Diese Facharbeit behandelt das Thema Bogenlänge von Funktionen in kartesischen Koordinaten, in Polarkoordinaten und in Parameterform.
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Den Begriff „Bogenlänge“ ist primär aus der Kreisgeometrie bekannt, wo er die Länge eines Kreisbogens bezeichnete. Mit Bogenlänge meint man im Allgemeineren auch die Länge einer Kurve, anschaulich gesehen also die Länge, die ein Faden hätte, wenn man ihn in einem bestimmten Intervall exakt über die Kurve legen würde. Die Bogenlänge lässt sich annährend bestimmen, indem man eine Kurve in mehrere geradlinige Strecken unterteilt, d.h. man legt einen Polygonzug über die Kurve. Wird die Unterteilung feiner, passt sich dieser Polygonzug immer genauer der Kurve an und seine Länge nähert sich der des Graphen an. Durch die Integralrechnung kann man dann nicht nur Nährungs-, sondern auch exakte Werte berechnen.
Die Berechnung der Bogenlänge ist besonders im technischen und handwerklichen Bereich von Bedeutung. So findet sie beim Brückenbau oder im allgemeinen bei der Herstellung „krummer“ Bauelemente Verwendung. Man kann sie aber auch zur Berechnung von Entfernungen einsetzen, die sich auf einer Kurvenbahn bewegende Körper zurücklegen, wie in Kapitel 4 erläutert wird.
y = ) (x f Eine Formel für die Bogenlänge des Graphen einer Funktion in einem Intervall [ ]
b a; kann man sehr anschaulich durch eine äquidistante Unteilung dieses Intervalls, also
eine Zerlegung der Kurve in mehrere Teilstrecken, herleiten (Abb. 1). Dabei ist es einfacher, gleich den allgemeinen Fall anstatt zuerst spezielle Funktionen zu betrachten.
y
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Der Graph wird im gegebenen Intervall [ ]
b a; in n gleichlange Teilstücke mit der Länge
∆ = a = und = n − x x x b a b mit unterteilt. Wie sich aus Abbildung 1 erkennen lässt, gilt
+ 1 1 n s : nach dem Satz von Pythagoras für die Länge jeder Strecke i
= s
i
s bis n s ergibt sich: Für die Summe aller Teilstrecken 1
n ∑
s
i
= 1 i ∞ → → ∆x n 0 Für den Grenzübergang , werden die Teilstrecken so klein, dass sie sich
der Kurvenform beliebig genau anpassen. Der Grenzwert dieser Summenfolge lässt sich als ∆ y i Integral schreiben. Dabei wird der Differenzenquotient x zum Differentialquotienten
∆ ) ( ' i x f . Es folgt für die Bogenlänge B:
= B
im Intervall [ ]
y = ) (x f b a; ist also das Die Bogenlänge B des Graphen einer Funktion bestimmte Integral:
) (x f Diese Verfahrensweise setzt voraus, dass die Funktion in dem gegebenen Intervall ) ( ' x f differenzierbar ist. Die Ableitung muss zudem integrierbar sein. Die Funktion ) (x f selber wird dann als stetig differenzierbar bezeichnet.
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Die Funktionsgleichung des Einheitskreises ist
hat die Länge π . Dies soll nun über die Formel für die Bogenlänge eines Funktionsgraphen berechnet werden (Abb. 2).
y
(Abb. 2)
Für die Bogenlänge gilt:
= B
=
=
=
In der Formelsammlung findet man die Stammfunktion von
[ ] π
( ) 1 − = = ⇒ 1 x B sin
− 1
Die über die Formel berechnete Bogenlänge ist in diesem Fall also korrekt.
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Gerade bei der Berechnung der Bogenlänge eines Kreises bietet es sich an, die Funktion nicht in kartesischen Koordinaten darzustellen, sondern in Polarkoordinaten. Die Funktion ( = ϕ 1 ) f des Einheitskreises hat in Polarkoordinaten zum Beispiel die Form . Auch ohne
die Darstellung in Polarkoordinaten zu kennen, kann man erahnen, dass Berechnungen über diese Funktion nicht sonderlich kompliziert sein werden.
Ein Punkt wird in Polarkoordinaten durch zwei Variablen definiert:
1. Der Radialkoordinate r, die den Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung (Pol) angibt. Negative r-Werte werden in Gegenrichtung aufgetragen.
2. Dem Polarwinkel ϕ , der den Winkel zwischen der Strecke OP und der
Polarachse im Bogenmaß angibt. Die Polarachse ist ein vom Pol ausgehender Strahl. Der Polarwinkel ist positiv, wenn er im Gegenuhrzeigersinn von der Polarachse aus gemessen wird. Wird er im Uhrzeigersinn gemessen, ist er negativ.
