Komplexe Zahlen

Ich möchte euch in meinem heutigen Referat die Zahlenmenge der komplexen Zahlen vorstellen.

Zuerst werde ich kurz die uns bereits bekannten Zahlenmengen wiederholen. Anschließend stelle ich die Menge der komplexen Zahlen vor und beschreibe die Darstellungsweise solcher Zahlen in der so genannten Gaußschen Zahlenebene. Weiterhin gehe ich auf drei Grundrechenarten in Verbindung mit komplexen Zahlen ein. Zum Abschluss meines Vortrages möchte ich noch kurz ansprechen, wo und in welcher Weise komplexe Zahlen Anwendung finden.

Zu Beginn des Schuljahres haben wir in Analysis die für uns relevanten Zahlenmengen kennen gelernt. Diese sind:

1. Die natürlichen Zahlen N mit einem Wertebereich von 0 bis + unendlich (Tafelanschrift).
2. Dann die ganzen Zahlen Z mit einem Wertebereich von – unendlich bis + unendlich (Tafelanschrift).
3. Als Drittes die rationalen Zahlen Q; auf dem Zahlenstrahl sind sie zwischen den ganzen Zahlen anzusiedeln und wie folgt definiert: Q = {m/n mit m e Z; n e Z \ {0}} (Tafelanschrift).
4. Als Viertes die reellen Zahlen; die reellen Zahlen vereinigen in sich die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und natürlich auch die rationalen sowie die irrationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen sind diejenigen Zahlen, die sich nicht durch einen Bruch darstellbar lassen, wie z. B. Wurzelzahlen; der Zahlenstrahl ist durch die reellen Zahlen lückenlos gefüllt.

Mit diesen vier Zahlenmengen stößt man allerdings bald an die Grenze der Definitionsmenge, wenn es darum geht, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen. Wenn wir beispielsweise die Gleichung x² + 1 = O (Tafelanschrift) betrachten, erhalten wir das Ergebnis x² = -1 (Tafelanschrift). Dies ist keine reelle Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl stets größer oder gleich Null ist, wir alle wissen 0² = 0, (-2)² = + 4. Um den komplexen Sachverhalt, dass aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen ist, mathematisch weiterführen zu können, wurde die Menge der reellen Zahlen um die Menge der komplexen Zahlen erweitert. Das Mengenzeichen für die neu entstandene Menge der komplexen Zahlen ist C (Tafelanschrift).

Nehmen wir nun unser vorheriges nicht definiertes Ergebnis x² = -1 und lösen wir dieses durch Wurzelziehen nach x auf, dann erhalten wir zwei formale Lösungen, und zwar: x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Tafelanschrift). Dieser Ausdruck Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist wie folgt definiert:

„Der formale Wurzelausdruck Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol i gekennzeichnet

- i = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Das Quadrat der imaginären Einheit i ist die reelle Zahl –1

- i ² = -1.“

Die Lösung unserer obigen Gleichung x² + 1 = 0 lautet unter Beachtung dieser imaginären Einheit i demnach: x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten i (Tafelanschrift).

Würden wir dieses Ergebnis ausführlicher darstellen wollen, müssten wir schreiben: x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten1Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten i (Tafelanschrift). Mit dieser Schreibweise haben wir eine so genannte imaginäre Zahl erhalten. Eine imaginäre Zahl lässt sich wie folgt definieren:

Unter einer imaginären Zahl b i versteht man das formale Produkt aus der reellen Zahl b, die nicht null sein darf, und der imaginären Einheit i.

Jetzt kennen wir also die imaginäre Einheit i und die imaginären Zahlen, aber noch nicht die komplexen Zahlen. Am Besten beginnen wir wieder mit einem Beispiel, und zwar mit der quadratischen Gleichung x² - 4x + 13 = 0 (Tafelanschrift). Um diese Gleichung lösen zu können müssen wir in die bekannte Formel einsetzen. Wir erhalten zuerst x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Tafelanschrift), dann x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Tafelanschrift) dann x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Tafelanschrift).

Das formale Ergebnis x1/2 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beinhaltet wieder eine imaginäre Zahl, nämlich 3 i, aber auch die reelle Zahl 2. Solche Lösungen, die in Form einer algebraischen Summe aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl bestehen, bezeichnet man als komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen besitzen also einen Realteil, nämlich die reelle Zahl, und einen Imaginärteil, nämlich die imaginäre Zahl. Die genaue Definition lautet:

Unter einer komplexen Zahl z versteht man die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl y i: z = x + y i.

Jetzt können wir auch die Aufstellung der Zahlenmengen vervollständigen. Die Zahlenmenge C der komplexen Zahlen ist definiert mit { z | z = x + y i; x, y Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten R } (Tafelanschrift).

Ein Sonderfall einer komplexen Zahl liegt vor, wenn:

a) entweder der Realteil der komplexen Zahl null ist

- wir würden somit eine rein imaginäre Zahl erhalten

b) oder der Imaginärteil der komplexen Zahl null ist

- wir würden somit eine rein reelle Zahl erhalten

Die allgemeine Schreibweise z = x + y i bezeichnet man als die Normalform einer Komplexen Zahl. Andere Namen für diese Schreibweise sind Algebraische oder Kartesische Form. Daneben kann man komplexe Zahlen noch in Trigonometrischer Form, in Exponentialform und in Polarform darstellen, für uns sind diese Darstellungsformen allerdings nicht von Belang.

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