Irrationale Zahlen am Beispiel Pi und e


Facharbeit (Schule), 2002

37 Seiten, Note: 2+; 2+; 3+


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Inhaltsangabe

1. Irrationale Zahlen allgemein. (alle zusammen)

2. Die Zahl Pi (einer einzeln)

3. Historie der Zahl Pi (einer einzeln)

4. Die Zahl e (einer einzeln)

5. Literaturverzeichnis

6. Anhang

1 Irrationale Zahlen

1.a.) Diese Facharbeit gibt einen Einblick in einen großen und wichtigen Bereich in der Mathematik, in den Bereich der irrationalen Zahlen. Diese sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h. die sich nicht als Bruch ''ganze Zahl / ganze Zahl'' schreiben lassen. Es sind reelle Zahlen, deren Dezimaldarstellung weder abbricht noch periodisch ist.

Die Menge aller irrationalen Zahlen ist so ''groß'', dass sie sich nicht ''durchnumerieren'' lässt. Sie ist (im Gegensatz zur Menge der rationalen Zahlen) überabzählbar, eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Die rationalen Zahlen, mit denen man es in der Praxis so oft zu tun hat, und die in so vielen Rechenaufgaben vorkommen, bilden genau genommen nur eine verschwindende Minderheit! Jedoch ergeben die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen die Menge der reellen Zahlen. Der Begriff irrationale Zahl ist eng verbunden mit dem Wurzelbegriff. Neben irrationalen Wurzelausdrücken gibt es weitere irrationale Zahlen wie z. B. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, e, Logarithmen und trigonometrische Funktionen, um nur die Wesentlichen zu nennen. Zur Betrachtung von irrationalen Zahlen dient besonders die Zahlengrade, die komplett durch die reellen Zahlen abgedeckt ist.

Um zu Beweis, dass es irrationale Zahlen gibt, braucht man Pythagoras: Wir nehmen ein rechteckiges Dreieck mit gleich langen Katheten, deren Länge z.B. gleich eins gewählt ist. Die Frage ist: Wie lang ist die Hypotenuse? Als Ergebnis wollen wir etwas "Harmonisches" bekommen, nämlich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

so dass m und n ganze Zahlen wären. Wir können den gemeinsamen Faktor, falls es den gibt, ausdividieren. Also sind m und n fremd. m muss eine gerade Zahl sein, und deswegen n eine ungerade. Schreiben wir dann m = 2p, und bekommen dann n² = 2p², also ist nun und deswegen n eine gerade Zahl, im Gegensatz zu der Hypothese. Also, per Definitionem, c = √2, haben wir bewiesen, mit Pythagoras, dass es irrationale Zahlen gibt.

{http://www.camtp.uni-mb.si/camtp/robnik/novacella2001/quantenchaos/node2.html}

1.b.) Zu der Betrachtung von irrationalen Zahlen werden Quadrate von Zahlen sowie Quadratwurzeln behandelt. Die Quadratzahlen können mit Hilfe des Flächeninhaltes von einem Quadrat repräsentiert werden, die Quadratwurzel als Kantenlänge eines Quadrates. Zur Herleitung der irrationalen Zahlen wird die Existenz einer derartigen Zahl nachgewiesen. Als Repräsentation bietet sich die Länge einer Strecke an, da diese besonders

gut an einer Zahlengerade deutlich gemacht werden kann und Punkte (in einem bestimmten Abstand links bzw. rechts zur Null) als Zahlen identifiziert werden können.

Beispiel:

Es wird das folgende Ausgangsproblem behandelt:

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrates mit einer Kantenlänge von 1 cm ?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Bestimmung von d kann auch der Satz des Pythagoras angewendet werden, doch es kann auch anders vorgegangen werden. Es können nämlich andere geometrische Begründungen herangezogen werden. Das große Quadrat ist doppelt so groß wie das kleine Quadrat. Es ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ist eine Strecke von √2 cm konstruiert worden. Demnach muss es auch eine Zahl geben. Der nächste Schritt ist, diese Zahl genauer zu beschreiben. Der Taschenrechner liefert 1,414... was die Position auf der Zahlengerade erahnen lässt. Da √2 keine ganze Zahl ist, bleibt die Vermutung, dass √2 ein Bruch ist, den man genauer bestimmen kann.