Wird nun jeder durch den Winkel festgelegten Richtung ϕ innerhalb eines vorgegebenen
Definitionsbereichs eindeutig ein Wert r zugeordnet, liegt also eine Gleichung der Gestalt r = ) (ϕ f vor, erhält man eine Kurve. Zur Verdeutlichung eine Abbildung:
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Analog zur Darstellung in kartesischen Koordinaten, wo ein Streckenintervall in mehrere gleichgroße Teilstrecken zerlegt wurde, kann man eine Formel für die Bogenlänge des = r f ) (ϕ Graphen einer Funktion durch die Zerlegung eines Winkelintervalls in mehrere gleichgroße Teilwinkel herleiten (Abb. 4).
(Abb. 4)
0
Der Graph wird im Intervall [ ] α β − β α; in n gleichgroße Teilwinkel mit der Größe ϕ ∆ =
n
unterteilt. Da die Winkelangaben im Bogenmaß erfolgen, hätte ein Kreisausschnitt mit dem r und dem Zentriwinkel ϕ ∆ die Bogenlänge ϕ ∆ ⋅ = i r b b Radius i . Nun ist die Strecke i
nur unwesentlich kürzer als ein solches Bogenstück. Daher folgt für sehr kleine Werte von ϕ ∆ also ϕ ∆ ⋅ ≈ i r b . Dabei wird das auch Dreieck PQR annährend rechtwinklig.
i
→ ∆ϕ ∞ → n 0 Für , gilt folglich:
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s bis n s ergibt sich: Für die Summe aller Teilstrecken von 1
n ∑ = i 1
Genau wie x
Hinweis: Die Ableitung einer Funktion in Polarkoordinaten hat allerdings eine andere geometrische Bedeutung als die Ableitung einer Funktion in kartesischen Koordinaten, aber darauf soll an dieser Stelle nicht genauer eingegangen werden.
Es folgt für die Bogenlänge B:
= B
r = ) (ϕ f Die Bogenlänge B des Graphen einer in Polarkoordinaten gegebenen Funktion im Intervall [ ]
β α; ist also das bestimmte Integral:
In der eben angewandten Methode wurden allerdings einige nicht weiter bewiesenen → ∆ϕ 0 Ungleichungen verwendet, nämlich dass man für den Grenzwert von das Dreieck ϕ ∆ ⋅ = i r b PQR als rechtwinklig betrachten kann und das dann auch gilt. Man kann
i
(f.2) aber auch aus (f.1) herleiten, was mathematisch gesehen etwas exakter ist. Hierzu muss man einige Verhältnisse zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten kennen. Diese lassen sich direkt aus (Abb.5) ablesen.
y
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Fallen Polarachse und x-Achse sowie beide Koordinatenursprünge zusammen, gilt: ⋅ = r ⋅ = r ) cos(ϕ x , ) sin(ϕ y
ϕ ϕ = ⋅ = ϕ ϕ ϕ ⋅ − ⋅ = ' ϕ ) ( ) cos( g r x ) sin( ) cos( ' ) ( ' r r g ) ( g Setzt man , gilt . ist dann
aber die Ableitung von x nach dem Parameter ϕ , man kann also schreiben:
' g
( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ = ⇔ d r r d g dx ) sin( ) cos( ' ) ( '
( ) ϕ ϕ ϕ ⋅ ⋅ + ⋅ = d r r dy ) cos( ) sin( ' Auf dem gleichen Weg erhält man . Gleichung (f.1)
dy ausdrücken lässt. Setzt man die eben ) ( ' x f enthält zusätzlich noch , was sich auch als dx
hergeleiteten Gleichungen ein, erhält man schließlich:
ϕ ϕ ⋅ + ⋅
f
Dies wird in Gleichung (f.1) eingesetzt und statt der Intervallgrenzen [ ]
b a; die Grenzen [ ]
β α; verwendet:
B
= + ϕ ϕ 2 2 1 ) ( cos ) ( sin Da ist, kommt man also auch auf diesem Wege auf die Gleichung:
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Wie zu Anfang dieses Kapitels erwähnt, hat der Einheitskreis in Polarkoordinaten die ( = ϕ : für jeden Winkel ϕ ist der Radius r = 1. Zeichnet man die Funktion f 1 ) Funktion im Intervall [ ]
π π ; − , ergibt sich als Graph ein vollständiger Kreis. Die Bogenlänge lässt sich daher recht einfach ausrechnen:
= B
Auch hier arbeitet die Formel korrekt.
