Näherungsweise Berechnung von Nullstellen mit dem Iterationsverfahren von Newton (Newton Verfahren)

Inhaltsverzeichnis

1. Herleitung der Iterationsvorschrift über die Tangentengleichung

2. Beschreibung des Newton Verfahrens

3. Hinweise auf das Newton Verfahren

4. Beispiele

5. Handout

6. Literaturverzeichnis

1. Herleitung

Die Lösung einer Gleichung f (x) = 0 gehört zu den wichtigsten mathematischen Aufgaben. Doch dies ist nicht ohne weiteres möglich, z.B. bei Polynomen höheren Grades. Um auch bei solchen Gleichungen die Lösungen (Nullstellen) zu erhalten, brauchen wir ein Näherungsverfahren.

- Halbierungsverfahren (Bisektion)
- Regula Falsi

Eine weitere mögliche Methode entwickelte Isaac Newton, dass

Newtonsche Näherungsverfahren.

Der Grundgedanke dabei ist, dass der Schnittpunkt einer Kurventangente mit der x-Achse eines beliebigen Startpunktes der gesuchten Nullstelle einen genaueren Näherungswert liefert als der Startwert.

Wiederholt man unter Anwendung einer bestimmten Rechenvorschrift diesen Vorgang, so erhält man unter bestimmten Voraussetzungen einen Wert der gegen die gesuchte Lösung konvergiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ist x0 ein geeigneter Startwert für die Nullstellenberechnung der Funktion y = f(x), so ersetzt man den Funktionsgraph y = f(x) durch die im Kurvenpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erstellte Tangente, mit der Funktionsgleichung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.Beschreibung des Newton Verfahrens

Durch auflösen der Gleichung nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhält man den neuen (genaueren) Schnittpunkt mit der X-Achse.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten y = 0 (Schnittpunkt mit X-Achse)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es muss unbedingt vorausgesetzt sein, dass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Den so neu ermittelten Schnittpunkt mit der X-Achse betrachten wir nun als neuen Startwert für die Berechnung der Nullstelle der Kurventangente im PunktAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Mit diesem neuen Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird nun die 2. Näherung für die gesuchte Nullstelle ermittelt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun wird Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als neuer Startwert betrachtet und das oben beschriebene Verfahren solange wiederholt, bis nach n-Schritten die n-te Näherung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erreicht ist. Die allgemeine Iterationsvorschrift für diesen Vorgang lautet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.Hinweise auf das Newton Verfahren

Um beim Newton Verfahren möglichst schnell zum Erfolg zu kommen, müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein.

- Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und mindestens zweimal differenzierbar sein.
- Die erste Ableitung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Desto näher der erste Startwert an der gesuchten Nullstelle liegt, desto schneller führt in der Regel das Newtonsche Tangentenverfahren zum Erfolg. Geeignete Startwerte können durch verschiedene Methoden ermittelt werden.
- In dem man den Funktionsgraphen zeichnet und daraus die ungefähre Position der Nullstelle ermittelt.
- Eine Funktion f(x) hat nach dem Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle in dem Intervall [A;B], wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Dagegen als völlig ungeeignet sind Startwerte, in deren Umgebung Wendestellen oder Extremstellen vorhanden sind. Da die Kurventangente in Ihrer Nähe nahezu parallel zur x-Achse verläuft. Durch die nur wenig von Null verschiedene Steigung, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse in weiter Entfernung zum Startwert zu erwarten. Es kann zu einem Versagen des Newton Verfahrens kommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren x-Wert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Startwert sollte so nah wie möglich an der gesuchten Nullstelle liegen, um ein Versagen des Verfahrens zu verhindern.

Startwert x0 = -0,5

Die Konvergenzbedingung ist mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erfüllt.