Der Irrationalitätsbeweis { siehe oben} von √2 lässt sich für alle Quadratwurzeln von Primzahlen verallgemeinern. Außerdem folgt, dass das wiederholte Ziehen der Quadratwurzel von einer Primzahl wieder eine irrationale Zahl liefert. Man erhält also beliebig viele neue Zahlen, die nicht in Q liegen.

Weitere Möglichkeiten der Bestimmung von irrationalen Zahlen sind z. B. das Heronverfahren oder die Intervallschachtelung {Siehe Anhang [S. 26]}.

1.c.) Ein Sonderfall der irrationalen Zahlen sind die transzendenten Zahlen wie zum Beispiel Pi und e. Diese Transzendent ist noch um einiges Umfangreicher als die „normale“ Irrationalität, wie zum Beispiel bei √2. Transzendenz drückt aus, dass Zahlen, komplexe

Zahlen, keiner polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen. Das Gegenteil von transzendenten Zahlen sind algebraische Zahlen, diese haben Nullstellen der Gestalt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

{Zur Transzendenz siehe auch transzendente Zahl e}

1.d.) Es gibt einen überraschenden Zusammenhang zwischen den irrationalen Zahlen Pi und e, und auch noch drei andern für die Mathematik fundamentalen Zahlen. So ergibt sich aus den Zahlen Null, das neutrale Element der Addition, Eins, das neutrale Element der Multiplikation, i, die imaginäre Einheit, e, die eulersche Zahl und natürlich Pi, die Kreiszahl, folgender Term:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um den Zusammenhang zu verstehen, muss man wissen, dass die Exponentialfunktion e z auch für komplexe Zahlen z anwendbar ist. Das ist sinnvoll, denn auch für komplexe Zahlen sind Summe, Produkt und Grenzwert definiert.

Hier wird dies nur für den Spezialfall benötigt, in dem z ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit ist: z = i * x mit einer reellen Zahl x. In diesem Fall kann e i * x durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ausgedrückt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Betrachtet man nun die Reihenentwicklung von Sinus und Kosinus kommt man zu dem Beweis: Der Sinus ist bei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich 0, der Kosinus hat dort den Wert -1, und das heißt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Formel geht zurück auf Leonard Euler.

1.d.) Irrationale Zahlen kann man überall anfinden, so auch schon bei den einfachsten Aufgaben, wo man es kaum erwarten würde.

Wenn man nun zum Beispiel behauptet 31/5 ist irrational, dann kann man dies beweisen,

indem man erstmal annimmt, dass es Zahlen gibt, m, n Є Ν (wobei m, n teilerfremd sind) mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt, dass 3 Primfaktor von m 5 und damit auch Primfaktor von m, d.h.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

was ein Widerspruch zu „ m, n sind teilerfremd“ ist.

1.f.) Wie man sehen kann sind die irrationalen Zahlen sehr wichtig für die Mathematik, besonders dadurch, dass sie zusammen mit den rationalen Zahlen die komplette Zahlengrade abdecken und die reellen Zahlen ausfüllen. Weiterhin kann man, besonders an Pi und e, feststellen, dass die irrationalen Zahlen nicht nur in der Mathematik oder der Schule ein tragende Rolle spielen sondern auch im Alltag zum Vorschein kommen. Ohne dass wir es wissen, hatten wir häufig schon Strecken gezeichnet, deren Länge eine irrationale Zahl war. So zum Beispiel auch x ² = 2 (Über der Menge der rationalen zahlen ist diese Lösungsmenge leer).

Die Menge der rationalen Zahlen ist unvollständig: es gibt nicht für jede Länge eine rationale Maßzahl, deshalb sind hier auch schon die irrationalen Zahlen von Nöten.

Vor allem in der Geometrie sind diese Zahlen besonders stark vertreten, was auch durch den Satz des Pythagoras deutlich gemacht wurde.

