Differentialgleichungen

I n h a l t s v e r z e i c h n i s

1. Einleitung

2. Begriffsdefinition „Differentialgleichungen“
2.1 Unterschiedliche „Lösungen“ einer Differentialgleichung
2.2 Einteilung von Differentialgleichungen

3. Lösungsverfahren von linearen Differentialgleichungen
3.1 Exakte Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 1.Ordnung
3.1.1 Lösen durch direktes Integrieren
3.1.2 Lösen durch Seperation (Trennen der Variablen)
3.2 Numerische Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 1.Ordnung
3.2.1 Das Richtungsfeld
3.2.2 Das Euler-Cauchy- oder Polygonzugverfahren
3.2.3 Einschub
3.2.4 Mathematische Weiterführung der numerischen Verfahren
3.3 Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 2.Ordnung

4. Praktische Anwendungen aus dem Naturwissenschaften
4.1 Schwingungsvorgänge
4.2 Wachstumsprozesse
4.2.1 Unbeschränktes und logistisches Wachstum
4.2.2 Beschränktes und logistisches Wachstum

5. Schlussteil

6. Quellenangaben

1. Einleitung

In dieser Facharbeit werde ich mich mit dem Thema „Differentialgleichungen“ beschäftigen. Hierbei werde ich auf Berechnungs-, sowie Näherungsmethoden eingehen, die zur Lösung einer Differentialgleichung führen. Des Weiteren werde ich deren praktischen Nutzen mit Anwendungen aus den Naturwissenschaften aufzeigen.

„Differentialgleichungen gehören zu unseren mächtigsten Mitteln, Natur- und Kunstvorgänge zu beschreiben und zu beherrschen.“⁽¹⁾

Differentialgleichungen ermöglichen es, Vorgänge kontinuierlich darzustellen.

So konnten Abnahme- oder Wachstumsprozesse, bzw. Schwingungen (z.B. Pendel), sonst nur mit Hilfe von Folgen diskret gelöst werden. Da solche Vorgänge dauerhaft und nicht nur zu bestimmten Zeitpunkten ablaufen, benötigt man eine Methode um den Prozess vollständig darzustellen. Bei kontinuierlichen Lösungsansätzen werden die Differentialgleichungen bevorzugt verwendet, welche ich im Folgendem erläutern werde. Dabei werde ich zuerst die Begriffsdefinition und die verschiedenen Typen der Differentialgleichungen einführen. Nach der Typdefinition werden unterschiedliche Darstellungsweisen und Einordnungsmöglichkeiten aufgeführt. Danach werde ich diese auf einige Beispiele übertragen. Ich werde verschiedene Lösungsverfahren von Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung aufzeigen und erläutern. Auf die Methoden Näherungsverfahren, direkte Integration und Seperation werde ich verstärkt eingehen.

Abschließend werde ich die Differentialgleichungen auf den naturwissenschaftlichen Bereich übertragen und deren Anwendungen anhand des Bevölkerungswachstums und der Pendelschwingung aufzeigen.

Durch diesen Aufbau soll verdeutlicht werden, wie sich Lösungen von Differential-gleichungen bestimmen lassen. Um dies zu erreichen, müssen die Entwicklungen zu allgemeinen Formeln, die zum Lösen von Differentialgleichungen 1. bzw. 2. Ordnung erforderlich sind, veranschaulicht werden.

2. Begriffsdefinition „Differentialgleichungen“

Eine Gleichung, in der wenigstens eine Ableitung einer unbekannten Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bis zur n -ten Ordnung auftritt, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.

Einfache Typen der Differentialgleichungen sind bereits aus der Integralrechnung bekannt. Bei diesen Typen waren beispielsweise zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten];

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die jeweiligen Stammfunktionen zu bestimmen. Für die obigen Beispiele ergeben sich folgende Lösungen:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Etwas kompliziertere Typen von Differentialgleichungen enthalten auf der rechten Seite nochmals die gesuchte Funktion, z.B. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Diese Art von Funktionen sieht auf den ersten Blick völlig neuartig aus. Im Folgenden werde ich versuchen aufzuzeigen, wie man derartige Gleichungen mit bereits bekannten Mitteln aus der Analysis lösen kann.

Folgende Gleichungen sind Differentialgleichungen. Es wird jeweils die Funktion f gesucht, deren Ableitung die Differentialgleichung identisch erfüllt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1 Unterschiedliche „Lösungen“ einer Differentialgleichung

Eine Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]heißt Lösung einer Differentialgleichung, wenn sie mit ihrer Ableitung die Differentialgleichung identisch erfüllt.

