MATLAB / Simulink Unwucht-Experimente


Wissenschaftlicher Aufsatz, 2005
41 Seiten

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Kapitel 2

Unwucht-Motor auf

oszillierender Platte

In diesem Kapitel wird der erste Fall des Unwucht-Motors auf oszillierender Platte untersucht. Zuerst wird das Modell des Gleichstrom-Motors ermittelt und mit einigen Simulationen wird sein Verhalten erläutert [6]. Danach wird das Modell des Unwucht-Motors auf oszillierender Platte aufgebaut und untersucht.

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

In den Untersuchungen werden Gleichstrom-Motoren eingesetzt, weil sie relativ einfach und verständlich zu beschreiben sind. Nach der Erfahrung mit diesen Motoren kann man auch für andere Motortypen ähnliche Modelle bilden.

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Abb. 2.1: Modell eines

Gleichstrom-Motors

Abb. 2.1 zeigt das Modell eines Gleichstrom-Motors, wobei durch u m (t), u g (t) die angelegte und die interne induzierte Spannung bezeichnet wird. Der Strom i(t) ist somit durch folgende Differentialgleichung mit den Spannungen verbunden:

di(t)

(2.1) u m (t) = i(t)R + L + u g (t) dt

In vielen Fällen kann man die Induktivität vernachlässigen, was im Weiteren auch hier angenommen wird (L = 0). Die induzierte Spannung u g (t) wegen der Kreisbewegung ist durch (2.2) u g (t) = k g ω(t)

gegeben, wobei k g die Generator-Konstante ist.

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2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte 10

null klingt am Anfang ω(t) sehr stark ab und bei niedrigere Kreisgeschwindigkeit geht der Verlauf praktisch in eine lineare Funktion über. Die Differentialgleichung dieses Auslaufs ist:

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Sie ist eine nichtlineare Differentialgleichung, die analytisch relativ einfach zu lösen ist. Für den Bereich ω(t) > 0 erhält man:

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Jeder zusätzliche Term z.B. durch eine zusätzliche Reibung, erschwert erheblich die analytische Lösung. In der Simulation gibt es keine Probleme und man kann die normalen, numerischen Integrationsverfahren (wie Runge-Kutta, etc.) einsetzen. Abb. 2.8 zeigt die Verläufe der Variablen für den Fall, dass alle Typen von Reibungen vorhanden sind. Der Sprung in dem Belastungsdrehmoment (Abb. 2.8 unten) entsteht wegen der Gleitreibung.

2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

Es wird am Anfang ein einfaches Modell eines Unwuchtsystems untersucht, das aus einem Gleichstrom-Motor mit Unwucht besteht, der auf einer oszillierenden Platte angebracht ist. Abb. 2.9 zeigt eine Skizze des Unwuchtsystems.

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Abb. 2.9: Skizze

eines einfachen Unwuchtsystems

Es wird angenommen, die Platte oszilliert und die relative Lage zum statischen Gleichgewicht x(t) ist durch (2.14) x(t) = x a sin(2πf t)

gegeben, wobei f die Frequenz ist und x a stellt die Amplitude dar. Daraus resultiert die Beschleunigung der Platte:

x(t) = −4(πf ) 2 x a sin(2πf t) (2.15) ¨

Wenn die Winkelbeschleunigung ¨ ϕ(t) vernachlässigt wird, erhält man folgende Differentialgleichung für die Drehbewegung des Motors:

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Kapitel 3

Zwei Unwucht-Motoren auf

Feder-Masse-System

3.1 Mathematisches Modell des Systems

Abb. 3.1 zeigt die Skizze des Feder-Masse-Systems mit zwei Unwucht-Motoren. Die Masse m 1 der Plattform kann sich nur rauf und runter bewegen und es kann somit angenommen werden, dass nur eine äquivalente Feder mit Federkonstante D und eine viskose Dämpfung mit Konstante r vorhanden sind.

