Gleichstrom. Widerstand, Spannung und elektrische Leistung

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1.3 Die Geschwindigkeit der Elektronen im Draht

A ⋅ n ⋅ In einem Zylinder mit dem Volumen t V sind insgesamt t V A Elektronen enthalten, wobei V die mittlere

Geschwindigkeit der Elektronen, A die Leiterquerschnittsfläche und n die Anzahl der frei beweglichen Elektronen pro Kubikmeter bedeuten. Mit der Elementarladung e multipliziert ergibt diese Gesamtzahl der freien Elektronen die Ladung Q, welche in der Zeit t durch den Leiterquerschnitt transportiert wird.

2. Der elektrische Widerstand

2.1 Die Definition des Widerstandes

Die Eigenschaft elektrischer Leiter, die Bewegung der Ladungsträger zu hemmen, bezeichnet man als el. Widerstand, wobei die Grösse des Widerstandes für einen bestimmten Leiter charakteristisch ist.

Das Symbol R kommt vom englischen Wort resistance.

Die Einheit des el. Widerstandes ist 1 Ohm ( 1

2.2 Das Ohm-Gesetz

In gewissen Materialien ist der Strom proportional zur Spannung, das heisst, der Widerstand ist bei konstanter Temperatur konstant. Er ist also unabhängig von Strom und Spannung.

Anmerkung: Das Ohm-Gesetz ist ein Idealgesetz, da sich nur gewisse Materialien unter gewissen Bedingungen gemäss diesem Gesetz verhalten.

2.3 Der elektrische Widerstand eines Drahtes

Der el. Widerstand eines Drahtes R hängt von seiner Länge l, seiner Querschnittsfläche A und seinem spezifischen Widerstand ρ ab:

Der spezifische Widerstand ist für ein Material charakteristisch und hängt von seiner chemischen Zusammensetzung und von der Temperatur ab.

Die Einheit des spezifischen Widerstandes ist

3. Die elektrische Leistung

Wenn eine bestimmte Ladung Q durch einen Widerstand fliesst, so erwärmt sich dieser. Es wird also Arbeit verrichtet.

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Aus der Definition der Leistung erhält man die el. Leistung:

4. Schaltungen von Widerständen

4.1 Reihenschaltung

Die Stromstärke in einem Stromkreis mit in Reihe geschalteten Widerständen ist an jeder Stelle gleich gross:

Die Gesamtspannung über allen in Reihe geschalteten Widerständen ist gleich der Summe der einzelnen Widerstände:

Der Ersatzwiderstand für in Reihe geschaltete Widerstände ergibt sich aus der Summe der einzelnen Widerstände:

Da alle Ströme I 1 , I 2 , I 3 usw. gleich dem Gesamtstrom sind, darf man diese Ströme gleichsetzen:

Die Stromstärke I ges im unverzweigten Teil des Stromkreises ist gleich der Summe der Teilstromstärken in den parallelen Zweigen:

Über allen parallelgeschalteten Widerständen herrscht dieselbe Spannung:

Der Ersatzwiderstand bei parallel geschalteten Widerständen lässt sich wie folgt berechnen:

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Man erkennt, dass sich die Ströme durch parallele Widerstände umgekehrt zu ihren Widerstandswerten verhalten.

5. Die Kirchhoffschen Regeln:

Es gibt Stromkreise wie den in der Abbildung rechts, die wir mit unseren

bisherigen Regeln nicht auf einen einzigen Ersatzwiderstand reduzieren können.

Zur Untersuchung einfacher wie auch komplizierter Schaltungen erweisen sich die

Kirchhoffschen Regeln als nützlich. Sie lassen sich auf beliebige Stromkreise anwenden.

In Stromnetzen gibt es Punkte, an denen mehrere Leitungszweige verknüpft sind.

Man nennt sie Verzweigungspunkte oder Knoten. Neben den Knoten spielen bei einem elektrischen Stromkreis noch

die Maschen oder Schleifen eine Rolle. Eine Masche besteht aus mehreren Zweigen, die elektrische Bauelemente wie Widerstände und Spannungsquellen enthalten und die so aneinandergereiht sind, dass sich ein geschlossenes Gebilde ergibt.

5.1 Die 1. Kirchhoffsche Regel

5.2 Die 2. Kirchhoffsche Regel

Beispiele zur Anwendung der Kirchhoffschen Regeln befinden sich bei den Lösungen der Aufgaben.

6. Eigenschaften einer Spannungsquelle

6.1 Leerlauf - und Belastungsspannung

Zwischen den Polen einer frischen Flachbatterie misst man eine Spannung von 4.5V. Häufig wird diese Spannung als Leerlaufspannung U 0 bezeichnet.

Wenn man jedoch zum Beispiel einen Elektromotor anschliesst, zeigt der Spannungsmesser kaum noch 4V an. Wir nennen diese Spannung Klemmen - oder Belastungsspannung U bel . Sobald man den Motorstromkreis unterbricht, steigt die Spannung wieder auf 4,5 Volt.

6.2 Innenwiderstand

Jede Spannungsquelle ( z.B. Batterie, Netzgerät, …) besitzt einen Innenwiderstand R i , der durch die Reibung der Ladungsträger im Innern der Spannungsquelle verursacht wird.

