Welche mathematischen Bereiche eignen sich für Fermi-Aufgaben? Bestandsaufnahme, Entwicklung eigener Aufgaben und praktische Erprobung


Bachelorarbeit, 2018

64 Seiten, Note: 2,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Die Herkunft der Fermi-Aufgaben

3. Fermi-Aufgaben
3.1 Abgrenzung von Fermi-Aufgaben zu traditionellen Sachaufgaben
3.2 Definition und Merkmale
3.3 Typen von Fermi-Aufgaben
3.4 Bearbeitung von Fermi-Aufgaben
3.4.1 Voraussetzungen und Stolpersteine
3.4.2 Ablauf beim Bearbeiten von Fermi-Aufgaben
3.4.3 Teilzielstrukturierung der Fermi-Aufgaben
3.4.4 Datenbeschaffung bei Fermi-Aufgaben
3.4.5 Möglichkeiten der Umsetzung im Unterricht
3.5 Gründe für den Einsatz von Fermi-Aufgaben im Unterricht

4. Mathematische Bereiche in der Grundschule
4.1. Prozessbezogene Bereiche
4.2 Inhaltsbezogene Bereiche
4.3 Fermi-Aufgaben im Lehrplan

5. Bestandsaufnahme und Entwicklung eigener Aufgaben
5.1 Bestandsaufnahme zweier Arbeitshefte
5.1.1 Arbeitsheft 1: „Forscher Freddis Fermiaufgaben“
5.1.2 Arbeitsheft 2: „Fermi-Aufgabe für die Grundschule – Klasse 2-4“
5.1.3 Lückenbetrachtung beim Bereich der Raum und Formen
5.2 Aufgabenpool für die Erprobung
5.2.1 Auswahl aus den vorhandenen Aufgaben
5.2.2 Erstellen eigener Aufgaben

6. Erproben der Aufgaben in der Grundschule
6.1 Einstiegsstunde
6.2 Zweite Unterrichtsstunde
6.3 Dritte Unterrichtsstunde
6.4 Vierte Unterrichtsstunde
6.5 Fünfte Unterrichtsstunde
6.6 Sechste Unterrichtsstunde
6.7 Abschlussstunde
6.8 Reflexion der Unterrichtseinheit in Bezug auf mathematischen Bereiche

7. Fazit

8. Literaturverzeichnis
8.1 Arbeitshefte
8.2 Zeitschriften
8.3 Bücher
8.4. Elektronische Quellen

9. Abbildungsverzeichnis

Anhang

1. Einleitung

Im Kontext von Sachaufgaben besteht in vielen Grundschulen des Öfteren das Problem, dass Schü­lerinnen und Schüler (SuS)1 die Bearbeitungen desinteressiert und lustlos durchführen. In den Sach­aufgaben sind Sachsituationen vorhanden, die die Alltagswelt der SuS widerspiegeln soll, so­dass in den SuS Interesse ausgelöst wird. In den meisten Fällen werden jedoch die All­tagsbezüge in den Sachaufgaben erzwungen, damit die Sachsituationen auf der einen Seite The­men aus dem All­tag der SuS beinhalten, aber auf der anderen Seite in dem Ausmaß in der Realität mit ge­ringer Wahrschein­lichkeit in dem Ausmaß auftreten. Für einen gelungen Sachrechenunterricht in der Grundschule gilt es bei der Auswahl der Sachaufgaben authentische Lernanlässe zu schaffen, wo­durch sich die SuS in die Sachsituationen hineindenken, dadurch die Aufgabe lösen und Alltagspro­bleme damit bewälti­gen können (vgl. Franke 2003: 25). Dabei stellt sich die Frage, ob typische Standardsachauf­gaben, wie beispielsweise „Tim hat 5 Legokästen. Nino hat dreimal so viele. Wie viele Legokästen hat Nino?“, in ihrer Form diese Authentizität darbieten (ebd.: 26). Wird das Bei­spiel be­trachtet, werden wahrscheinlich in den meisten Fällen die SuS die Zah­len aus den Aufgaben filtern und die Multiplikation aufschreiben. Hierbei würde die Sachsituation nicht beachtet wer­den, denn sie ist unbedeutend für die Lösung. Um dieses Problem zu umgehen, be­steht die Aufga­be der Lehrkraft darin, authentische Aufgaben für den Unterricht auszusuchen. Darüber hinaus sol­len diese Aufga­ben offen dargestellt werden, damit die SuS frei in ihrer Bearbeitung sind (ebd.: 132ff). Dabei be­steht die Schwierigkeit, Aufgaben zu finden oder zu erstellen, die lehrplankon­form und zeitlich im Unterricht bearbeitbar sind. Wie können demnach solche Aufgaben aussehen?

Auf diese Frage empfiehlt Stefanie Burkhardt, ausgebilde­te Lehrerin und Autorin des Arbeitsheftes Forscher Freddis Fermiaufgaben, die Verwendung von sogenannten „Fermi-Aufgaben“. Dabei han­delt es sich um Sachaufgaben, die „sich außer durch ihre Offenheit auch durch Realitätsbezug und eine beson­dere Zugänglichkeit“ kennzeichnen (Greefrath 2010: 81). Dadurch sollen sie authen­tische Lernan­lässe darbieten und die SuS zur Lösung der Aufgabe moti­vieren (vgl. Burkhardt 2017: 3). Anhand der ge­schilderten Sachlage wird überprü­ft, inwiefern sich Fermi-Aufgaben von Standardsachaufga­ben mit ihrer Problematik abheben und welche mathematischen Bereiche sich in der Grundschule für Fer­mi-Aufgaben eignen. Zudem liegt der Schwerpunkt dieser Arbeit darin, herauszufinden, ob die in­halts- und prozessbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans der Mathe­matik für die Grundschu­le, die die mathematischen Bereiche der Grundschule darstellen, bei Fer­mi-Aufgaben umsetzbar sind. Für die Bewältigung der Aufgaben wird im Rahmen der Arbeit im er­sten Teil theoretisch anhand Lite­ratur und im zweiten Teil praktisch durch eine empirische Erpro­bung geforscht. Im er­sten Teil wird zunächst ein kurzer Überblick über die Herkunft der Aufgaben ver­schafft. Anschlie­ßend folgt die Vorstellung der Fermi-Aufgaben, indem ihre Eigenschaften, Viel­fältigkeit, Gründe für ihren Ein­satz und Umsetzung im Unterricht aufgegriffen werden. Darin wer­den insbesondere die Herangehens­weisen der Bearbeiterinnen und Bearbeiter (BuB)2 und die da­mit verbundenen Schwierig­keiten vertieft, damit ein Gesamtbild der Situation bei der Bearbeitung von Fermi-Aufga­ben erstellt wird. Zum Schluss des ersten Teiles wird der Kernlehrplan der Mathe­matik für die Grundschule be­trachtet, indem die einzelnen Kompetenzbereiche aufgeschlüsselt wer­den, wo­durch eine Einord­nung der Fermi-Aufgaben im Kontext des Lehrplanes erfolgt. Im zweiten Abschnitt werden zuerst Arbeitshefte begutachtet, die sich mit Fermi-Aufgaben beschäfti­gen. Da­durch wird eine Aufnahme dieser Arbeitshefte durchgeführt, damit im An­schluss Aufga­ben zur Erprobung ausgewählt werden. Darüber hinaus wird der Vorgang der Ent­wicklung eigener Auf­gaben im nächsten Schritt geschil­dert. Die ausersehenen Aufgaben werden in einer Grundschu­le erprobt und im Kontext zur Frage­stellung der Arbeit analysiert. Abschließend wird im Kontext der Thesen ein Fazit gezogen.