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Für die zum Gleichgewichtzustand relative Bewegung der Plattform mit einer Gesamtmasse (3.1) m = m 1 + m 21 + m 22 ,

ergibt sich eine Differentialgleichung der Form:

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3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell 15

Mit F z (t) = F z1 + F z2 wird die Fliehkraft bezeichnet, die von den zwei Unwucht-Motoren hervorgeht und durch

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gegeben ist. Mit u n1 , u n2 wurden die Unwuchten der Motoren bezeichnet. Wie man sieht wurden die Winkelbeschleunigungen ¨ ϕ 2 (t) vernachlässigt. ϕ 1 (t), ¨

Für die Drehbewegung der Motoren ergeben sich folgende Differentialgleichungen:

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Die Ströme der Motoren in der Annahme, dass man ihre Induktivitäten vernachlässigen kann, sind durch

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gegeben, wobei durch u m (t) die angelegte Spannung bezeichnet ist. Um einen langsamen Anlauf und Auslauf nachzubilden, wird angenommen, dass die angelegte Spannung u m (t) durch eine Differentialgleichung der Form

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gegeben ist, wobei über die Zeitkonstante T m die Steilheit der Änderung der Spannung u m (t) gesteuert wird. Sie kann relativ einfach in einem physikalischen Experiment über die Zeitkonstante der Ladung eines Kondensators realisiert werden.

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

Die gezeigten Differentialgleichungen bilden das mathematische Modell des Systems, das jetzt in ein Simulink-Modell zu implementieren ist. Es gibt hier mehrere Möglichkeiten. Eine davon wäre über die Zustandsvariablen des Systems, deren Ableitungen durch einmal Integrieren, die Variablen ergeben, die notwendig sind, um diese Ableitungen zu bilden.

Eine zweite Form, die gewählt wurde, basiert auf die Beschleunigungen die als bekannt angenommen werden. Durch zweimal Integrieren erhält man ähnlich alle Variablen, die notwendig sind um diese Beschleunigungen zu bilden. Die Simulink-Integratoren sind Blöcke die Vektoren (Variablen in Vektoren zusammengefasst) auch bearbeiten können. In diesem System erscheinen drei Beschleunigungen:

1 (t)/dt, 2 (t)/dt und dv(t)/dt

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3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente 24

Leider ist das Spektrogramm hier nicht in Farbe dargestellt und die hohen und tiefen Werte erhalte gleiche dunkle Grauwerte.

3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente

Die gezeigten Modelle können im Hinblick auf konkrete Anwendungen für weitere Experimente erweitert werden.

So z.B. kann das Modell der zwei Unwuchtmotoren auf Feder-Masse-System für den Fall eines einzigen Motors leicht umgewandelt werden. Mit geschickt gewählten Parametern kann das Modell direkt diesen Fall nachbilden. Wenn der Widerstand R 2 des zweiten Motors sehr groß gewählt wird (R 2 = 10000Ω) erhält er praktisch keinen Strom und wird sich nicht bewegen und am Verhalten des Systems nicht beteiligen. Eine andere interessante Untersuchung wäre den Auslauf nicht mit unterbrochenen Eingangskreis einzuleiten, sondern durch das Kurzschliessen der Motorklemmen oder das Schließen eines Wiederstandes. Der Motor wird Generator und ihm ist sehr schnell die akkumulierte, kinetische Energie entzogen.

Eine realistische Annahme, dass der Strom begrenzt ist, kann auch relativ leicht nachgebildet werden. Man müsste allerdings das Modell neu aufbauen, so dass der Strom der Motoren zugänglich ist. Mit ein bisschen Mühe, können alle Teile separat modelliert werden, was zu zusätzliche Erweiterungsmöglichkeiten führen kann.

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Abb. 3.10: Simulink-Modell aus getrennten Teilen aufgebaut (unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)

3.3.1 Simulink-Modell mit Untermodellen der Hauptkomponenten

Abb. 3.10 zeigt das Simulink-Modell, in dem mit vier Untermodellen das System aufgebaut ist. Sie sind in den Blöcken, die mit Schatten hervorgehoben sind, enthalte. Das erste ganz links oben enthält das Modell für die Erzeugung der Motorspannung, wie in Abb. 2.13 gezeigt.

In zwei zusammengefassten Modellen werden die Motore simuliert. Wenn man mit der Maus drauf klickt erhält man z.B. für den Motor 1 das Modell aus Abb. 3.11. Als

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Details

Titel
MATLAB / Simulink Unwucht-Experimente
Autoren
Jahr
2005
Seiten
41
Katalognummer
V109818
Dateigröße
3785 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
MATLAB, Simulink, Unwucht-Experimente
Arbeit zitieren
Josef Hoffmann (Autor)Robert Kessler (Autor), 2005, MATLAB / Simulink Unwucht-Experimente, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/109818

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