Oft werden Funktionen auch in Parameterdarstellung angegeben. Die Parameterdarstellung werden zwar ebenfalls in kartesischen Koordinaten dargestellt, allerdings besteht dabei keine direkte Beziehung zwischen der x- und der y-Koordinate. Stattdessen sind beide Werte von einem dritten Parameter (in der Regel mit t bezeichnet) abhängig. Die = x t f ) ( Koordinaten eines Punktes werden also durch zwei Funktionen definiert: und g = y t ) ( ) (t x und ) (t y . Zwar lässt sich daraus manchmal eine direkte , oder vereinfacht:
Beziehung von x und y ableiten, dies ist aber nicht zwingend gegeben. Eine Kurve in Parameterdarstellung denkt man sich oft als die Bahn, die ein sich ) | ( y x P bewegender Punkt beschreibt, wenn der Parameter t ein gegebenes Intervall
durchläuft (wobei t in diesem Zusammenhang meist die Zeit darstellt). So lässt sich zum Beispiel recht einfach die Bewegungskurve eines horizontal abgeschossenen Balles darstellen. Nehmen wir an, dass er sich in x-Richtung mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt und in y-Richtung durch die Erdgravitation die konstante ⋅ = ⋅ ⋅ − = 2 t v t x ) ( ) ( t a t y 1 Beschleunigung a nach unten erfährt. Dann ist und . Wenn für
2
v und a Werte eingesetzt und der Graphen gezeichnet wird, ergibt sich eine Wurfparabel (Abb. 6).
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y
Die Bogenlänge des Graphen lässt sich daher in der Parameterdarstellung auch als die Strecke verstehen, die ein sich auf dieser Kurve bewegender Punkt zurücklegt.
Da die Parameterdarstellung in kartesischen Koordinaten aufgetragen wird, kann man ) (x f genauso vorgehen wie beim Graph einer Funktion .
y
Ein Intervall [ ]
a = und = n b a; mit t t b wird in n Teilstücke zerlegt (Abb.7). Dabei ist
+ 1 1
= ∆ − t a b . Wie man aus der Zeichnung ersehen kann gilt wieder:
n
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s bis n s ergibt sich: Für die Summe aller Teilstücke von 1
n ∑
s
i
= 1 i
∞ → → ∆t n 0 Wir führen wieder den Grenzübergang , durch. Dabei ist in der ∆ ) ( ' t x . Genauso x Parameterdarstellung t die Ableitung von x nach dem Parameter t, also
∆ ∆ = y ) ( ' t y ist . Es folgt:
∆ t
B
Die Bogenlänge B des Graphen einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion
im Intervall [ ]
x = y = ) (t x ) (t y b a; ist also das bestimmte Integral: ,
y = ) (x f Wenn man sich (f.1) (die Formel der Bogenlänge einer Funktion ) anschaut, y = ) (x f lässt sich diese auch Mithilfe der obigen Formel erklären. Eine Funktion kann x = als Parameter wählt. Es t man auch in Parameterdarstellung ausdrücken, indem man = = = = ' = ) (t x t x ) ( ) ( t y x f y 1 ) ( t x gilt also und sowie daraus resultierend . Dies setzt
man nun in die Formel für die Bogenlänge einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion ein:
B
Die vorher bestimmte Formel erhält man also auch aus der Formel für die Bogenlänge y = ) (x f einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion. Da man eine Funktion wie
oben beschrieben als eine spezialisierte Parameterdarstellung auffassen kann, ist dies auch zwingend notwendig.
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Wenn man sich noch mal die Verhältnisse im Kreis klarmacht, kommt man schnell auf eine Parameterdarstellung für den Einheitskreis (Abb. 8).
y
Wenn man t als Winkel eines Kreisausschnitts auffasst, ergibt sich die x = y = ) cos( ) ( t t ) sin( ) ( t t Parameterdarstellung , . Durchläuft der Parameter t das Intervall [ ]
π π ; − bildet diese Funktion einen ganzen Kreis (wobei die Kreisfunktionen im Bogenmaß berechnet werden müssen).
Für den Kreisumfang folgt mit Hilfe von Gleichung (f.3) also: π
B ∫ 2 2 + = ) ( ' ) ( ' t y t x π −
=
=
Auch hier ist das Ergebnis der erwartete Wert.
