Bei der Analyse der verschiedensten Finanzzeitreihen (Aktien- und Wechselkursrenditen, aber auch Inflationsrate) wird häufig festgestellt, dass obwohl die eigentlichen Beobachtungen im Sinne eines ARMA-Prozesses nicht prognostizierbar sind (was die Annahme der Markteffizienz bekräftigt), sind deren Quadrate gut prognostizierbar. Anders ausgedrückt, obwohl die Beobachtungen keine signifikante Autokorrelationen aufweisen, sind diese trotzdem nicht unabhängig, und zwar wegen der Autokorrelationen in ihrer Varianz. Volatilität ist aber per se extrem wichtig in der Finanzwissenschaft und Praxis, deswegen wäre deren Vorhersage von größerer Bedeutung.
Außerdem ist häufig eine Situation vorhanden, wenn die quadrierten Residuen eines Modells autokorreliert sind. Solche stochastische Varianz der Residuen bringt mit sich eine Verzerrung der Standard-Errors, was die üblichen Signifikanztests für Parameterschätzungen für einfache (ohne Berücksichtigung solcher Volatilität) aufgebaute Regressionsmodelle unter Zweifel stellen kann. Ein früherer Versuch, diesen Tatsachen entgegenzukommen, beruht auf dem Konzept der stochastischen Volatilität aus den 70er Jahren (insb. entwickelt von Clark, Tauchen, Pits). In diesen Modellen folgte die Volatilität einem eigenen stochastischen Prozess.
Ein deutlicher Durchbruch wurde im Jahre 1982 erzielt mit dem ARCH(1) Modell von Engle: [...]
Im Laufe der zahlreichen praktischen Implementierungen hat es sich jedoch herausgestellt, dass für genügend gute Anpassung eine ziemlich hohe Ordnung q notwendig wurde. Als Antwort auf diesen Makel wurde Ende der 80er Jahren von Bollerslev ein sog. GARCH-Modell entwickelt, welches im allgemeinen Fall viel sparsamer mit Parametern umgeht. Das Modell lässt im Vergleich zum ARCH auch die Abhängigkeit der bedingten Varianz von den eigenen verzögerten Werten zu.
Inhaltsverzeichnis
GARCH (THEORETISCHER TEIL)
EINLEITUNG:
IDENTIFIKATION EINES GARCH-PROZESSES:
SCHÄTZUNG DER GARCH - PARAMETER:
PARAMETERRESTRIKTIONEN, STATIONARITÄT, UND UNBEDINGTE VARIANZ:
MODIFIKATIONEN DES GARCH-MODELLS:
ALLGEMEINE STÄRKEN UND NACHTEILE DES GARCH-ANSATZES:
GARCH (PRAKTISCHES BEISPIEL)
DATENSATZ UND PREPROCESSING
MODELL
PARAMETERSCHÄTZUNGEN:
DIE PROGNOSE UND ÖKONOMISCHE AUSWERTUNG DES MODELLS
AUSBLICK:
Zielsetzung & Themen der Arbeit
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines 1-Tages-Prognosemodells für Optionspreise auf den S&P 500 Index. Dabei wird untersucht, ob sich die im Rahmen eines GARCH-Modells vorhersagbare bedingte Varianz erfolgreich zur Prognose der implizierten Volatilität einsetzen lässt, um kurzfristige Handelsentscheidungen ökonomisch sinnvoll zu optimieren.
- Grundlagen und theoretische Einordnung von GARCH-Prozessen.
- Methoden zur Identifikation und Schätzung von GARCH-Modellen.
- Integration von GARCH-Varianzen in Prognosemodelle für implizierte Volatilität.
- Empirische Überprüfung der Modellgüte durch eine Out-of-Sample-Analyse anhand von realen Optionsmarktdaten.
Auszug aus dem Buch
ALLGEMEINE STÄRKEN UND NACHTEILE DES GARCH-ANSATZES:
GARCH kann ziemlich gut 2 wichtige Charakteristika der empirischen Verteilungen vieler Finanzzeitreihen (insb. Aktienkurse) abfangen.
Die eine ist die im Vergleich zur Normalverteilung höhere Kurtosis (d.h. E((xt -μ)^4) > 3 ), was in höheren Wahrscheinlichkeiten für weit von μ entfernte xt resultiert (sog. “fat tails” bei der Verteilungsdichte von xt ). Man kann aus der Gleichung (1) zeigen, dass obwohl die bedingte 1-Schritt Prognose xt - μt = Ut σt normalverteilt, d.h. ~ NID (0, σt^2) ist, besitzt die unbedingte Version eine nichtnormale symmetrische Verteilung mit deutlich höherer Kurtosis. Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass auch klassische GARCH-Modelle nur einen Teil der Kurtosis-Nichtnormalität der Finanzzeitreihen erklären können. Dadurch wird der Einsatz anderer Innovationsverteilungen für Ut (insb. Student-t-Verteilung) motiviert, die von vornherein höhere Kurtosis als N(0,1) aufweisen.