Der Innenwiderstand R i und der Aussenwiderstand R a sind in Reihe geschaltet. Die Leerlaufspannung U 0 dient dazu, die Ladungsträger im gesamten Stromkreis anzutreiben. Deshalb gilt:

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U 0 = (R i + R a ) ·I = R i · I + R a ·I

Der Summand R i · I gib die Teilspannung am Innenwiderstand an; wir bezeichnen sie mit U i . Der andere Summand ist gleich der Teilspannung am Aussenwiderstand: U bel = R a · I. Wir erhalten somit: U 0 = U i + U bel oder U bel = U 0 - U i = U 0 - R i · I

Damit kann man sagen, dass bei Belastung die Leerlaufspannung U o um die Teilspannung U i am Innenwiderstand sinkt.

Wegen des Innenwiderstandes wird in der Spannungsquelle auch elektrische Energie umgewandelt und als Wärme abgegeben, was eine Erwärmung der Spannungsquelle zur Folge hat.

6.3 Kurzschluss

Von einem Kurzschluss spricht man, wenn zum Beispiel die Batteriepole direkt über einen guten Leiter miteinander verbunden werden. Dabei fällt der Aussenwiderstand weg. Dies hat zur Folge, dass auch die Belastungsspannung gleich null ist. Somit ist die gesamte Spannung U o nötig, um die Ladungsträger durch den Innenwiderstand zu treiben. Dadurch können sich Batterien so stark erwärmen, bis sie platzen.

7. Messbereicherweiterung

7.1 Strommesser

Durch Parallelschalten von Widerständen teilen sich die Ströme auf. Der parallelgeschaltete Widerstand muss genau so viel Strom übernehmen, dass immer noch gleich viel Strom durch den Messer fliesst, auch wenn die gesamte Strommenge grösser wird.

7.2 Spannungsmesser

Durch Hintereinanderschalten von Widerständen teilen sich die Spannungen auf. Der vorgeschaltete Widerstand muss genau soviel von der gesamten Spannung übernehmen, damit über dem Spannungsmesser immer noch genau gleiche Spannung herrscht, auch wenn die gesamte Spannung grösser wird.

8. Lösung der Aufgaben

Aufgabe 1

Ein Voltmeter von R V = 240 kΩ Innenwiderstand misst in der

nebenstehenden Schaltung zwischen den Punkten B und C die Spannung U 3m = 20.0 V.

a) Berechne die Spannung U 3o zwischen B und C, wenn das Voltmeter nicht angeschlossen ist. Die Klemmenspannung U k bleibt dabei konstant.

b) (Unabh. von a) Welcher Bedingung hat ein Voltmeter zu genügen, damit der Unterschied zwischen U 3m und U 3o klein ausfällt? (Mit Begründung)

c) (Unabh. von a,b) Das genannte Voltmeter (R v = 240 kΩ, Vollausschlag bei U v = 24.0 V) setzt sich aus einem Drehspulmesswerk (Vollausschlag bei U d = 0.20 V) und einem Widerstand R s zusammen. Zeichne die Voltmeterschaltung und berechne den Widerstand R s .

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Aufgabe 2

In der nebenstehenden Schaltung bedeuten R 1 = 50 kΩ; R 2 = 300 kΩ; R v = 100 kΩ. Die Stromquellen haben die Urspannungen U 1 = 250 V und U 2 = 500 V und vernachlässigbare Innenwiderstände. a) (Algebraische Lösung fakultativ. Es genügt den numerischen Lösungsgang zu notieren.) Welche Spannung zeigt das Voltmeter an, wenn die Punkte A und B durch ein kurzes Drahtstück kurzgeschlossen werden?

b) (Algebraische und numerische Lösung. Unabhängig von a) Berechne die Stromstärke in R 2 , wenn zwischen A und B die Stromquelle U 2 eingefügt

wird. (Tipp: Polung beachten. Der Strom durch U 1 ist grösser als derjenige durch U 2 .) c) (Unabhängig von a,b) Auf welchen Wert ist U 2 zu ändern, damit das Messinstrument U v = 0 anzeigt?

2. a)

gegeben: R 1, R 2, R v, U ¹ gesucht: U v

Algebraische Lösung:

I 1 = -0.003 A

Ω ⋅ + Ω ⋅ + Ω ⋅ I 2 = 0.002 A
I 3 = 0.001 A

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2.c) gegeben: R 1, R 2, Rv , U ¹ gesucht: U 2 = U x

→ = I 0 U

v

U 1 +I 1 R 1 = 0

1

U x - I 2 R 2 = 0 →

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9.Themenbezogene Aufgaben

Zusätzliche Aufgaben zur Theorie befinden sich im Physikbuch (Läuchli/Müller) von Kapitel 13.1 bis 13.2.5.1 (S.225-238)

10. Literaturverzeichnis

Dr. Flepp, L.: Theorie im Unterricht. EMS, 2000

Läuchli / Müller: Physik Aufgaben. Zürich: Orell Füssli, 1975 Mirow, B.: Physik Formeln Sekundarstufe II. Bonn: Dümmler Verlag, 1988