁶ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 117

²⁷ vgl. wisu kompakt, 6/87, S. 291

²⁸ vgl. Danglmaier, WS 97/98, S. 26

²⁹ vgl. Klose, 2000, S. 1 aus http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm

³⁰ vgl. Klose, 2000, S. 1 aus http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm und Danglmaier, WS 97/98, S. 26

³¹ Abbé Pierre Varignon (1654-1722), französischer Mathematiker

³² vgl. Klose, 2000, S. 1 aus http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm

³³ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 120 und Feige, WS 00/01, S. 24

³⁴ unter Vernachlässigung der Einheitstransportkosten

³⁵ „Die Konvexität der Funktion folgt aus der Konvexität euklidischen Norm[...]“ siehe Kloseß2000, S. 14

³⁶ Notwendige Bedingung für ein Minimum: 1. Ableitung = 0 und 2. Ableitung > 0. (Die zweite Ablei- tung kann entfallen, da die Funktion streng konvex ist und es darum bei einem Extremum definitionsgemäß um ein Minimum handeln muss.)

³⁷ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 122-123

³⁸ Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten: x

³⁹ z.B. a=10-3

⁴⁰ vgl. Domschke/Drexl,1990 und wisu kompakt, 6/87 S. 292

⁴¹ da in diesem Fall der Term im Nenner den Wert Null annehmen würde; eine Division durch Null ist mathematisch nicht definiert!

⁴² z. B. e = 10-4 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

⁴³ Das modifizierte Miehle-Verfahren wird in der Literatur auch häufig als „HyperboloidApproximationsverfahren“ bezeichnet, vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 123

⁴⁴ Man denke hier z. B. an Passstrassen mit Serpentinen, oder innerstädtische Einbahnstrassenverkehrs- führungen.

⁴⁵ vgl. Kontny/Rösler, 1997; S. 49

⁴⁶ Hansmann, 1999, S. 99

⁴⁷ wisu kompakt, 6/87, S. 292

⁴⁸ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S 118

⁴⁹ vgl. Kontny/Rösler, 1997S, S. 50

⁵⁰ vgl. Danglmaier, WS 97/98, S. 22-23

⁵¹ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 131-132

⁵² für alle Fälle, für die gilt: wij = 0, wird der entsprechende Summand in der Zielfunktion auch Null, so dass der Kundenort, zu dem keine Ware transportiert wird, gar nicht in die Berechnung der Standortplanung für diesen Einzugsbereich mit eingeht.

⁵³ vgl. Klose,ß2000, S. 16-18

⁵⁴ vgl. Feige, WS 00/01, S. 27 sowie Domschke/Drexl, 1990, S. 133

⁵⁵ vgl. Klose, 2000, S. 18

⁵⁶ vgl. Danglmaier WS 97/98, S. 31

⁵⁷ vgl. Danglmaier WS 97/98, S. 31-32

⁵⁸ siehe ebenda S. 31-32

⁵⁹ vgl. Klose, 2000, S. 19

⁶⁰ z. B. wird die Fragestellung vernachlässigt, wie oft im Monat das Lager von der Produktion beschickt werden muss, oder in welchem Maße die Kunden beliefert werden sollen. Auch die Anzahl der zu planenden Lager ist von der Aufgabenstellung vorgegeben und wird nicht extra berechnet.

⁶¹ Als Beispiele seien Größe, Grundstückspreise, Bebauungsmöglichkeiten, Infrastruktur, Verkehrsanbindung, staatliche Auflagen, Subventionen und Steuern genannt.

⁶² Die Ergebnisse der vorangegangenen Iterationen finden sich im Anhang.

⁶³ „Relation“ deshalb, weil sämtlichen Ergebnisse durch einsetzen des Wertes bj berechnet wurden, um unübersichtlich große Zahlen zu vermeiden. Dieser Wert entspricht dem Nachfrageverhältnis der Kunden. Das Ergebnis ändert sich durch dieses Vorgehen nicht, außer dass die Bezeichnung DM durch GE ersetzt wird.

⁶⁴ vgl. Feige WS 00/01, S. 28

⁶⁵ vgl. ebenda