2. Die Herkunft der Fermi-Aufgaben

Um einen besseren Überblick über Fermi-Aufgaben zu erhalten, wird ihre Herkunft zunächst ein­mal näher unter­sucht. Hierfür wird ein kurzer Einblick in das Leben des italienischen Kern­physikers En­rico Fermi geboten, welcher den Fermi-Aufgaben ihren Namen gab.

Enrico Fermi wurde am 29. September 1901 in Rom, Italien, geboren und verstarb am 28. Novem­ber 1954 in Chicago, Illi­nois. Er war der dritte und jüngste Sohn von Alberto und Ida De Gattis. Durch die Berufung des Vaters, welcher als Angestellter im Verkehrsministerium ar­beitete, kam En­rico Fermi mit 15 Jahren in Kontakt mit Eisenbahningenieuren, die seine außerordentliche Bega­bung für Mathematik entdeckten und durch Literatur auf universitären Niveau förderten. Hinzu freunde­te er sich mit dem damals gleichaltrigen und ebenfalls mathematisch begabten Enrico Per­sico an, mit dem er sich über physikalische und mathematische Problemstellungen und ihre selbst­entworfenen Lösungen und Studien austau­schen konnte (vgl. Bernardini und Bonolis 2001: 24).

Seinen schulischen Werdegang schloss er zusammen mit Enrico Persico an einem Gymnasi­um in Rom ab und begann im Jahre 1918 mit 17 Jahren das Physikstudium auf der italienischen Elite­hochschule Scuola Normale Superiore in Pisa. Während seines Studiums setzte sich Enrico Fermi über sein Studium hinaus mit der Mathematik auseinander, insbesondere der mathematischen Physik. Zu dieser Zeit veröffentlichte er seine ersten wissen­schaftlichen Ar­beiten, die sich unter an­derem mit der Relati­vitätstheorie beschäftigten. 1922 be­endete er sein Studium in Pisa mit seiner Thesis über Röntgenbeu­gungen und kehrte daraufhin nach Rom zu­rück, um als „Assitant Professor“ im In­stitut für Physik zu arbeiten. Zusätzlich hielt er Vorlesungen über mathematische Physik und New­tonsche Mechanik an der Universität Florenz, an der er bis 1934 dozierte (vgl. ebd.: 37f). Derweil heira­tete er 1928 Lau­ra Ca­pon, mit der er seine zwei Kinder, Nella und Giulio Fermi, großgezogen hat. Im Jahre 1934, mit der Ent­deckung der Kernphysik, wurde sein Interesse auf die­ses neue Gebiet gelenkt und er fo­kussierte seine For­schungen darauf (vgl. ebd.: 39). Darauf­hin ver­fasste er eine wissen­schaftliche Arbeit über radioak­tive Neutronen, für die er 1938 den Nobel­preis für Physik erhielt (vgl. ebd.: 30). Aufgrund von Rassen­verfolgungen in Italien im selben Jahr verließ er mit seiner Frau und seinen Kin­dern Italien, da er diese als Bedro­hung für sei­ne Familie be­trachtete. Diesbezüglich wan­derten sie nach Amerika aus und Enrico Fer­mi fing an in der Colum­bia University in New York zu dozieren (vgl. ebd.: 40).

Nachdem Enrico Fermi 1942 an die Universität von Chicago versetzt wurde, vertiefte er seine For­schungen im Bereich der Neutronenforschung. Dort forschte er vier Jahre lang, bis 1946 die Nukle­arforschung offiziell anerkannt wurde und er seine For­schungen verlagerte. Hiermit befasste Enrico Fermi sich bis zu seinem Tod am 28. No­vember 1954 (vgl. ebd.: 41f). Während seiner Forschungen trug Enrico Fermi 1945 bei der Erfindung der ersten Atombombe bei. Um die Sprengkraft dieser Atombombe zu messen, warf er klei­ne Papier­schnipsel in die Luft und konnte durch deren zurück­gelegten Weg die Spreng­kraft von der Atombombe durch Schätzungen bestimmen (vgl. Elert und Mül­ler 2006: 326). „Dieses Vorgehen, eine Größe zu­nächst näherungsweise abzuschätzen, hat Fer­mi in besonde­rer Weise geprägt, weshalb man in diesem Zusammenhang auch von Fer­mifragen (oder Fermipro­blemen) spricht“ (ebd.: 326). Diese Art der Bestimmung versuchte er seinen Studie­renden nahezulegen, in­dem er sie mit sol­chen Fermifragen kon­frontierte. Dabei wirkte das Lösen sol­cher Aufgaben auf den ersten Blick unmöglich (vgl. Müller 2001a: 3). Er ver­langte von seine Stu­dentinnen und Stu­denten mit „einem gesunden Alltags­wissen Zahlen, Größen und Größenordnun­gen [zu] überschlagen“ (Bon­gartz und Verboom 2007: 148). Ein bekann­tes Muster­beispiel für solch eine Fermifra­ge lau­tet: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chi­cago?“ (Büchter et al. 2010: 3).

