In dieser Bachelorarbeit wird die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen aus
mathematischer Sicht erschlossen. Mit Hilfe von geeigneter mathematischer Fachliteratur
wird die Thematik in der Form aufbereitet, dass die wesentlichen Aspekte für Studierende
des Bachelor-Studiengangs Lehramt für berufliche Schulen mit der Fachrichtung Elektro-und
Informationstechnik sowie Zweitfach Mathematik ohne Weiteres verstanden werden können.
Die Fourier-Reihenentwicklung sowie die Fourier-Transformation werden in der Fachrichtung
dieses Studiengangs nur oberflächlich behandelt, dennoch wird für das Verständnis dieser Arbeit ein zumindest grundlegendes Wissen über die Thematik vorausgesetzt. Demnach richtet sich der Inhalt an Studierende des vierten oder eines höheren Fachsemesters.
Inhaltsverzeichnis
1 Definition und inhaltliche Grenzen der Fourier-Transformation für Funktionen
1.1 Übergang von der Fourier-Reihenentwicklung zur Fourier-Transformation
1.1.1 Fourier-Reihe
1.1.2 Einstieg
1.2 Fourier-Transformation für Funktionen
1.2.1 Motivation
1.2.2 Definition und Notation
1.2.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation für Funktionen
1.2.4 Inverse Fourier-Transformation
2 Distributionen
2.1 Der Raum D der Testfunktionen
2.2 Definition: Distributionen
2.2.1 Beispiele
2.3 Elementare Eigenschaften
2.4 Der Schwartz-Raum S
2.5 Temperierte Distributionen
3 Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
3.1 Fourier-Transformation im Schwartz-Raum
3.2 Fourier-Transformation in S'
3.2.1 Inverse Fourier-Transformation in S'
3.3 Eigenschaften
3.4 Beispiele
3.5 Fazit
Zielsetzung & Themen
Diese Bachelorarbeit hat zum Ziel, die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen aus mathematischer Perspektive zu erschließen. Sie richtet sich an Studierende im Bereich Elektro- und Informationstechnik sowie Mathematik und schließt die Lücke zwischen klassischer Funktionsbetrachtung und der Distributionentheorie, um die Fourier-Transformation auf eine breitere Klasse von Objekten anwendbar zu machen.
- Grundlagen der Fourier-Transformation für Funktionen und deren mathematische Grenzen.
- Einführung und Handhabung des Raums der Testfunktionen (D) und des Schwartz-Raums (S).
- Definition und elementare Eigenschaften von Distributionen und temperierten Distributionen.
- Herleitung der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen und deren Anwendung auf Spezialfälle wie die Dirac-Distribution.
Auszug aus dem Buch
1.2.1 Motivation
Wie bereits im vorherigen Kapitel kurz erwähnt, ist es häufig von Vorteil, ein von Ort oder Zeit abhängiges Signal in seine spektralen Anteile zu zerlegen. Bei periodischen Signalen wird dies mit Hilfe der Fourier-Reihenentwicklung bewerkstelligt.
Wie das vorhergegangene Beispiel gezeigt hat, führt eine Reihenentwicklung bei nicht periodischen Signalen jedoch nicht zum gewünschten Ergebnis. Aus diesem Grund bedient man sich in diesem Fall der Fourier-Transformation.
Die Anwendungsbereiche sind vielfältig, so wird sie zum Beispiel in der Signalanalyse genutzt, um zu erkennen, ob eine Maschine oder Teile davon defekt sind. Sprachassistenten wie Apples Siri, Googles Assistent oder Microsofts Cortana nutzen die Fourier-Transformation, um ein Sprachsignal in seine spektralen Anteile zu zerlegen und den Anwender dadurch anhand seiner Stimme identifizieren zu können. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Datenkompression: Speichert man ein analoges Signal, zum Beispiel Musik, digital ab, so wird eine große Menge an Speicherplatz benötigt. Zerlegt man dieses Signal in seine Frequenz-Anteile, kann das Datenvolumen erheblich komprimiert werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Definition und inhaltliche Grenzen der Fourier-Transformation für Funktionen: Dieses Kapitel erläutert den Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation und zeigt anhand mathematischer Kriterien auf, wo die Grenzen der klassischen Fourier-Transformation liegen.
2 Distributionen: Es wird der mathematische Rahmen für Distributionen geschaffen, beginnend beim Raum der Testfunktionen bis hin zur Definition temperierter Distributionen als stetige lineare Funktionale.
3 Fourier-Transformation für temperierte Distributionen: Hier wird die Fourier-Transformation erfolgreich auf temperierte Distributionen erweitert, wobei Operationen konsequent auf Schwartz-Funktionen abgewälzt werden, um sie auch auf nicht-klassische Funktionen anzuwenden.
Schlüsselwörter
Fourier-Transformation, temperierte Distributionen, Schwartz-Raum, Testfunktionen, Distributionentheorie, Fourier-Reihe, Dirac-Distribution, Signalzerlegung, mathematische Analysis, Funktionalanalysis, Signalanalyse, Stetigkeit, Konvergenzbegriff, Dualraum, Spektralanteile
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Fundierung der Fourier-Transformation und deren Erweiterung von klassischen Funktionen auf den Bereich der Distributionen, insbesondere der temperierten Distributionen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die mathematische Definition der Fourier-Transformation, die Einführung von Testfunktionen und Distributionen sowie die Übertragung der Fourier-Transformation in diesen verallgemeinerten Rahmen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das primäre Ziel ist es, ein mathematisches Werkzeug bereitzustellen, das es erlaubt, die Fourier-Transformation auch auf Funktionen anzuwenden, die im klassischen Sinne (aufgrund von Integrierbarkeitsbedingungen) nicht transformierbar wären.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine mathematisch-theoretische Herangehensweise gewählt, die auf Fachliteratur basiert, Beweise für Eigenschaften wie Linearität und Verschiebung führt und die Theorie Schritt für Schritt vom Funktionsbegriff zum Distributionsbegriff entwickelt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil umfasst die Abgrenzung der klassischen Fourier-Transformation, die formale Einführung von Distributionen und des Schwartz-Raums sowie die detaillierte Definition und Anwendung der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Fourier-Transformation, Distributionen, Schwartz-Raum, Testfunktionen und die Dirac-Distribution sind die essenziellen Schlagworte.
Wie wird die Dirac-Distribution mathematisch behandelt?
Die Dirac-Distribution wird als Funktional eingeführt, welches durch Grenzwertprozesse (Dirac-Approximation) und ihre Wirkung auf Testfunktionen definiert und mittels Fourier-Transformation konsistent in das System integriert wird.
Warum ist der Übergang zu Distributionen notwendig?
Da viele technisch relevante Signale die Bedingung der absoluten Integrierbarkeit nicht erfüllen, bietet die Distributionentheorie die notwendige mathematische Erweiterung, um diese dennoch spektral analysieren zu können.
- Arbeit zitieren
- Josef Glas (Autor:in), 2019, Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen. Eine Analyse aus mathematischer Sicht, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1152747