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Zum Abschluss soll das Vorgehen bei der Berechnung der Bogenlänge noch einmal an einem etwas aufwendigeren Beispiel aufgezeigt werden. Gegeben sei eine Wurfparabel, also die Bahn eines mit der Geschwindigkeit v schräg abgeworfenen Körpers, der einer Gravitation g unterliegt (siehe Abb. 9). Es soll untersucht werden, bei welchem Abwurfwinkel α die vom Körper zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge der Wurfparabel zwischen ihren zwei Nullstellen, maximal ist und ob dieser Winkel von v oder g abhängt.
Um eine Funktion, die diese Bewegung beschreibt, zu erhalten, wird die Geschwindigkeit ⋅ = v ) cos(α v x v, mit der der Körper abgeworfen wurde, in die zwei Komponenten und
⋅ = v ) sin(α v y zerlegt. Für die in x- bzw. y- Richtung zurückgelegte Strecke zum
Zeitpunkt t gilt dann:
⋅ ⋅ = α t v t x ) cos( ) (
( t y
Der Winkel α wird dabei im Bogenmaß gemessen und es gilt:
π
≥
t
y
Für die weiteren Berechnungen ist es allerdings vorteilhaft, diese Parameterdarstellung zu einer Funktion umzuformen, die die direkte Beziehung von x und y angibt. Dazu löst man ) (t x nach t auf und setzt dies in die Gleichung ) (t y ein:
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Um die Bogenlänge der Funktion mit Hilfe von (f.1) berechnen zu können, werden zunächst die zu verwendenden Intervallgrenzen benötigt. Es müssen also die Nullstellen der Funktion berechnet werden:
⋅ α
⇒ x
1 = ⇒ x
' x f ) ( Als nächstes braucht man :
Dies kann nun in die Formel für die Bogenlänge eingesetzt werden:
B
An dieser Stelle offenbart sich das größte Problem bei der Berechnung der Bogenlänge, nämlich das Finden einer Stammfunktion zur algebraischen Berechnung des Integrals. Der ( ) 2 Ausdruck führt dazu, dass diese nur selten sofort ersichtlich ist, sondern meist + ) ( ' 1 x f
durch aufwendige Umformungen hergeleitet werden muss. In unserem Fall ist es hier sinnvoll, die gesuchte Stammfunktion vom Computer berechnen zu lassen. Dieser gibt an:
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) (
=
x F
) (
( )
+
Kein besonders handlicher Ausdruck. Wenn man die Intervallgrenzen einsetzt, erhält man einen einfacheren Ausdruck:
[ ] (
=
) (
F x F
1
[ ]
( )
=
[ ]
=
Beim Einsetzen der zweiten Grenze
löst sich die Wurzel ebenfalls auf. Aus Platzgründen wird dies vorweg gezeigt:
2 ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ α α α 2 2 2 4 x g v x g v ) cos( ) sin( 2 ) ( cos
2 2
α α α α α ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = 2 2 4 2 2 4 2 4 ) ( cos ) ( sin 4 ) ( cos ) ( sin 4 ) ( cos v v v
α ⋅ = v 2 ) cos(
[ ]
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Jetzt kann schließlich die Bogenlänge berechnet werden: x 2 = ∫ 2 − = + ) ( ) ( ) ( ' 1 x F x F dx x f B
1 2
x 1
[ ]
=
( )
=
) (
=
=
=
Die endgültige Formel für die Bogenlänge lautet also:
B
Nun lässt sich untersuchen, wie sich die Bogenlänge der Wurfbahn in Abhängigkeit von α = B B ) (α verändert. Definiert man eine Funktion , bemerkt man sofort, dass v und g für
diese Funktion nur als Streckungs- bzw. Stauchungsfaktoren auftreten und ihr Maximum α daher nicht verschieben. Jede Wurfparabel wird also bei dem einheitlichen Winkel max
ihre maximale Bogenlänge haben. Diesen Winkel wollen wir nun versuchen zu berechnen. Nach den obigen Überlegungen müssen wir dafür das Maximum der folgenden Funktion suchen:
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Dafür muss gesetzt werden. Um abgeleiten zu können, benötigt man folgende Ableitung:
Unter Verwendung der Ketten- sowie der Produktregel folgt:
f
cos( = α 0 ) Dies setzen wir gleich Null, um einen Extrempunkt zu finden. Für würde ' α α = sein. In diesem Punkt, welcher gleichzeitig die π ) ( f Null werden. Dafür muss
2
rechte Intervallgrenze ist, ist die Funktion allerdings aufgrund von
nicht definiert.