3. Fermi-Aufgaben

Wie bereits im Kapitel zuvor erwähnt, erhalten die Fermi-Aufgaben ihren Na­men von dem Kern­physiker Enrico Fermi, der durch intuitive Abschätzungen physikalische Grö­ßen nahezu exakt be­stimmen konnte. Seine Aufgaben fordern ihre Bearbeiterinnen und Be­arbeiter zu solchen Strategi­en auf (vgl. Elert und Mül­ler 2006: 326). Im Fol­genden werden nun ihre Merkmale, Auffäl­ligkeiten, Typen, Bear­beitungsvoraussetzungen und Bearbei­tungsmöglichkeiten im Unterricht er­läutert. Au­ßerdem werden Gründe für die Ver­wendung von Fermi-Aufgaben aufgelistet. Zunächst wird diese Aufgabenform von den herkömmlichen und be­kannten Sachaufga­ben abgegrenzt.

3.1 Abgrenzung von Fermi-Aufgaben zu traditionellen Sachaufgaben

Bevor der Versuch einer Definition von Fermi-Aufgaben mit ihren Merkmalen folgt, soll erst einmal erläutert werden, was heutzutage unter einer Sachaufgabe verstan­den wird und was Fermi-Aufga­ben von ihnen unterscheidet.

Unter Sachaufgaben werden im schulischen Kontext Textaufgaben verstanden, in denen Sachsitua­tionen in Form von Texten geschildert werden. Der Kern dieser Aufgaben im traditionellen Sinne ist Rechenoperationen, die aktuell im Unterricht behandelt werden, zu erkennen und zur Lösung des Sachproblems zu verwenden. Dabei lässt sich in vielen Fällen diese im Alltag nicht in derselben Form wiederfinden (vgl. Schütte 2008: 136f). Darum werden Textaufga­ben dahin­gehend konzipiert, dass eine Sachsi­tuation gege­ben ist, je­doch der Fo­kus bei der „Vorberei­tung oder Festigung eines bestimmten Rechenverfah­rens“ liegt (ebd. 2008: 137).

Heutzutage wird bei Sachaufgaben versucht, den Mangel an authentischen Sach­situationen auszu­gleichen. Sie sollen Sachsituationen darstellen, die im All­tag der BuB vorkommen und da­durch ver­suchen das Interesse zu fesseln (vgl. Bongartz und Ver­boom 2007: 11). Hierbei stellt sich das Pro­blem, „dass eine derar­tig umfangrei­che, komple­xe Auseinan­dersetzung mit realen Phänomenen im Rahmen ei­nes ,ech­ten´ Sachrech­nens sehr zeit­aufwändig und deshalb nur in beschränktem Maße zu verwirk­lichen ist“ (ebd.: 11). Dennoch wird versucht mehr Inhalte aus der Alltags­welt der BuB in Sachaufgaben aufzunehmen. Darüber hinaus sollen Sachaufgaben nicht nur als alleinste­hende Tex­te repräsentiert werden, son­dern der Text soll unter anderem durch zu­sätzlichem Mate­rial, wie beispielsweise durch Abbildun­gen, unterstützt wer­den. Ebenfalls sollen Sachaufga­ben mehrere Lö­sungswege er­lauben und sich von dem Gedan­ken des einen wahren Lö­sungsweges ent­fernen (Franke 2003: 21). Diese erwünsch­ten Ziele wer­den in Fermi-Aufga­ben umgesetzt.

Im Gegensatz zu Standardsachaufgaben erzielen Fermi-Aufgaben weder eine spezi­elle Rechenope­ration, noch den einzig die eindeutige Lö­sung. Der Lösungsweg der Aufgabe bleibt den BuB freige­stellt. Ergänzend wählen sie Wege, die sie zu­vor für un­denkbar erachteten. Ein Beispiel hier­für ist, dass zur Recherche das Internet Daten nutzen dürfen. Darüber hin­aus spielt die Sachsituati­on in Fermi-Auf­gaben eine übergeordnete Rolle, da die Aufgaben alltagsnah konzi­piert sind und nicht nur das mathe­matische Wissen, son­dern das Alltags­wissen der BuB zur Lösung beanspru­chen. Das Ziel ist nicht Rechenope­rationen in der Auf­gabe zu er­schließen, son­dern den ge­samten Sachkon­text in die Über­legung einzu­beziehen und strukturiert an die Aufgabe heranzu­gehen. Des Weiteren bestehen die Texte meist aus ei­nem Satz und sind oftmals mit Abbildungen ausgestat­tet, wodurch die Moti­vation der SuS beim Lesen nicht schwindet (vgl. Bon­gartz und Ver­boom 2007: 148f).

Als Fazit wird zusammengefasst, dass Fermi-Aufgaben im Vergleich zu Standardsach­aufgaben nicht nur die mathematische Auseinandersetzung mit der Aufgabe, son­dern ebenso die Auseinanderset­zung mit der Sachsituation und dem Alltagswissen der BuB erzielen. Dem­nach schmücken diese in Fermi-Aufgaben die Sachaufgabe nicht nur, son­dern stär­ken damit ihre Authentizität.

3.2 Definition und Merkmale

Fermi-Aufgaben, die ebenso als Fermi-Fragen (auch Fermifragen) und Fer­mi-Probleme (auch Fer­miprobleme) bekannt sind, werden als offe­ne Sachaufgaben ver­standen, die das „Vernet­zen von Basisfertigkeiten, Strategien und All­tagswissen“ ermögli­chen (Büchter und Leuders 2005: 158). Sol­che Fermi-Aufgaben, die aus einer kurzen Frage be­stehen, beinhalten ein Pro­blem, das auf dem er­sten Blick unlös­bar scheint. Dies ist dadurch be­dingt, dass in der Frage­stellung keine Zahlen vor­handen sind (vgl. Burk­hardt 2017: 4). Solche Aufga­ben fin­den ihren Ge­brauch an Grund­schulen ab der zweiten Klasse, an weiterfüh­renden Schulen und an Hochschulen. Besonders vertre­ten sind Fermi-Aufgaben in den Fächern Mathe­matik und Physik (vgl. Furjanic und Müller 2001: 31).

