Georg Cantor (1845-1918), der Schöpfer der Mengenlehre, befasste sich seinerzeit mit dem Begriff der Unendlichkeit. Er machte durch die revolutionären Neuheiten ein extensives Feld für weitere Betrachtungsweisen hinsichtlich des Unendlichen frei, sodass nicht nur die Mathematik, sondern auch andere Wissenschaften wie zum Beispiel die Philosophie und die Theologie das Absolut-Unendliche versuchen, mithilfe der Mengenlehre zu ergründen. In dieser Hausarbeit wird es um die Rekonstruktion der verschiedenen Stufen der Mengenlehre gehen bis zum genannten Begriff, dem Absolut-Unendlichen. Bezüglich dieses Begriffs lautet die Leitfrage der Hausarbeit, wie die Mathematik mit dem Absolut-Unendlichen umzugehen pflegt und ob es Cantors Mengenlehre gerecht wird. Das Vorgehen besteht darin, zunächst die Menge mit ihren immanenten Eigenschaften zu erläutern. Im weiteren Verlauf folgen dann die Begriffe Mächtigkeit, Kardinalität, Bijektion, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit – welche ich mit Abbildungen veranschaulichen werde – und anschließend die Potenzmenge. Durch diese Beschreibung werden nach und nach die verschiedenen Stufen des Mengenuniversums thematisiert und in einer kumulativen Hierarchie als Abbildung eingereiht. Dadurch wird das Ausmaß der absoluten Unendlichkeit darstellbar als auch die Schwierigkeiten. Es folgt die Position der Mathematik, wie sie das Absolut-Unendliche charakterisiert. Mit dieser Position setzte ich mich kritisch auseinander. Zum Schluss wird auf eine rekapitulierende Wirkung gesetzt und eine endgültige These dargelegt.
Inhaltsverzeichnis
- I. Einleitung
- II. Die Menge: Kurze Einführung
- III. Die Mächtigkeit und ihre Darstellungsmöglichkeiten
- IV. Die Potenzmenge
- V. Einführung von Alef-Null (No)
- VI. Einführung in die kumulative Hierarchie
- VII. Gelingt es der Mathematik, das Absolut-Unendliche zu charakterisieren?
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Hausarbeit verfolgt das Ziel, die verschiedenen Stufen der Mengenlehre bis zum Begriff des Absolut-Unendlichen zu rekonstruieren. Die Leitfrage lautet, wie die Mathematik mit dem Absolut-Unendlichen umgeht und ob Cantors Mengenlehre diesem Begriff gerecht wird.
- Einführung der Menge und ihrer Eigenschaften
- Konzepte der Mächtigkeit, Kardinalität und Bijektion
- Untersuchung von Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit
- Die Rolle der Potenzmenge im Mengenuniversum
- Die Charakterisierung des Absolut-Unendlichen in der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel I: Einleitung: Dieser Abschnitt führt in das Thema der Mengenlehre und die Frage nach dem Absolut-Unendlichen ein. Er stellt Georg Cantor als Begründer der Mengenlehre vor und beschreibt die Relevanz des Themas für verschiedene Wissenschaftsbereiche.
- Kapitel II: Die Menge: Kurze Einführung: Dieses Kapitel definiert den Mengenbegriff und beschreibt seine Eigenschaften. Es beleuchtet die axiomatische Mengenlehre und den naiven Mengenbegriff nach Cantor.
- Kapitel III: Die Mächtigkeit und ihre Darstellungsmöglichkeiten: Hier wird der Vergleich endlicher und unendlicher Mengen erläutert, insbesondere hinsichtlich der Mächtigkeit und Kardinalität. Es werden Begriffe wie Bijektion, Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit eingeführt und anhand von Beispielen veranschaulicht.
Schlüsselwörter
Mengenlehre, Georg Cantor, Absolut-Unendliche, Mächtigkeit, Kardinalität, Bijektion, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit, Potenzmenge, kumulative Hierarchie, axiomatische Mengenlehre, naiver Mengenbegriff, Existenzaxiom.
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- Anonym (Autor), 2019, Das Absolut-Unendliche aus Cantors Mengentheorie, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1180752