Für diesen Fall muss die Bogenlänge der Funktion daher gesondert berechnet werden. ) (α f Dazu erinnern wir uns daran zurück, dass die Funktion einen schrägen Wurf für den = = α = handelt es sich dabei um einen π 1 v 1 g speziellen Fall und beschreibt. Bei
2
senkrechten Wurf nach oben und die Länge der dabei zurückgelegten Strecke entspricht der = 2 2 . In unserem Fall hat h ⋅ v doppelten Steighöhe des Körpers. Diese berechnet sich durch
g π ) ( ' 2 f die Bahn des Körpers also die Länge 1 und dies ist damit der Funktionswert von .
Allerdings ist dies nicht das Maximum der Funktion im gegebenen Intervall, wie im folgenden Absatz gezeigt wird.
Der zweite Extrempunkt liegt vor wenn gilt:
α sin(
α , der diese Bedingung erfüllt, kann allerdings nicht algebraisch, sondern nur Der Wert max
numerisch bestimmt werden. Daher kann man auch nicht durch die hinreichende > α 0 ) ( ' ' f Bedingung beweisen, dass es ein Maximum ist. Man kann es sich aber
anschaulich machen, indem man die Funktionswerte an den Intervallgrenzen der Funktion sowie an einem Punkt dazwischen betrachtet.
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Die Funktionswerte an den Grenzen sind und . Bei ist ( ≈ α 2 , 1 ) f . Der Verlauf der Kurve ist damit schon festgelegt, da im gegebenen Intervall kein weiterer Extrempunkt existiert und die Funktion stetig ist: Die Kurve beginnt im α Ursprung, steigt dann bis zu einem Maximum, welches bei liegt, und fällt
max π ) 1 , ( 2 P anschließend wieder bis zum Punkt . Die Kurve ist in Abbildung 10 skizziert.
y
π 6 , 0
π 4 , 0
π 2 , 0
0
Jede Wurfparabel hat ihre maximale Bogenlänge folglich bei dem Abwurfwinkel α , der die Bedingung erfüllt:
α sin(
= α 9855 . 0 Auf vier Nachkommastellen gerundet ist dies bei etwa der Fall, wie man auch
in Abbildung 10 ungefähr erkennen kann. Interessanterweise unterscheidet sich dieser Wert von dem Winkel, bei dem die Wurfweite, d.h. der Abstand auf der x-Achse zwischen den π beiden Nullstellen, maximal ist (hierfür muss der Abwurfwinkel nämlich 4 betragen).
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Im nachhinein betrachtet ist die Herleitung der Formeln für die Bogenlänge nicht sonderlich kompliziert, wenn man mit der Integral- und Differentialrechnung einigermaßen vertraut ist. Schließlich funktioniert sie in den verschiedenen Darstellungssystemen jeweils nach dem gleichen Prinzip (Zerlegung der Kurve, Berechung der Teilstrecken über Pythagoras und anschließende Grenzwertbildung). Wie sich am letzten Beispiel und auch schon an der Berechnung der Bogenlänge des Einheitskreises in Abschnitt 2.2 gezeigt hat, ist vielmehr die tatsächliche Berechnung der entstehenden Integrale in der Regel ein aufwendiger Vorgang. Oft treten auch Fälle auf, in denen keine elementare Stammfunktion zur Auflösung der Integrale existiert. Dies bedeutet natürlich nicht, dass die Bogenlänge nicht berechnet werden kann. Jedoch muss man dann auf geeignete numerische Integrationsverfahren zurückgreifen.
Für mich war es durchaus interessant, mich mit diesem Thema zu beschäftigen. Zum Einen, weil ich mir gut vorstellen kann, die erlangten Kenntnisse auch praktisch anwenden zu werden, zum anderen, weil ich bei der Bearbeitung dieses Themas gelernt habe, mit der Polarkoordinaten- und der Parameterdarstellung zu arbeiten.
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Helmut Sieber, Leopold Huber, Mathematische Begriffe und Formel, Ernst Klett - SchulbuchverlagStuttgart · Düsseldorf · Berlin · Leipzig, 1/2001 K. Winfried, Einführung in die Analysis I, Spektrum Akademischer Verlag - Heidelberg· Berlin, 1/2000
W. Kroll, J. Vaopel, Grund- und Leistungskurs Analysis Lehr- und - Arbeitsbuch, DümmlerbuchBonn, 1986
Es wurden Quellen von folgenden Internetadressen verwendet:
http://www.mathematik-online.de/F55.htm - http://www.cti.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_6/node154.htm - http://007-001-908-d.de/hausaufgaben/mathe/mk0004.zip - Fürdas Zeichnen der Funktionsgraphen und zur Hilfe bei den Berechnungen wurde Derive 5.5 verwendet.
- Arbeit zitieren
- Andree Große (Autor:in), 2002, Bogenlänge, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/107210