Um diese zu bewältigen, müssen die BuB feh­lende Daten durch unterschiedliche Methoden erhe­ben. „Hieran zeigt sich beson­ders deutlich, dass es keine richtige oder falsche Lösung geben kann, sondern lediglich plausible und unplausible Ergebnisse“ (Kaufmann 2006: 16). Somit existieren kei­ne vorbestimmten Lö­sungen, wo­durch sich die BuB bei sol­chen Aufga­ben eher trau­en, verschiede­ne und ausgefallenere Lösungswege und Zu­gänge auszuprobieren, da vor allem die Angst vor ei­nem klar definiertem „Falsch“ nicht vorhanden ist. Besonders die Offen­heit der Bearbeitungsmög­lichkeiten steht hier im Vor­dergrund. Das liegt daran, dass bei diesen Aufgaben Wert auf die Lö­sungswege und Beurteilen der unterschiedlichen Er­gebnisse gelegt wird, wobei das eigent­liche Rechnen in den Hintergrund tritt (vgl. Witzel 2018: 4). Hier­bei stellt sich heraus, „dass man unter einem Fermiproblem we­niger einen bestimmten Aufga­bentypus als eine Art der Herangehenswei­se an eine Frage­stellungen [sic!] versteht. Es handelt sich um eine Metho­de, um Fragestellung [sic!], die auf den ersten Blick als zu komplex erscheinen oder zu de­ren Lösung die gegebene In­formation nicht ausreicht, dennoch näherungsweise beant­worten zu kön­nen“ (Müller 2001a: 3). Ein weiteres Merkmal ist der Rea­litätsbezug der Sachsituation in den Aufgabenstellungen. Sie ori­entieren sich am „Er­lebnis- und Interessenbereich“ der BuB, wodurch an Inhalte des „gegenwärti­gen Erfah­rungsbereiches“ der BuB geknüpft werden (Wit­zel 2018: 4). „Fermi-Aufgaben sind im Prinzip unterbe­stimmte of­fene Auf­gaben mit klarem Endzustand aber unklarem Anfangszustand sowie unklarer Transformati­on, bei denen die Datenbeschaffung – meist durch mehrfaches Schät­zen – im Vorder­grund steht“ (Gree­frath 2010: 80).

3.3 Typen von Fermi-Aufgaben

Bei näherer Betrachtung einzelner Fermi-Aufgaben können Unterschiede in ihrer Formulie­rung, ih­rem Ansatz und ihrer Art festgestellt werden. Um die verschiedenen Aufga­bentypen der Fermi-Auf­gaben zu verdeutlichen, werden Beispiele aus Die Fermi-Box 5. bis 7.3 Klasse zu den acht verschie­denen Aufgabentypen aufgelistet.

1. Größen und Zahlen sollen geschätzt und überschlagen werden

- Zum Beispiel: „Wie viele Matheaufgaben hast du in deinem Leben schon bear­beitet?“ (Büchter et al. 2010: 46).

2. Größen und Zahlen sollen veranschaulicht werden

- Zum Beispiel: „,Wussten sie, dass ein Mann in 18 Monaten die Fläche eines Fußballfel­des rasiert?´ In 18 Monaten ein Fußballfeld rasieren – kann das stimmen?“ (ebd.: 134).

3. Größen und Zahlen sollen sowohl geschätzt und überschlagen, als auch veran­schaulicht werden

- Zum Beispiel: „Elf Jahre lang nur Marmeladen-Brote – stimmt es, dass die ge­gessene Marmelade den Kofferraum von 13 Autos füllen würde?“ (ebd.: 202).

4. Größen und Zahlen sollen durch Alltagswissen angenommen werden.

- Zum Beispiel: „Wie viel wiegen alle Schülerinnen und Schüler deiner Schule zu­sammen?“ (ebd.: 52).

5. Größen und Zahlen sollen anhand von Abbildungen ermittelt werden

- Zum Beispiel: „Wie viel Stoff benötigt man für dieses Trikot?4 “ (ebd.: 182).

6. Größen und Zahlen sollen gemessen, gewogen oder durch einfache Versuche gewonnen werden

- Zum Beispiel: „Wie viele Luftballons passen in deinen Klassenraum?“ (ebd: 56).

7. Größen und Zahlen sollen recherchiert werden

- Zum Beispiel: „Wie lange würdest du brauchen, um zu Fuß von Flensburg bis nach Frei­burg zu kommen?“ (ebd.: 106).

8. Ergebnisse sollen durch Experimente oder kleinen Versuchen kontrolliert werden

- Zum Beispiel: „Wie viel Wasser (alternativ: Kreide, Toilettenpapier, Bleistifte oder Kleb­stoff) wird jedes Jahr in eurer Schule verbraucht?“ (ebd. 48).

Durch diese Auflistung wird deutlich, dass Fermi-Aufgaben unterschiedlich sind und ver­schiedene Ansätze für ihre Lösung benötigen. Bei Fermi-Aufgaben erfolgt jedoch kaum eine genaue Zuord­nung ihrer zu den Aufgabentypen, da diese Ansätze aus mehreren Aufga­bentypen brauchen, um der Lö­sung näherzu­kommen. Zum Beispiel wird bei der Aufgabe „Wie lan­ge würdest du brauchen, um zu Fuß von Flensburg bis nach Frei­burg zu kommen?“ (Typ 7) die allei­nige Re­cherche nicht zur Lösung ausrei­chen. Diesbezüg­lich müssen die BuB sich überlegen, wie lange sie für eine gewisse Strecke zu Fuß benötigen, also somit ihr Alltags­wissen (Typ 4) mit einbinden, dies auf eine längere Entfernung ab­schätzen (Typ 1) und den Weg durch eine Skizze ver­anschaulichen (Typ 2 und 3).

3.4 Bearbeitung von Fermi-Aufgaben

Durch die vorherigen Kapitel wurde ein Überblick verschafft, was Fermi-Aufgaben sind und was sie ausmacht. In diesem Kapitel wird ihre Thematisierung im Unterricht nä­her be­trachtet.