Die andere ist das sog. “volatility clustering”, d.h. der empirische Befund, dass auf Finanzmärkten eine kontinuierliche Abwechslung stattfindet von vergleichsweise ruhigen (im Sinne der schwachen Fluktuationen) Perioden und von etwas heftigeren Perioden. Dabei dauern diese Perioden ziemlich lange und die Übergänge sind eher allmählich, d.h. die Volatilität ist persistent. Dies ist insbesondere für Wechselkursmärkte gültig.
Zusammenfassung der Kapitel
GARCH (THEORETISCHER TEIL): Einführung in die statistische Modellierung von Volatilität durch ARCH- und GARCH-Prozesse sowie Erläuterung der zugrundeliegenden mathematischen Konzepte.
EINLEITUNG: Darstellung der Problematik autokorrelierter Residuen in Finanzzeitreihen und Einführung des ARCH-Modells als Lösungsansatz.
IDENTIFIKATION EINES GARCH-PROZESSES: Überblick über Testverfahren zur Identifikation von Heteroskedastizität und Bestimmung der Modellordnungen.
SCHÄTZUNG DER GARCH - PARAMETER: Beschreibung der Maximum-Likelihood-Schätzung zur Bestimmung der GARCH-Parameter.
PARAMETERRESTRIKTIONEN, STATIONARITÄT, UND UNBEDINGTE VARIANZ: Diskussion der notwendigen Bedingungen für Stabilität und Nicht-Negativität innerhalb des GARCH-Modells.
MODIFIKATIONEN DES GARCH-MODELLS: Vorstellung spezialisierter Varianten wie EGARCH, TARCH oder GARCH-M zur besseren Erfassung empirischer Besonderheiten.
ALLGEMEINE STÄRKEN UND NACHTEILE DES GARCH-ANSATZES: Kritische Würdigung der Fähigkeit des GARCH-Ansatzes, Fat-Tails und Volatility-Clustering abzubilden.
GARCH (PRAKTISCHES BEISPIEL): Anwendung der theoretischen Konzepte auf die Prognose von Optionspreisen für den S&P 500 Index.
DATENSATZ UND PREPROCESSING: Beschreibung der Datenbeschaffung, Aufbereitung und Definition der Variablen für das praktische Modell.
MODELL: Darstellung der heuristischen Konstruktion des Prognosemodells unter Einbeziehung der implizierten Volatilität.
PARAMETERSCHÄTZUNGEN: Präsentation der Ergebnisse der statistischen Schätzung der Modellparameter mittels SAS.
DIE PROGNOSE UND ÖKONOMISCHE AUSWERTUNG DES MODELLS: Empirische Evaluation der Modellperformance anhand von Out-of-Sample-Handelsstrategien.
AUSBLICK: Reflexion der Modellschwächen und Vorschläge für zukünftige methodische Erweiterungen.
Schlüsselwörter
Zeitreihenanalyse, GARCH, Volatilität, Heteroskedastizität, Optionspreise, Black-Scholes, Maximum-Likelihood, Volatility Clustering, Prognosemodell, Finanzmarkt, S&P 500, Risikomanagement, Statistik, Modellierung, Zeitreihen.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die Anwendung von GARCH-Prozessen zur Modellierung und Prognose von Volatilität in Finanzzeitreihen, insbesondere mit dem Ziel, Optionspreise besser vorherzusagen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Theorie der stochastischen Volatilität, der Schätzung von GARCH-Modellen, der empirischen Datenanalyse von Optionspreisen sowie der ökonomischen Evaluierung von Handelsstrategien.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Entwicklung eines 1-Tages-Prognosemodells für Optionen auf den S&P 500, um durch die Vorhersage der implizierten Volatilität kurzfristige Handelsvorteile zu generieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es kommen ökonometrische Zeitreihenmethoden zur Anwendung, darunter die Maximum-Likelihood-Schätzung für GARCH(p,q)-Modelle sowie statistische Analysen von Autokorrelationen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in einen theoretischen Teil zur GARCH-Modellierung und einen praktischen Teil, in dem ein Modell auf Basis von S&P 500-Optionsdaten implementiert und bewertet wird.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind GARCH, Volatilität, Heteroskedastizität, Optionspreise, Zeitreihenanalyse und Prognosemodell.
Warum ist die Berücksichtigung von GARCH-Effekten bei Optionen relevant?
Da die Volatilität der Residuen in Finanzzeitreihen oft autokorreliert ist (Volatility Clustering), hilft ein GARCH-Modell dabei, diese Dynamik zu erfassen, was die Genauigkeit der Volatilitätsprognose verbessert.
Wie schneidet das Modell im praktischen Test ab?
Das Modell zeigt insbesondere in der ersten Hälfte des Out-of-Sample-Zeitraums eine gute Vorhersagekapazität, die über eine naive Handelsstrategie hinausgeht, lässt jedoch nach etwa 25 Tagen in der Treffsicherheit nach.
- Quote paper
- Volodymyr Perederiy (Author), 2002, GARCH-Prozesse in Finanzwissenschaft: Vorhersage der SP500-Optionspreise, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/10943