2. Die Zahl Pi

2.a.) Will man sich über die Zahl Pi im klaren sein, so kommt man nicht daran vorbei, sich zunächst einmal einen Kreis genauer zu betrachten. Als Kreis wird grundsätzlich die Menge aller Punkte bezeichnet, die von einem Punkt M, dem Mittelpunkt, aus den gleichen Abstand r, den Radius, besitzen. Sie bilden eine geschlossene Linie, die an allen Stellen die gleiche Krümmung aufweist, wodurch der Kreis nach allen Seiten hin vollkommen symmetrisch wird. Trotz dieser vollkommenen Symmetrie, war es nie einfach, die Fläche eines Kreises zu bestimmen. Es hat sich sogar erwiesen, dass die flächengleiche Verwandlung eines Kreises in ein Quadrat mit den klassischen Hilfsmitteln, Zirkel und Lineal, unmöglich ist. Dieses Problem geisterte jahrhundertelang unter dem Namen

„Quadratur des Kreises“ durch die Mathematikergehirne. Erst 1882 konnte F. Lindemann die Transzendenz von Pi beweisen und somit den Versuch der Quadratur des Kreises beenden. (Schüler Duden Mathematik I S.34 ff.)

Ein einfaches Gedankenexperiment führt uns jedoch weiter. Zerteilt man einen Kreis (Radius r = 1), wie einen Kuchen, z.B. in 16 gleiche Stücke, so lassen sich diese, in Form eines „Monstergebisses“ aneinander gereiht darstellen. Nun kann man noch ein Stück halbieren und jeweils ein Teilstück an ein Ende legen. So ergibt sich eine Fläche von fast rechteckiger Form.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Je feiner man den Kreis segmentiert, um so eher ähnelt diese Fläche einem Rechteck. Die Breite dieser Fläche ist der Radius des Kreises und die Länge ist die Hälfte des Kreisumfangs. Für den Einheitskreis, dem Kreis mit Radius r = 1, hat man daher aus praktischen Gründen, der Länge des Rechteckes, bzw. der Hälfte des Kreisumfangs den Namen Pi gegeben. Also ist Pi das Verhältnis zwischen dem Umfang U und dem Durchmesser d. D.h. der Umfang des Kreises ist stets das Pi - fache des Durchmessers: U

= Pi * d bzw. U = 2 * Pi * r

Bemerkenswerterweise hängt das überhaupt nicht davon ab, an welchem Kreis wir diese Rechnungen vornehmen: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist stets gleich.

Außerdem gilt: Der Quotient aus Flächeninhalt und dem Quadrat des Radius ist konstant und für jeden Kreis gleich groß. Diese Konstante ist ebenfalls Pi. D.h. A = Pi * r²

Für den Einheitskreis ergibt sich: A = Pi * 1² = Pi

2.b.) Auch schon früher war die Zahl Pi bekannt. In einer weniger bekannten Bibelstelle (Siehe hierzu Teil 3.b.iv.) wird für Pi der Wert 3 verwendet.

Dies war nicht sehr genau, denn im klassischen Altertum waren bereits gute Näherungen der Zahl Pi bekannt. In Ägypten verwendet man um 1500 v. Chr. den Wert (1 7/9)^2 = 3.16049 Archimedes von Syrakus (287 – 212 v. Chr.) verwendete den auch noch heute geläufigen Näherungswert 22/7 = 3.14285... (auf diese Methode wird in Teil 3.c der Facharbeit noch genauer eingegangen). In China gelang Tsu Ch´ung Chi (430 – 510 n.Chr.), der Archimedes´ Arbeit vermutlich nicht kannte, eine wichtige Verbesserung für die Zahl Pi. Er stellte fest: Pi = 355/113 = 3.141593. Danach herrschte ein Jahrtausend des Schweigens. Um 1430 errechnete Al'Kashi 14 Stellen, Vieta erlangte 1579 durch Betrachtung eines eingeschriebenen 2^16-Ecks neun Stellen, Ludolph van Ceulen 1610 durch ein 2^62-Eck 35 Dezimalen. Dank der Ausarbeitung der Analysis durch Pioniere wie Isaac Newton und Leonhard Euler wurden bessere Näherungswerte von Pi gefunden, die freilich immer in mühsamer Handarbeit errechnet werden mussten. Euler (1707 - 1783), der erstmals den griechischen Buchstaben Pi verwendete (von perimetros, dt. Umfang), schaffte so mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von Pi. 1853 veröffentlichte William Shanks 707 Stellen der Zahl Pi. Erst 1945 fand ein F.D. Ferguson mittels einer Tischrechenmaschine heraus, dass sich Shanks gründlich verrechnet hatte: von den 707 Stellen waren nur die ersten 527 richtig. Zynische Geister munkeln, dass Shanks seine Berechnung noch verschönen wollte und einfach einige hundert fingierte Dezimalen willkürlich anhängte.(Klaus Fitzsche, Mathematik für Einsteiger S.166 ff.) Im Jahre 1948, also vor nicht einmal 50 Jahren, kannte die Welt immer noch nicht mehr als 808 Stellen. Die weitere Geschichte zur Berechnung der Zahl Pi ist von der Entwicklung und vom Einsatz elektronischer Rechenanlagen geprägt. 1949 berechnete eine Maschine namens ENIAC über 2000 Dezimalen und benötigte dafür 70 Stunden; 1959: 10 000 Stellen; 1961:

