Inhaltsbezogene Kompetenz:
Die Schüler: innen wenden quadratische Funktionen zur Lösung einer außermathematischen Problemstellung an, indem sie vom mathematischen Modell ausgehend auf realsituative Fragestellungen durch einen Wechsel von Normal- in Scheitelpunktsform schließen.
Prozessbezogene Kompetenz:
Die Schüler: innen validieren verschiedene mathematische Modelle, indem sie diese für die realsituative Problemfrage, ob ein Fußball über eine Mauer und direkt ins Tor geht, hinsichtlich ihrer Eignung vergleichen.
Inhaltsverzeichnis
1 Längerfristige Unterrichtszusammenhänge
1.1 Curriculare Legitimation der längerfristigen Unterrichtszusammenhänge
1.2 Lerngruppenanalyse
1.3 Übersicht über die längerfristigen Unterrichtszusammenhänge (tabellarisch)
1.4 Didaktischer Kommentar zu den längerfristigen Unterrichtszusammenhängen
2 Ziele der Stunde
2.1 Hauptziel der Stunde
2.2 Weitere Lernziele
3 Entscheidungen zur Gestaltung der Stunde
3.1 Sachanalyse
3.2 Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen
4 Geplanter Unterrichtsverlauf
5 Quellenverzeichnis
5.1 Literatur
5.2 Lehrpläne, Curricula und Lehrbuch
5.3 Internetquellen
5.4 Abkürzungsverzeichnis für den geplanten Unterrichtsverlauf (s. Kap. 4)
6 Anhang
6.1 Erwartungshorizonte
6.2 Materialien
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel der Arbeit besteht darin, Schülerinnen und Schüler dazu zu befähigen, quadratische Funktionen zur Lösung einer außermathematischen Problemstellung – der Flugbahn eines Freistoßes – anzuwenden und mathematische Modelle hinsichtlich ihrer Eignung zu validieren.
- Anwendung quadratischer Funktionen auf Realsituationen
- Modellbildung und Validierung mathematischer Funktionsgleichungen
- Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Normalform und Scheitelpunktsform)
- Kooperative Arbeitsformen und Förderung prozessbezogener Kompetenzen
- Kritische Reflexion mathematischer Modelle
Auszug aus dem Buch
3.1 Sachanalyse
Lerngegenstand der Stunde ist einerseits der exemplarische Vergleich gegebener quadratischer Funktionen des Typs f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 (1) mit der Einschränkung c = 0 und a < 0. Andererseits dienen die gegebenen Funktionen von Typ (1) als idealisierte Beschreibung der Schussbahn eines Fußballes, so dass es sich bei der Sache selbst um eine „eingekleidete Aufgabe“ zur Modellierung eines realen Sachverhalts handelt, wobei die Funktion f die Schusshöhe in Metern nach „x“-Metern Schussweite angibt (Greefrath 2007: 31). Für die genannten Einschränkungen gelten folgende innermathematischen Zusammenhänge, die durch den angestrebten Vergleich entdeckt werden können:
Satz 1: Die Nullstellen der zu f gehörigen Parabel liegen bei x1 = 0 und x2 = -b/a.
Beweis: Sei c = 0. Nach (1) gilt dann f(x) = ax² + bx = ax(x + b/a). Es folgt für f(x) = 0, dass ax = 0 oder x + b/a = 0 gelten muss, woraus Satz 1 folgt, da nach Voraussetzung a < 0.
Satz 2: Der Scheitelpunkt der zu f gehörigen Parabel liegt bei S(-b/2a | -b²/4a).
Beweis: Man nimmt einen Darstellungswechsel in die Scheitelpunktsform vor: ax² + bx = a(x² + 2 * b/2a * x + (b/2a)² - (b/2a)²) = a((x + b/2a)² - b²/4a²), wobei aus dem letzten Term der Scheitelpunkt abgelesen werden kann (vgl. LS9 2012: 12).
Korollar: Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist das „-a-fache“ Quadrat der x-Koordinaten des Scheitelpunkts.
Beweis: Mit Satz 2 folgt -b²/4a = -a * (b²/4a²) = -a * (-b/2a)².