Der Startwert wird nun in die Iterationsvorschrift Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eingesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach 6 Iterationsschritten steht das Ergebnis fest.

x = 0,45339765

Beispiel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie aus dem Graphen ersichtlich liegt die gesuchte Nullstelle ca. bei x = 2,5

Der Start wert wird nun in die Iterationsvorschrift Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eingesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ergebnis: x = 2,67794504

Die gesuchte Nullstelle ist bereits nach der dritten Näherung bis auf die achte Stelle hinterm Komma genau.

Schlechtes Beispiel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nullstelle x = 0,37003948

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= 1,5 in Näherungsformel einsetzen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Überprüfung mit der Konvergenzbedingung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten f(1,5) = 1,5 f´(1,5) = 3 f´´(1,5) = -12

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Konvergenzbedingung ist nicht erfüllt, Startwert ist ungeeignet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man dagegen den Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= 0,5 in die Formel der Konvergenzbedingung ein, so erhält man

f(0,5) = 0,5 f´(0,5) = 3 f´´(0,5) = -12

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Konvergenzbedingung ist für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= 0,5 erfüllt. Startwert ist geeignet.

Beispiel

Die Funktion f(x)=x³-2x-5 soll mit Hilfe des Newton Verfahren gelöst werden.

Suche nach geeignetem Startwert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch den Nullstellensatz wissen wir dass im Intervall [2; 3] eine Nullstelle liegen muss.

Ersten Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in die Newtonsche Iterationsvorschrift einsetzen.

Die Konvergenzbedingung ist mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erfüllt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bereits nach dem vierten Iterationsschritt steht die Nullstelle bis auf die achte Stelle hinter dem Komma fest. Würde der erste Startwert x=10 lauten bräuchte man 8 Iterationsschritte um auf die gleiche Genauigkeit zu kommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um auch ohne Zeichnung festzustellen, ob noch andere Nullstellen vorhanden sind, trennen wir x - 2,09455148 mit Hilfe der Polynomdivision ab.

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Die neue Funktion lautet x² + 2,09455148x + 2,3871459

Keine weitere Nullstelle vorhanden, da diese Funktion nie null werden kann.

Das Newtonsche Tangentenverfahren

(Newton Verfahren)

Beim Newtonschen Tangentenverfahren geht man von der Überlegung aus, dass die im Kurvenpunkt P0 (y0 /x0) errichtete Kurventangente, einen Schnittpunkt mit der x-Achse besitzt, der im allgemeinen eine bessere Näherung für die gesuchte Nullstelle hat als der Startwert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Umstellung der Tangentengleichung nach x erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die errechneten Näherungswerte werden dann als Startwerte verwendet, bis das Verfahren nach n-Schritten zur n-ten Näherung xn führt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Iterationsvorschrift von Newton

Hinweise auf das Newton Verfahren

- Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren x-Wert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und mindestens zweimal differenzierbar sein.
- Die erste Ableitung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Das Newtonsche Tangentenverfahren führt in der Regel umso schneller zum Erfolg, je genauer die Startwerte sind. Geeignete Startwerte können durch den Nullstellensatz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

oder durch Zeichnen des Funktionsgraphen ermittelt werden.

- Dagegen ungeeignet, sind Startwerte in deren Umgebung Wendestellen oder Extremstellen vorhanden sind.

6.Literaturverzeichnis

Verwendete Fachbücher

- „Einführung in die Höhere Mathematik“ von Karl Strubecker Oldenbourg Verlag
- „Mathematik 12 Analysis“ von H. Schneider und G. Stein Winklers Verlag
- „Mathematik für Ingenieure“ von Lothar Papula Vieweg Verlag
- „Mathematisch Formeln und Definitionen“ Bayerischer Schulbuch-Verlag

Verwendete Internetseiten

- http://www.hausarbeiten.de/rd/faecher/hausarbeit/mat/4058.html
- http://sites.inka.de/picasso/Dueser/page.htm
- http://www.mbfosbos.odn.de/fachbereiche/mathe/daten/referate/ref_newton.pdf