100 265 (IBM 7090, 8 Stunden Rechenzeit); 1967: 500 000; 1983: 8 388 608 Stellen

(HITAC M280H in 6.8 Stunden); 1986: 29 000 000 mit einer Cray; 1987: 133 554 000;

1989 wurde die Milliardengrenze überschritten: 1 073 740 000 Dezimalen; 1997 segnete

uns Yasumasa Kanada mit 51 539 600 000 Nachkommastellen (Rechendauer: 29 Stunden). (David Blatner, Pi, die Magie einer Zahl)

Doch was bedeuten schon Milliarden angesichts der Unendlichkeit ...

2.c Bestimmung der Konstanten Pi:

Liegt ein n-Eck zugrunde, so erhält man durch Intervallschachtelung:

F(n,innen) < F(k) < F(n,außen) [Als F wird im weiteren Verlauf immer der Flächeninhalt bezeichnet]

Das n-Eck ist ein regelmäßiges Vieleck. Daher kann zur Berechnung der Fläche das Bestimmungsdreieck herangezogen werden. Um die Berechnung einfacher zu gestalten, wird der Einheitskreis (r = 1) verwendet. Die Fläche des inneren und des äußeren Dreiecks ist:

F(i,n) = n * ½ * s(i) * h(i) und F(a,n) = n * ½ * s(a) * h(a)

Dabei gilt, h(a) = r = 1, da die Seite s(a) eine Tangente zu dem Kreis ist. Nach dem Strahlensatz gilt: s(a) / s(i) = h(a) / h(i) = r / h(i) = 1 / h(i)

Durch Umformung erhält man: s(a) = 1 / h(i) *s(i) und h(a) = r Damit kann das äußere Dreieck umgerechnet werden zu:

F(a,n) = n * ½ * 1 / h(i) * s(i) * r = n * ½ *1 / h(i) * s(i) ( r = 1 )

Die Strecken s(i) und h(i) sind nur abhängig von der Zahl n des n-Ecks. Da die Größen des äußeren Dreiecks nicht mehr auftreten wird s(i) in s(n) und h(i) in h(n) umbenannt.

F(i,n) = n * ½ *s(n) * h(n) und F(a,n) = n * ½ *s(n) * 1 / h(n)

Jetzt wird das n-Eck so geteilt, dass jedes Bestimmungsdreieck in zwei getrennt wir. Dadurch entsteht dann ein 2n-Eck.

37 von 37 Seiten

Details

Titel
Irrationale Zahlen am Beispiel Pi und e
Note
2+; 2+; 3+
Autor
Jahr
2002
Seiten
37
Katalognummer
V106864
Dateigröße
1264 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Die Facharbeit ist eine Gruppenarbeit von 3 Personen. Der irrationale Teil ist von allen zusammen, die Zahl Pi war von einem einzeln (Note 2+),Geschichte der Zahl Pi von einem (Note 3+), Die Zahl e ist auch von einem (NOte 2+)
Schlagworte
Irrationale, Zahlen, Beispiel
Arbeit zitieren
Harry Klein (Autor), 2002, Irrationale Zahlen am Beispiel Pi und e, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/106864

Kommentare

  • Gast am 10.9.2007

    Cool!!!.

    Also ich finde dieses Angebot sehr hilfreich!!! Es ist echt cool, dass sie so etwas machen daumen hoch!!! Respekt für die Arbeit!!!

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Titel: Irrationale Zahlen am Beispiel Pi und e



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