Diese Verallgemeinerungen werden jedoch nicht für die Stunde anvisiert. Vielmehr sind zu entdeckende exemplarische Erkenntnisse durch den Vergleich vordergründig (s. hierzu auch Kap. 3.2). In der Stunde liegt der Fokus darauf, anhand des mathematischen Modells realsituative Problemfragen zu beantworten: So kann aus Satz 1 für die Realsituation gefolgert werden, dass die maximale Schussweite x2 = -b/a beträgt, unter der Annahme, dass der Abschuss an der Stelle x1 = 0 vorgenommen wird.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Längerfristige Unterrichtszusammenhänge: Darstellung der curricularen Einbindung und Analyse der Lerngruppe sowie Einordnung der Unterrichtsreihe.
2 Ziele der Stunde: Definition des Hauptziels sowie weiterer Lernziele bezogen auf fachliche und überfachliche Kompetenzen.
3 Entscheidungen zur Gestaltung der Stunde: Theoretische Herleitung des Lerngegenstands durch eine mathematische Sachanalyse sowie didaktisch-methodische Begründung der Unterrichtsplanung.
4 Geplanter Unterrichtsverlauf: Tabellarische Übersicht der geplanten Phasen, Lernschritte und der eingesetzten Lernorganisation.
5 Quellenverzeichnis: Auflistung der verwendeten Fachliteratur, Lehrpläne sowie Internetquellen.
6 Anhang: Detaillierte Ausarbeitung der Erwartungshorizonte für die einzelnen Unterrichtsphasen sowie die verwendeten Unterrichtsmaterialien.
Schlüsselwörter
Quadratische Funktionen, Freistoß, mathematische Modellierung, Funktionsdarstellung, Scheitelpunktsform, Nullstellen, prozessorientierter Unterricht, kooperatives Lernen, Fachdidaktik Mathematik, Modellvalidierung, operative Prinzip, Problemlösestrategien, Lernprodukt, Unterrichtsplanung, Kompetenzorientierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser schriftlichen Arbeit primär?
Die Arbeit dokumentiert die Planung einer Unterrichtsstunde im Fach Mathematik für die Klasse 9a, in der quadratische Funktionen zur Modellierung einer realen Fußball-Freistoßsituation genutzt werden.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Im Zentrum stehen die Eigenschaften quadratischer Funktionen, die Modellierung von Realsituationen, der Wechsel zwischen Darstellungsformen und die Evaluation der Modellgüte.
Was ist das primäre Ziel der Unterrichtsstunde?
Die Schülerinnen und Schüler sollen quadratische Funktionen anwenden, um zu prüfen, ob ein Freistoßball die physikalischen Anforderungen (Überqueren der Mauer, Treffen des Tores) erfüllt.
Welche wissenschaftliche Methode liegt der Planung zugrunde?
Es wird ein konstruktivistischer Ansatz verfolgt, der durch forschend-entdeckendes Lernen und die Nutzung digitaler Werkzeuge wie GeoGebra geprägt ist.
Was wird im Hauptteil der Unterrichtsvorhaben behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der Analyse von Parabelgleichungen, der Herleitung mathematischer Eigenschaften und der kritischen Validierung dieser Modelle an der Realität.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren das Konzept?
Wesentliche Begriffe sind Modellbildung, Validierung, prozessbezogene Kompetenzen, kooperative Arbeitsformen und individuelle Förderung.
Warum wird im Unterricht das „Ich-Du-Wir-Prinzip“ eingesetzt?
Diese Methode fördert zunächst die individuelle Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand, ermöglicht den Austausch in Partnerarbeit und führt schließlich zur gemeinsamen Ergebnissicherung.
Welche Rolle spielt die kritische Reflexion des Modells?
Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische Modelle Vereinfachungen der Realität darstellen, und lernen, die Grenzen dieser Abstraktion fachlich fundiert zu bewerten.
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- Christian Summerer (Author), 2021, Quadratische Funktionen angewendet auf den Freistoß im Fußball (Mathematik, 9. Klasse), Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1212075