3.4.1 Voraussetzungen und Stolpersteine

Der Einsatz von Fermi-Aufgaben wird von Lehrkräften mit Bedacht eingesetzt, da die Herausforde­rung, vor die die BuB stehen, viele Risiken besitzt. „Nicht zuletzt können solche Fermi-Fragen nur als Her­ausforderung an eine Klasse (und an die Lehrerin/den Lehrer) ge­stellt werden, die es gewohnt ist, im Mathematikunterricht of­fen, selbstständig, for­schend, probie­rend und kommuni­kativ zu arbei­ten“ (Bongartz und Verboom 2007: 148). Somit gilt es für die Lehrkräfte einen Raum zu schaffen, in der Voraussetzungen geschafft werden, um „Stolpersteine“ zu umgehen. Hierfür halten die Lehrkraft sich wäh­rend der Bear­beitung der Aufgaben zu­rück, um die BuB während Dis­kussions- und Denkphasen nicht zu unter­brechen. Statt­dessen nehmen sie die Rolle des Beob­achters ein, um die Arbeitsmuster der BuB zu analysieren, Förderbe­darf zu erkennen und Hilfestel­lungen zu leisten. Bei dieser Art von Aufga­be korrigieren Lehrkräfte während der Bearbeitung der Aufga­ben falsche Wege nicht, da die BuB diese selbstständig erken­nen und durch Einschätzungen der Plausibilität der Ergebnisse gegebe­nenfalls einen ande­ren Weg ein­schlagen sollen. Dabei kann es bei der Bearbeitung jedoch zu dem Fall kom­men, dass sie Ergebnisse ohne weitere Bedenken annehmen, obwohl diese realitäts­fremd sind. Um dies zu vermeiden, ziehen die Lehrkräfte im Vor­aus in Erwägung, die „not­wendigen in­haltlichen und methodi­schen Teilqua­lifikation im Unterricht isoliert zu thematisie­ren“ (Kaufmann 2006: 19). Darunter fällt gleichermaßen das Abschät­zen der Plausibilität und der Sinn­haftigkeit der Lösung und der Lö­sungswege. Des Weiteren zählen hierzu die Gliederung der Hauptfra­ge in kleine­re Teil­fragen und das Beschaffen von fehlenden Zahlen und Größen (vgl. ebd.: 19). Dar­über hinaus kann das Beschaffen fehlender Daten den BuB schwer fal­len, da sie an das „Frage-Rech­nung-Antwort“ Prin­zip gewöhnt sind. Ein erhöhter Anspruch besteht, wenn sie aus Texten zwi­schen rele­vanten und irre­levanten Informationen abwägen müs­sen (vgl. Braun 2013: 1). Hierbei kann es dazu kommen, dass wahl­los relevante und irrele­vante Zahlen durch Operatio­nen ver­knüpft werden, die zum aktuel­len Zeitpunkt im Unterricht ver­stärkt behan­delt werden. Damit dies vermieden wird, sol­len­ Lehrkräfte überprüfen, ob die BuB rele­vante und irre­levante Daten unterschei­den und ange­messene Opera­tionen wäh­len (vgl. Kauf­mann 2006: 19).

Nach Bongartz und Verboom (2007: 148) gehört gleichermaßen zu den Voraussetzungen die Selbstständigkeit der BuB dazu. In die­sem Punkt ist es wichtig, dass das selbständige Arbeiten in an­deren Kon­texten im Unterricht ange­eignet wurde, da Fermi-Aufga­ben größtenteils aus selbst­ständigen Arbeits­schritten bestehen und darauf aufbauen (vgl. Kauf­mann 2006: 19). Die Aufgaben können mit verschiedenen Sozialformen realisiert und verschiedene Leistungsty­pen und -stände kombiniert werden (vgl. Dü­ringer 2014: 3). Eine weitere Schwierigkeit der Fermi-Aufgaben ist der Transfer von der Sachebe­ne zur mathematischen Ebene. Ebenfalls gehört das Rückbeziehen von den Re­chenoperationen und Zahlen zurück zur Sachsituation dazu. Diese Fähigkeit zu übertra­gen, wird nur durch wieder­holtes Üben erlangt (vgl. Korff 2016: 12f).

Die Lehrkraft muss viel Geduld und Zeit für diese Aufgaben einplanen und darf gleichzeitig nicht die Geduld der BuB überstrapazieren. Zudem wird berücksich­tigt, wie lan­ge die BuB fä­hig sind, den anderen Gruppen bei der Lö­sungsvorstellung zuzuhören und ihr Interes­se dafür beizubehalten. Da­bei kann es zu Ver­wirrungen kommen, wenn mehr als eine Lö­sung existiert, da sie nichtsdestotrotz an eine feststehende Lö­sung gewohnt sind. Dies muss aufgegriffen wer­den. Es wird ih­nen ge­zeigt, wie sie eigene Lö­sungswege aus­drücken und sich ihrer eige­nen Lö­sungswege bewusst werden. Für sie ist es im selben Maße eine Um­gewöhnung aktiv am Stück lan­ge nachzudenken, statt wie gewohnt Mathematikaufga­ben karg abzuarbei­ten (vgl. ebd.: 10).

Die Lehrkraft ist verpflichtet „das Einüben der organisatorischen Öffnung (in Grup­pen zusammen­arbeiten, den Arbeitsprozess strukturieren, Informationen einholen, Aufga­ben vertei­len, etc.)“ zu gewährleisten und „Unterstützung der inhaltlichen Öffnung (Dar­stellungsformen, die es allen Kin­dern ermöglichen, ein Verständnis für die Aufgabe zu entwi­ckeln, Materialauswahl für unterschied­liche Zugänge, Austausch über Ergebnisse unter Nutzung verschiedener Repräsentations­formen etc.)“ anzubieten (Korff 2016: 13). Da die Kreativität zur Bearbeitung der Fermi-Aufgaben bean­sprucht wird, wird diese stetig gefördert. Bei Bedarf werden auch Unterrichtsin­halte, die für die Lö­sung der Aufgaben erforderlich sind und länger zurück­liegen, wiederholt (vgl. Müller 2001a: 3).

3.4.2 Ablauf beim Bearbeiten von Fermi-Aufgaben

Ein wichtiger Aspekt bei der Bearbeitung von Fermi-Aufgaben ist, dass „[...] von Anfang an Kompetenzen im Bereich Modellieren“ als Teil des Bildungsstandards und des Lehrplans Mathema­tik in NRW weiterentwickelt werden (Büchter et al. 2010: 6). Die Abläufe, die in diesem Kontext bei der Bear­beitung solcher Aufgaben durchlaufen werden, können anhand des Modellbildungskreis­laufes von Werner Blum5 veranschaulicht werden. Nach seinem Modell verläuft der Ablauf in sie­ben auf­einander fol­genden Schritten, worauf im Folgenden genauer eingegangen wird.

Im ersten Schritt machen die BuB sich die Ausgangssi­tuation und die Fragestel­lung der Fermi-Auf­gabe bewusst. Für diesen Schritt lesen sie sich die Aufgabenstellungen aufmerk­sam durch, sortie­ren Informatio­nen im Text nach ihrer Relevanz und schlagen gegebenenfalls un­bekannte Wörter nach­. Somit werden die Aufga­benstellungen aufgenom­men und mit eigenen Ge­danken verinner­licht. Hieraus wird ein selbst entwickeltes „Situations­modell“ kon­struiert (Blum 2006: 10ff).