Wir unterscheiden zwischen drei verschiedenen Arten einer Lösung:

1. Die allgemeine Lösung enthält n voneinander unabhängige Parameter oder Integrationskonstanten.
2. Die spezielle oder partikuläre Lösung erhält man aus einer allgemeinen Lösung, indem man den n Parametern aufgrund von Anfangs-bedingungen feste Werte zuweist.
3. Die singuläre Lösung ist eine Lösung der Differentialgleichung, die sich nicht aus der allgemeinen Lösung gewinnen lässt.

2.2 Einteilung von Differentialgleichungen

Primär ordnet man Differentialgleichungen anhand ihrer Ordnung.

Unter der Ordnung einer Differentialgleichung versteht man die Ordnung nach der höchsten auftretenden Ableitung der unbekannten Funktion in der Differential-gleichung.⁽²⁾ So ist beispielsweise [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]eine Differentialgleichung 3.Ordnung und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine Differentialgleichung 1.Ordnung.

Neben der Ordnung kann man Differentialgleichungen nach ihrer Linearität beurteilen.

Werden alle Teile der Gleichung, die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]beinhalten, auf eine Seite gebracht und die Konstanten auf die Andere und die enthaltenen Ausdrücke [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nur in erster Potenz vorkommen, d.h.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so sprechen wir von einer linearen Differential-gleichung. Eine Differentialgleichung 1.Ordnung ist linear, wenn sie in der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]vorliegt. Eine Differentialgleichung 2.Ordnung ist linear, wenn sie in der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]vorliegt (wobei S die Inhomogenität ist).

Anhand der Inhomogenität kann man lineare Differentialgleichungen in homogen und inhomogen einteilen. Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn ihre Inhomo-genität identisch 0 ist. Andernfalls wird sie als inhomogen bezeichnet.

Beispiele für die Einteilung von Differentialgleichungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Differentialgleichung c) ist nicht linear, da die Funktion f(x) auf der rechten Seite den Exponenten –1 besitzt. Deshalb kann c) auch nicht auf Homogenität untersucht werden.

Des Weiteren können Differentialgleichung auch in implizite und explizite Differential-gleichungen eingeteilt werden. Differentialgleichungen, die nach der höchsten vorkom-menden Ableitung auflösbar sind, heißen explizite Differentialgleichungen. Sollten sie diese Bedingung nicht erfüllen, so heißen sie implizite Differentialgleichungen.

3. Lösungsverfahren von linearen Differentialgleichungen

Man kann die unterschiedlichen Lösungsverfahren im Wesentlichen in zwei Gruppen zusammenfassen. Zum Einen gibt es die numerischen Lösungsverfahren, mit welchen man die gesuchte Gleichung durch Näherungen erhält und zum Anderen gibt es die exakten Lösungsverfahren, die durch diverse Integrationsmethoden die unbekannte Gleichung liefern.

3.1 Exakte Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 1.Ordnung

Es gibt kein allgemeines exaktes Lösungsverfahren für Differentialgleichungen 1.Ordnung, sondern nur einzelne Lösungsverfahren, die sich für spezielle Typen von Differentialgleichungen eignen.

3.1.1 Lösen durch direktes Integrieren

Einfache Differentialgleichungen wie z.B. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , c[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] lassen sich durch direktes Integrieren lösen. Aus dem Beispiel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man jetzt die Funktionenschar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], c[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Daraus folgt, dass die Funktionenschar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die allgemeine Lösung der Differentialgleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Da sich die Methode des direkten Integrierens nur bei Differentialgleichungen 1.Ordnung der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] anwenden lässt, benötigt man weitere Verfahren, die es uns erlauben, eine Lösung für andere Differentialgleichungen zu finden.

Eine mögliche Methode wäre die Seperation.

3.1.2 Lösen durch Seperation (Trennen der Variablen)

Dieser Lösungsweg bedingt, dass eine explitite Differentialgleichung 1.Ordnung trennbare Variablen besitzt. Die allgemeine Form für Differentialgleichungen mit⁽³⁾

trennbaren Variablen lautet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Das Charakteristika dieses Gleichungstyps ist, „(...) dass sich eine der Seiten ihrer Gleichung (hier die rechte) als Quotient zweier Funktionen schreiben lässt, wobei die Zählerfunktion nur die unabhängige Variable und die Nennerfunktion nur die abhängige Variable enthält – oder umgekehrt.“(4) Beispiele für diese Art von Differential-gleichungen sind [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Methode des Trennens der Variablen ist in drei aufeinander folgenden Schritten ausführbar. Diese drei Schritte werde ich nun verdeutlichen.

[...]

⁽¹⁾ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Einführung in Lehre und Gebrauch, B.G.

Teubner, Stuttgart, 1989, S.17

⁽²⁾ vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.214 ff

⁽³⁾, (4) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.219 ff