Stecken Sie fest bei der Suche nach Nullstellen komplexer Gleichungen? Dieses Buch enthüllt die Eleganz und Effizienz des Newton-Verfahrens, einer fundamentalen Technik zur numerischen Annäherung von Lösungen, die mit herkömmlichen Methoden unerreichbar sind. Von der grundlegenden Herleitung der Iterationsvorschrift über die Tangentengleichung bis hin zur detaillierten Beschreibung des Algorithmus führt Sie diese umfassende Darstellung Schritt für Schritt durch die Materie. Entdecken Sie die subtilen Hinweise und potenziellen Fallstricke, die bei der Anwendung des Newton-Verfahrens zu beachten sind, und lernen Sie, wie Sie geeignete Startwerte auswählen, um die Konvergenz zu beschleunigen und Fehlversuche zu vermeiden. Anhand zahlreicher, detaillierter Beispiele wird die praktische Anwendung des Verfahrens illustriert, wobei sowohl erfolgreiche als auch problematische Szenarien analysiert werden, um ein tiefes Verständnis für die Stärken und Grenzen des Newton-Verfahrens zu entwickeln. Dieses Buch ist ideal für Studierende, Ingenieure und Wissenschaftler, die ein zuverlässiges Werkzeug zur Lösung nichtlinearer Gleichungen suchen. Es bietet nicht nur eine klare und präzise Darstellung der Theorie, sondern auch praktische Anleitungen zur Implementierung und Anwendung des Verfahrens in realen Problemen. Erweitern Sie Ihr mathematisches Instrumentarium und meistern Sie die Kunst der numerischen Nullstellenbestimmung mit diesem unverzichtbaren Leitfaden zum Newton-Verfahren. Tauchen Sie ein in die Welt der numerischen Mathematik und entdecken Sie, wie Sie mit dem Newton-Verfahren selbst die komplexesten Gleichungen knacken können. Lassen Sie sich von der Präzision und Effizienz dieses Verfahrens überzeugen und nutzen Sie es, um Ihre eigenen mathematischen Herausforderungen zu meistern. Egal, ob Sie ein erfahrener Mathematiker oder ein neugieriger Einsteiger sind, dieses Buch bietet Ihnen das Wissen und die Werkzeuge, die Sie benötigen, um das Newton-Verfahren erfolgreich anzuwenden und Ihr Verständnis der numerischen Mathematik zu vertiefen.
Inhaltsverzeichnis
1. Herleitung der Iterationsvorschrift über die Tangentengleichung
2. Beschreibung des Newton Verfahrens
3. Hinweise auf das Newton Verfahren
4. Beispiele
5. Handout
6. Literaturverzeichnis
1. Herleitung
Die Lösung einer Gleichung f (x) = 0 gehört zu den wichtigsten mathematischen Aufgaben. Doch dies ist nicht ohne weiteres möglich, z.B. bei Polynomen höheren Grades. Um auch bei solchen Gleichungen die Lösungen (Nullstellen) zu erhalten, brauchen wir ein Näherungsverfahren.
- Halbierungsverfahren (Bisektion)
- Regula Falsi
Eine weitere mögliche Methode entwickelte Isaac Newton, dass
Newtonsche Näherungsverfahren.
Der Grundgedanke dabei ist, dass der Schnittpunkt einer Kurventangente mit der x-Achse eines beliebigen Startpunktes der gesuchten Nullstelle einen genaueren Näherungswert liefert als der Startwert.
Wiederholt man unter Anwendung einer bestimmten Rechenvorschrift diesen Vorgang, so erhält man unter bestimmten Voraussetzungen einen Wert der gegen die gesuchte Lösung konvergiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ist x0 ein geeigneter Startwert für die Nullstellenberechnung der Funktion y = f(x), so ersetzt man den Funktionsgraph y = f(x) durch die im Kurvenpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erstellte Tangente, mit der Funktionsgleichung.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.Beschreibung des Newton Verfahrens
Durch auflösen der Gleichung nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhält man den neuen (genaueren) Schnittpunkt mit der X-Achse.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten y = 0 (Schnittpunkt mit X-Achse)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es muss unbedingt vorausgesetzt sein, dass
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Den so neu ermittelten Schnittpunkt mit der X-Achse betrachten wir nun als neuen Startwert für die Berechnung der Nullstelle der Kurventangente im PunktAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Mit diesem neuen Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird nun die 2. Näherung für die gesuchte Nullstelle ermittelt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun wird Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als neuer Startwert betrachtet und das oben beschriebene Verfahren solange wiederholt, bis nach n-Schritten die n-te Näherung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erreicht ist. Die allgemeine Iterationsvorschrift für diesen Vorgang lautet
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.Hinweise auf das Newton Verfahren
Um beim Newton Verfahren möglichst schnell zum Erfolg zu kommen, müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein.
- Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und mindestens zweimal differenzierbar sein.
- Die erste Ableitung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Desto näher der erste Startwert an der gesuchten Nullstelle liegt, desto schneller führt in der Regel das Newtonsche Tangentenverfahren zum Erfolg. Geeignete Startwerte können durch verschiedene Methoden ermittelt werden.
- In dem man den Funktionsgraphen zeichnet und daraus die ungefähre Position der Nullstelle ermittelt.
- Eine Funktion f(x) hat nach dem Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle in dem Intervall [A;B], wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Dagegen als völlig ungeeignet sind Startwerte, in deren Umgebung Wendestellen oder Extremstellen vorhanden sind. Da die Kurventangente in Ihrer Nähe nahezu parallel zur x-Achse verläuft. Durch die nur wenig von Null verschiedene Steigung, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse in weiter Entfernung zum Startwert zu erwarten. Es kann zu einem Versagen des Newton Verfahrens kommen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren x-Wert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Beispiel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Startwert sollte so nah wie möglich an der gesuchten Nullstelle liegen, um ein Versagen des Verfahrens zu verhindern.
Startwert x0 = -0,5
Die Konvergenzbedingung ist mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erfüllt.
Der Startwert wird nun in die Iterationsvorschrift Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eingesetzt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nach 6 Iterationsschritten steht das Ergebnis fest.
x = 0,45339765
Beispiel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wie aus dem Graphen ersichtlich liegt die gesuchte Nullstelle ca. bei x = 2,5
Der Start wert wird nun in die Iterationsvorschrift Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eingesetzt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ergebnis: x = 2,67794504
Die gesuchte Nullstelle ist bereits nach der dritten Näherung bis auf die achte Stelle hinterm Komma genau.
Schlechtes Beispiel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nullstelle x = 0,37003948
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= 1,5 in Näherungsformel einsetzen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Überprüfung mit der Konvergenzbedingung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten f(1,5) = 1,5 f´(1,5) = 3 f´´(1,5) = -12
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Konvergenzbedingung ist nicht erfüllt, Startwert ist ungeeignet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Setzt man dagegen den Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= 0,5 in die Formel der Konvergenzbedingung ein, so erhält man
f(0,5) = 0,5 f´(0,5) = 3 f´´(0,5) = -12
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Konvergenzbedingung ist für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= 0,5 erfüllt. Startwert ist geeignet.
Beispiel
Die Funktion f(x)=x³-2x-5 soll mit Hilfe des Newton Verfahren gelöst werden.
Suche nach geeignetem Startwert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch den Nullstellensatz wissen wir dass im Intervall [2; 3] eine Nullstelle liegen muss.
Ersten Startwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in die Newtonsche Iterationsvorschrift einsetzen.
Die Konvergenzbedingung ist mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erfüllt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bereits nach dem vierten Iterationsschritt steht die Nullstelle bis auf die achte Stelle hinter dem Komma fest. Würde der erste Startwert x=10 lauten bräuchte man 8 Iterationsschritte um auf die gleiche Genauigkeit zu kommen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um auch ohne Zeichnung festzustellen, ob noch andere Nullstellen vorhanden sind, trennen wir x - 2,09455148 mit Hilfe der Polynomdivision ab.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die neue Funktion lautet x² + 2,09455148x + 2,3871459
Keine weitere Nullstelle vorhanden, da diese Funktion nie null werden kann.
Das Newtonsche Tangentenverfahren
(Newton Verfahren)
Beim Newtonschen Tangentenverfahren geht man von der Überlegung aus, dass die im Kurvenpunkt P0 (y0 /x0) errichtete Kurventangente, einen Schnittpunkt mit der x-Achse besitzt, der im allgemeinen eine bessere Näherung für die gesuchte Nullstelle hat als der Startwert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch Umstellung der Tangentengleichung nach x erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die errechneten Näherungswerte werden dann als Startwerte verwendet, bis das Verfahren nach n-Schritten zur n-ten Näherung xn führt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Iterationsvorschrift von Newton
Hinweise auf das Newton Verfahren
- Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren x-Wert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und mindestens zweimal differenzierbar sein.