Darauf folgt der zweite Schritt, welcher dazu dient, dass das entwickelte Situationsmodell nun be­arbeitet und daraus ein „Realmodell“ erstellt wird. „Das resultierende Situations­modell muss dann strukturiert und vereinfacht werden“ (ebd.: 10). Dabei ist mit „vereinfa­chen“ gemeint, dass Aussa­gen aus der Aufgabenstellung, die bereits im ersten Schritt verin­nerlicht worden sind, zu etwas Greifbarem und Alltäglichem umgeformt werden. Zum Bei­spiel können hierfür vereinfachte Skizzen oder Tabel­len genutzt werden, worin komplexere und unbekannte In­halte, wie zum Bei­spiel die Erde, auf eine konkrete Art, wie zum Beispiel als Kugel, dar­gestellt wer­den (vgl. ebd.: 10).

Da nun im zweiten Schritt aus dem Situationsmodell ein Realmodell entwickelt wurde, wird der dritte und vierte Schritt, das „Mathematisieren“ und das „Mathematisch arbei­ten“, eingeleitet (vgl. ebd.: 10). Beim „Mathematisieren“ geht es darum, dass die BuB aus dem Realmodell ein dazu pas­sendes mathematisches Modell finden und zuord­nen können. Somit wird die Sachsituati­on in einen mathema­tischen Kontext übersetzt (vgl. Franke 2003: 74f). In diesem mathematischen Mo­dell werden das vorhandene mathema­tische Wissen und be­kannte Verfahren der BuB auf die Pro­blemstellung angewendet, um die Problematik der Aufgabe zu lösen und um ein „mathe­matisches Resultat“ zu erhalten. Da­für wenden sie sogenannte „heuris­tische Strategien“ an, um struktu­riert die Aufgabe mathematisch zu bewältigen (vgl. ebd.: 24/75). Was ge­nau unter „heuristischen Stra­tegien“ verstanden wird, soll im nächsten Kapitel nä­her betrachtet wer­den.

Im fünften und sechsten Schritt wird das mathematische Resultat interpretiert und validiert. Dies­bezüglich kommt es zu einer „Rück-Interpreta­tion“, bei der das mathematische Resultat als Lösung der eigentlich Auf­gabenstellung und Sachsi­tuation eingesetzt und auf seine Plausibilität als Lösung dieser bewertet wird (Blum 2006: 10). Demnach wird das mathematische Resultat als reales Resul­tat beur­teilt. Fragestellungen, wie zum Beispiel „Waren die Annah­men vernünftig?“ und „Ist die Er­gebnis-Genauigkeit an­gemessen?“ kön­nen bei der Rück-Interpretation als helfender Impuls heran­gezogen werden (ebd.: 10). Zeigt sich beim Interpretieren und Vali­dieren des mathe­matischen Re­sultats seine Fehlerhaf­tigkeit, so wird das er­stellte Modell korrigiert und der Kreis­lauf erneut durch­laufen (vgl. ebd.: 10). Die Rückin­terpretation ist die größte Hürde und daher in glei­cher Weise eine Gren­ze des Models. Größtenteils inter­pretieren BuB das mathe­matische Ergebnis feh­lerhaft in das reale Ergebnis zu­rück oder machen be­reits bei der Ent­wicklung des mathema­tischen Modells aus dem Realmodell Fehler. „Die Einsicht in die Grenzen mathematischer Modellbil­dung sollte auch In­halt des Mathe­matikunterrichts sein“ (Franke 2003: 75).

Abschließend wird die Lösung mit dem durchlaufenem Lösungs­weg transparent vor- und darge­stellt (vgl. Blum 2006: 14). Wird der Modellkreislauf auf den Bear­beitungsprozess der Fermi-Aufga­ben übertragen, so kann dieser Prozess durch folgendes Verlaufsschema skizziert wer­den.6

3.4.3 Teilzielstrukturierung der Fermi-Aufgaben

„Die Kunst bei der Bearbeitung eines Fermiproblems ist, auf die richtige Weise zum Kern des Pro­blems auf systematische Weise zu strukturieren und aufzugliedern“ (Müller 2001a: 3). Dieses sys­tematische Gliedern und Strukturieren erfolgt im Sinne einer Aufteilung der Hauptfrage in einzelne Teilfragen und Lösungshil­fen, die zur Lösung notwendig und hilf­reich sind. Hierbei kön­nen die Teil­fragen und Lösungshil­fen nach Aufga­benform und Auf­gabenstellung variieren. Jedoch gibt es ein­heitliche Teilfragen und Lösungs­hilfen, die sich in den meisten Fermi-Aufgaben anwen­den lassen:

- „Suche alle Daten zusammen, die mit dem Problem zu tun haben könnten.
- Welche Zahlen und Größen werden gesucht?
- Frage vorwärts: Was kann ich aus den bekannten Daten berechnen?
- Frage rückwärts: Was müsste ich noch kennen, damit ich eine gesuchte Größe berech­nen kann?
- Zahlen und Werte, die man nicht kennt, kann man schätzen.
- Wenn du schätzen musst, frage dich: Was ist der kleinste oder größte vernünftige Wert?
- Überprüfe das Ergebnis: Ist es sinnvoll oder verständlich? Erscheint es eher zu groß oder zu klein?
- Kontrolliere: Was passiert, wenn ich größere oder kleinere Werte nehme?
- Überlege, bevor du rechnest: Wie wirkt sich ein kleinerer/größerer Wert auf das Ergeb­nis aus – wird es größer oder kleiner?“ (Büchter und Leuders 2005: 161).

Unter dem Aspekt wird ebenfalls von der Anwendung „heuristischer Stra­tegien“ ge­sprochen. Zu diesen gehören unter anderem die „Analo­giebildung“, bei der das Wissen aus ähnli­chen und be­reits gelösten Aufgaben zur Lösungs­findung genutzt wird, die „Suchraumeingrenzung“, bei der das Ergebnis in einem einge­grenzten Bereich erwartet wird, das „Vorwärts- und Rückwärts­arbeiten“, bei dem entweder zur Lösung hin oder von ihr aus ge­arbeitet wird, die „Ziel-Mittel-Ana­lyse“, bei der heuris­tische Hilfsmittel zur Lösung ausgesucht und genutzt werden und die „Bergsteigerme­thode“, bei der die Problema­tik zerlegt wird und diese einzeln gelöst werden (Franke 2003: 71ff).

Zusätzlich folgt aus der Teilzielstrukturierung, dass sich die Lö­sungen jeder Aufgabe bei jeder BuB unterscheiden kön­nen. Dem­nach verändert sich die Endlösung der Aufgabe bei jeder unterschiedli­che Lö­sung innerhalb der Teilzie­len, mit denen darauf folgend weiter gerechnet wird. Damit las­sen sich die Vielfalt und die Mehr­deutigkeit der Lösungen begrün­den (vgl. Burk­hardt 2017: 4).

3.4.4 Datenbeschaffung bei Fermi-Aufgaben

Wie genau die Ansätze, die in Kapitel 3.3 angedeutet wurden, aussehen und wie sich die BuB feh­lende Daten beschaffen, wird in diesem Kapitel thematisiert.7

Daten, die sich nicht aus der Alltagswelt der BuB gewinnen lassen, werden alter­nativ durch Recher­che und Nachforschungen gefunden. Da Fermi-Aufgaben sich größtenteils thema­tisch aus ihrer All­tagswelt widerspiegeln, stellt die Beschaf­fung von fehlenden Daten auf diesem Weg eine umsetz­bare Opti­on dar­. Trotzdem soll die Lehrkraft über das Alltags­wissen der BuB in­formiert sein, da sich Alltags­wissen bei jeder Person unterscheidet (vgl. Franke 2003: 112). Manche Daten werden nicht aus der Alltagswelt der BuB gewonnen. Sol­che Daten lassen sich alternativ durch Recherchearbeit und Nachfor­schungen finden. Diesbezüg­lich eignet sich die Recherche in elektronischen Medien und Printmedien (vgl. Bö­nig und Ruwisch 2004: 8). Darüber hinaus werden Experten, wie unter ande­rem Lehr­kräfte und El­tern, zur Gewinnung von Daten zu Hilfe genom­men.

Für einige Daten, wie beispielsweise der Flächeninhalt eines Raumes, lassen sich problemlos Durch­schnittswerte per Recherche finden. Jedoch gibt es für sol­che Fäl­le ebenfalls die Möglichkeit der selbstständigen Messung. Sowohl mit skalierten Messge­räten (beispielsweise Waagen und Maßbänder) als auch mit Standard­maßen (beispielsweise der Me­terstab) können die BuB die be­nötigten Daten von Objekten herausfinden. Bei großen Gegenständen, Flächen oder Räumen ist es ihnen außerdem möglich, diese Größen mit Ge­genständen kleinere Größe zu ermitteln, wäh­rend die Größe des kleineren Ge­genstandes durch ein Messgerät oder einem Standard­maß wieder­um genauer bestimmt werden kann (vgl. Schwarzkopf 2013: 9). Zum Beispiel nutzten SuS einer fünf­ten Klasse einen Besen zum Aus­messen der Höhe, Länge und Breite ihres Klassenraumes. Hier­für wur­de im Vor­aus die Länge des Besens per Lineal ermittelt. Problem­los wird die zu ermit­telnden Daten des Klassen­zimmers mit dem Besen bestimmt (vgl. Büchter et al. 2010: 2). Zu den Daten, die durch solche Messgeräte oder Standardmaße ermit­telt werden, zäh­len die Länge, das Gewicht, der Flä­cheninhalt, das Volumen und die Zeit­spanne (vgl. Schwarzkopf 2013: 10f).

Abschließend müssen fehlende Daten von den BuB ge­schätzt wer­den. „Schätzen ist das Ermitteln einer ungefähren Größenangabe durch ge­dankliches Verglei­chen mit eingeprägten Repräsentan­ten“ (Franke 2003: 254). Da­bei werden die Daten der Gegen­stände, die bestimmt werden sollen, gedank­lich mit be­kannten Repräsentan­ten verglichen, wobei zwischen direktem und indirektem Vergleich un­terschieden wird. Bei ei­nem direkten Ver­gleich werden Repräsen­tanten, die greifbar in der Nähe sind, ausgesucht. Hierfür wird des Öfteren die eigenen Körper­größe gewählt. Dagegen wird bei indirek­ten Vergleichen mental vorgegangen, bei dem bekann­te Größen aufgeru­fen und mit der Größe des zu bestimmenden Gegenstan­des abgeglichen werden. Da­für werden oftmals be­kannte Vergleichsgrößen, wie zum Beispiel die Körpergröße von Familienmitglie­dern verwendet (vgl. Franke 2003: 259f). Wichtig beim Schätzen ist es, dass einerseits „authentische Schätzanlässe“ im Kontext angeboten wer­den, damit sich die BuB bewusst sind, in welchem Verhältnis sie Ver­gleichsobjekte für eine genaue Schätzung benötigen und anderer­seits sie entscheiden müssen, wann eine Schät­zung ange­messen ist und ob ein geschätzter oder gemesse­ner Wert für die Weiterrech­nung übernom­men oder eher überschlagen werden sollte (Schwarzkopf 2013: 12).

3.4.5 Möglichkeiten der Umsetzung im Unterricht

In Kapitel 3.4.1 wurden die optimalen Voraussetzung in einer Klasse, sowie die möglichen Hinder­nisse bei Fermi-Aufgaben behandelt. Nun sol­len Möglichkeiten dargestellt werden, wie diese im Unter­richt, in dem Fall der Mathematikunterricht in der Grundschule, eingebunden und an­gewandt werden kön­nen. Um Fer­mi-Aufgaben im Unterricht zu thematisieren, kann bei der Pla­nung des Unterrichts die klassische, drei­teilige Struktur ei­ner Unterrichtseinheit vorge­nommen werden. Die Stunde wird mit ei­nem Einstieg eröffnet, worauf eine Arbeits­phase folgt. Zum Schluss wird die Unterrichtsein­heit mit einer Reflexionsphase abgeschlossen (vgl. Boysen et al. 2007: 12f).

Ein Vorteil von Fermi-Aufgaben ist ihre Variabilität beim Einsatz im Unterricht. Dadurch können sie in vielen Unterrichtskontexten, wie beispielsweise beim Einführen neuer Inhalte, im Mathematik­unterricht einge­setzt werden (vgl. Büchter et al. 2010: 9). Einerseits dienen sie als Einführungsauf­gabe, damit „pro­blemorientierte Einstiege, die sich schon noch dazu aus anschauli­chen Kontexten heraus entwi­ckeln“, gewährleistet werden (ebd.: 9). Anderer­seits werden sie als Zu­satzaufgaben genutzt, um Wissen der aktuellen Unterrichts­reihe zu ver­tiefen und „die Schüler mit der Bearbei­tung von Fermi-Aufgabe mehr und mehr vertraut zu ma­chen“ (Düringer 2014: 4). Zusätzlich kön­nen in diesem Kon­text Fermi-Aufgaben zum Wiederholen von Inhalten ge­nutzt wer­den, deren Be­handlung bereits längere Zeit zurückliegen. Dadurch wird überprüft, inwiefern sich besprochene In­halte verfestigten und diese bei Be­darf auf­gerufen werden (vgl. Büch­ter et al. 2010: 10). Zudem werden Fermi-Aufgaben nicht nur im Mathematikunterricht auf­gegriffen, sondern gleichfalls in of­fenen Unterrichtsfor­men, wie in Freiarbeits-, Wochenarbeits­phasen und Vertretungsstun­den sinn­voll ver­wendet (vgl. Burk­hardt 2017: 5). Sie können genauso vom Unter­richtsgeschehen ge­löst und in Projektarbeiten AGs vertieft wer­den (vgl. Büchter et al. 2010: 11).