- Die erste Ableitung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Das Newtonsche Tangentenverfahren führt in der Regel umso schneller zum Erfolg, je genauer die Startwerte sind. Geeignete Startwerte können durch den Nullstellensatz
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
oder durch Zeichnen des Funktionsgraphen ermittelt werden.
- Dagegen ungeeignet, sind Startwerte in deren Umgebung Wendestellen oder Extremstellen vorhanden sind.
6.Literaturverzeichnis
Verwendete Fachbücher
- „Einführung in die Höhere Mathematik“ von Karl Strubecker Oldenbourg Verlag
- „Mathematik 12 Analysis“ von H. Schneider und G. Stein Winklers Verlag
- „Mathematik für Ingenieure“ von Lothar Papula Vieweg Verlag
- „Mathematisch Formeln und Definitionen“ Bayerischer Schulbuch-Verlag
Verwendete Internetseiten
- http://www.hausarbeiten.de/rd/faecher/hausarbeit/mat/4058.html
- http://sites.inka.de/picasso/Dueser/page.htm
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Newton-Verfahren?
Das Newton-Verfahren (auch Newtonsche Näherungsverfahren oder Newtonsche Tangentenverfahren genannt) ist ein iteratives Verfahren zur approximativen Bestimmung von Nullstellen einer Funktion.
Wie wird die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens hergeleitet?
Die Iterationsvorschrift wird über die Tangentengleichung hergeleitet. Der Schnittpunkt der Tangente an den Funktionsgraphen in einem Startpunkt mit der x-Achse liefert eine bessere Näherung für die Nullstelle als der Startwert selbst.
Wie lautet die allgemeine Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens?
Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet: xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn), wobei f'(xn) die Ableitung der Funktion an der Stelle xn ist.
Welche Voraussetzungen müssen für das Newton-Verfahren erfüllt sein?
Die Funktion y = f(x) muss im Intervall der gesuchten Nullstelle stetig und mindestens zweimal differenzierbar sein. Die erste Ableitung f'(x) darf nicht Null sein.
Was ist ein geeigneter Startwert für das Newton-Verfahren?
Ein geeigneter Startwert liegt idealerweise in der Nähe der gesuchten Nullstelle. Er kann z.B. durch Zeichnen des Funktionsgraphen oder mithilfe des Nullstellensatzes ermittelt werden.
Was sind ungeeignete Startwerte für das Newton-Verfahren?
Ungeeignete Startwerte sind solche, in deren Umgebung Wendestellen oder Extremstellen vorhanden sind, da die Tangente in diesen Bereichen nahezu parallel zur x-Achse verlaufen kann und das Verfahren möglicherweise versagt.
Was ist die Konvergenzbedingung beim Newton-Verfahren?
Die hinreichende Konvergenzbedingung stellt sicher, dass sich die Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern. Eine explizite Formel für diese Bedingung wird im Text genannt, basierend auf den ersten und zweiten Ableitungen der Funktion.
Was sind Beispiele für die Anwendung des Newton-Verfahrens?
Der Text liefert mehrere Beispiele, darunter die Funktionen f(x) = x² - 0,25 und f(x) = x³ - 8. Diese Beispiele demonstrieren, wie man das Verfahren anwendet und wie die Wahl des Startwerts die Konvergenz beeinflusst.
Was ist der Nullstellensatz und wie hilft er bei der Wahl des Startwertes?
Der Nullstellensatz besagt, dass eine stetige Funktion f(x) mindestens eine Nullstelle im Intervall [A;B] hat, wenn f(A) und f(B) unterschiedliche Vorzeichen haben (f(A) * f(B) < 0). Dies hilft, einen Bereich einzugrenzen, in dem eine Nullstelle existiert, und somit einen geeigneten Startwert zu finden.
Wo finde ich weitere Informationen zum Newton-Verfahren?
Der Text verweist auf ein Literaturverzeichnis mit Fachbüchern und Internetseiten, die weitere Informationen zum Newton-Verfahren bereitstellen.
- Quote paper
- Manfred Böhm (Author), 2003, Näherungsweise Berechnung von Nullstellen mit dem Iterationsverfahren von Newton (Newton Verfahren), Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/107790