Im Gegensatz zu partiellen Beschäftigung mit Fermi-Aufgaben, kön­nen eben­falls Unterrichtsreihen zu Fermi-Aufgaben vorbereitet werden. Diesbezüglich sollte die Einstiegs­stunde für die Gewöh­nung an die Herangehensweise der Aufgabenform in Anspruch ge­nommen werden. Zu diesem Zweck sollte die erste Fermi-Aufgabe im Ple­num gemeinsam mit der Klasse be­sprochen und vorge­nommen werden. Dadurch haben Lehrkräfte mehr Zeit für den Unterrichtseinstieg, da sowohl die Herangehens­weisen, als auch die Möglichkei­ten zur Beschaffung von Daten mit den SuS bespro­chen werden müssen. Während der darauf folgenden Aneignungsphase sol­len sie sich zuerst ei­genständig Ge­danken zur Lösung der Aufga­be machen, damit sie sich mit dem Sachver­halt der Auf­gabe inten­siver befassen. Dar­aufhin bilden sich Gruppen, um sich an die Aufgabe Schritt für Schritt her­anzuarbeiten. Am Ende werden die Lösun­gen und die Lösungswege im Ple­num ge­sammelt und auf ihre Plausibilität überprüft. Die­ser Reflexionsansatz eignet sich für die er­ste Un­terrichtseinheit, wo­durch die Wichtigkeit und die Wirkung des Lösungsweges hervorgeho­ben wird, dass es kei­ne ein­deutige Lö­sung gibt (vgl. ebd.: 10f). Bei der Wahl der Fermi-Aufga­ben als Unter­richtseinheit muss die Reihenfolge der Aufgaben be­achtet werden. Um die SuS an die Of­fenheit der Aufga­ben zu gewöhnen, werden Auf­gaben schritt­weise geöff­net, sodass zu Beginn mit wenig offenen Fermi-Aufgaben gestartet wird und im Lau­fe der Einheit die Offen­heit der Aufgaben ste­tig steigt (vgl. ebd.: 11). Nun werden die ver­schiedenen Phasen ei­ner Unter­richtsstunde dargestellt.

Durch die Einstiegsphase werden die SuS an die Aufgabenstellung der Fer­mi-Aufgabe hingeführt. Dieser Einstieg ist interessant und moti­vierend für sie, damit das Enga­gement steigt. Des Weiteren werden den SuS die Arbeits­abläufe ver­ständlich erklärt, sodass sie in der Ar­beitsphase selbststän­dig arbeiten. Gegebe­nenfalls werden wichtige Ergebnisse und Fazi­te aus der ver­gangenen Stunde wiederholt (vgl. Boysen et al. 2007: 12f). Dabei wiederho­lt die Lehrkraft in den ersten Unterrichts­einheiten die Her­angehensweise an Fermi-Aufgaben im All­gemeinen oder lassen diese wiederho­len, damit sich die SuS diese einprägen. Die Aufgaben wer­den am Anfang der Stunde mit verschie­denen Medien vorgestellt. Falls Material notwendig ist, wird dieses auf einen Material­tisch gestellt und dar­auf aufmerksam gemacht. Gege­benenfalls werden Impulse zum Einstieg aufge­führt. In die­ser Phase erfolgt die Gruppeneinteilung, wobei eine Gruppe maximal aus vier Kindern besteht (vgl. Burk­hardt 2017: 5). In diesem Kontext werden die Gruppen zufällig er­stellt, in­dem die Lehrkraft zum Beispiel auszählt oder Kar­ten austeilt, worauf die SuS mit dersel­ben Zahl eine Grup­pe bilden. Dadurch treten sie mit anderen SuS in Kontakt, mit denen sie seltener zusammenarbei­ten (vgl. Pla­menig und Schmut 2006: 18). Überdies eignen sich ebenso andere Sozial­formen, wie beispielswei­se Ein­zel- und Partnerarbeit für die Bearbeitung von Fermi-Aufgaben (vgl. Düringer 2014: 3). Ist die Klas­se mit der Sozialform „Gruppenpuzzle“ ver­traut, so können einzelne Unter­richtseinheiten glei­chermaßen in dieser So­zialform bear­beitet werden (vgl. Büchter et al. 2010: 20ff).

[...]


1 Für ein besseren Lesefluss wird im Verlauf der Arbeit die Abkürzung „SuS“ genutzt.

2 Im theoretischen Teil der Arbeit wird größtenteils von Bearbeiterinnen und Bearbeitern gesprochen, um hervorzuhe­ben, dass Fermi-Aufgaben sowohl von Kindern als auch von Erwachsene und Jugendliche bearbeitet werden kön­nen. Darüber hinaus wird die Abkürzung „BuB“ für ein besseren Lesefluss genutzt.

3 (vgl. Büchter et al. 2010: 8).

4 Siehe Abbildung 1.

5 Siehe Abbildung 2.

6 Siehe Abbildung 3.

7 (vgl. Burk­hardt 2017: 4).

Ende der Leseprobe aus 64 Seiten

Details

Titel
Welche mathematischen Bereiche eignen sich für Fermi-Aufgaben? Bestandsaufnahme, Entwicklung eigener Aufgaben und praktische Erprobung
Hochschule
Bergische Universität Wuppertal
Note
2,0
Autor
Jahr
2018
Seiten
64
Katalognummer
V1189736
ISBN (Buch)
9783346628084
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fermi-Aufgabe, Fermi, Fermi-Aufgaben, Bachelorarbeit, Lehrplan Mathematik, Mathematik Grundschule
Arbeit zitieren
Koray Eski (Autor:in), 2018, Welche mathematischen Bereiche eignen sich für Fermi-Aufgaben? Bestandsaufnahme, Entwicklung eigener Aufgaben und praktische Erprobung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1189736

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