Aspekte von "Fluid within Fluid"-Modellen

Aspekte von „Fluid within Fluid“ Modellen

Michel Felgenhauer, Berlin 2022

Eine praktikable Phänomenologie der Fluid within Fluid-Tubes (FwF) fußt einerseits auf der Wirbelphysik von Helmholtz und sie respektiert auf der anderen Hand die Definition Lagrange Kohärenter Systeme Hallers.

Die Phänomenologie der Fluid within Fluid-Tubes hadert mit beiden etablierten Theorien. Der Aufsatz stellt Aspekte tradierter Wirbelmodelle und die Theorie Lagrange Kohärenter Systeme zusammen und stell jene einer Phänomenologie der Fluid within Fluid-Tubes in Aussicht.

Fundamentale Annahmen.

Wirbel bezeichnen in der Strömungslehre eine drehende Bewegung von Fluid-elementen. Leonhard Euler[1] führt um 1755 die Bewegungsgleichung einer reibungslosen inkompressiblen Flüssigkeit ein und begründet damit die moderne Fluiddynamik. Er benennt das fundamentale Konzept des Wirbel-Vektors, der heutigen Rotation (V x ). Auf Joseph-Louis Lagrange[2] geht die für Strömungsfelder bedeutsame Potentialtheorie[3] zurück, aus der sich um 1800 die Feldtheorien[4] entwickeln. Lagrange veröffentlicht wissenschaftlichen Arbeiten über Differentialgleichungen und Variationsrechnung. William Thomson [5](Lord Kelvin) findet das Zirkulationstheorem und steht Mitte des 19ten Jahrhunderts in Korrespondenz mit Hermann von Helmholtz in Berlin, der die Stabilität von Wirbeln in Raum und Zeit in reibungslosen Flüssigkeiten erkennt. Helmholtz‘s Fundamentalsatz der Kinematik (1858) betrifft die allgemeine Ortsveränderung eines deformierbaren Körpers hinreichend kleinen Volumens als Summe aus Translation, Rotation und Deformation. Der Satz ist unmittelbar anwendbar auf das Bewegungsgeschehen von fadenförmigen Strukturen (Wirbeln). Die drei Wirbelsätze wurden von Hermann von Helmholtz um 1859 formuliert:

Erster Helmholtz'scher Wirbelsatz:

In Abwesenheit von wirbelanfachenden äußeren Kräften bleiben wirbelfreie Strömungsgebiete wirbelfrei.

Zweiter Helmholtz'scher Wirbelsatz:

Fluidelemente, die auf einer Wirbellinie liegen, verbleiben auf dieser Wirbellinie. Wirbellinien sind daher materielle Linien.

Dritter Helmholtz'scher Wirbelsatz:

Die Zirkulation entlang einer Wirbelröhre ist konstant. Eine Wirbellinie kann deshalb im Fluid nicht enden. Wirbellinien sind geschlossen, buchstäblich unendlich oder laufen auf den Rand.

Der erste Wirbelsatz bedeutet, dass sowohl die Zirkulation längs der Randkurve einer Fläche, die ganz auf dem Mantel einer Wirbelröhre liegt, verschwindet als auch, dass die Zirkulation verschiedener Querschnitte einer Wirbelröhre gleich ist. Der zweite Wirbelsatz besagt, dass Wirbelröhren zugleich Stromröhren sind, Wirbel an Materie (Fluid) anhaften und drittens, Teilchen, die einmal eine Wirbellinie gebildet haben, dies auch weiterhin tun (Kohärenz). Der dritte Wirbelsatz fordert örtliche und zeitliche Konstanz der Zirkulation in einer (und um eine) Wirbelröhre. Die Helmholtz'schen Wirbelsätze sind eine Grundlage der Physik der hier behandelten Lagrange Kohärenten „Fluids within Fluid-Tubes“. Ebenfalls interessant ist, dass die klassischen Wirbelmodelle Potentialwirbel, Festkörperwirbel, Rankine-Wirbel und Hamel- Oseen'scher-Wirbel[6] erst viel später formuliert wurden. Diese (Wirbelmodelle) und die die Helmholtz'schen Wirbeltheorie tradieren die herrschende Lehrmeinung und sollen hier kurz benannt werden, weil diese Wirbelmodelle zum Verständnis des inneren Milieus der Helm- holtz‘schen Wirbelfäden beitragen.

Der Begriff der „Wirbelfilamente“ knüpft unmittelbar an die Wirbeltheorie Helmholtzs an[7]. Vortex filaments bedienen die Helmholtz'sche Wirbeltheorie und postulieren eine klare Position gegen mögliche Modellerweiterungen: die Homogenität ihres inneren Milieus ist nicht verhandelbar. Die Theorie der Helmholt‘schen Wirbelfäden beharrt auf der zeitlichen Konsistenz der eines Wirbelfadens impliziten Zirkulation r=const. Aus dem englischen Sprachgebrauch ist die Versinnbildlichung einer Röhre, „Tube“ übernommen und wird fortan als „Fluid within Fluid Tubes (FwF)“ referiert. Zuletzt ist der Biot-Savart'sche[8] Ansatz die spezielle Formulierung einer allgemeinen Feldtheorie, die Maxwell[9] um 1855 für die entsprechenden Vorgänge in der Elektrodynamik als erster zusammengefasst.

Erweiterte Annahmen. Lagrange Kohärente Strukturen

Fluid within Fluid Tubes (FwF) sind zusammenhängende Systeme und sie besitzen eine Pfadabhängigkeit ihrer physikalischen Wechselwirkungs-Eigenschaften; sie sind Wirbelfäden im Sinne Helmholtz und gleichsam Lagrange Kohärente Strukturen!

Eine Theorie Lagrange Kohärenter Strukturen (LCS) wurde in den frühen 2000er Jahren am Lefschetz Center for Dynamical Systems der Brown University, später an der ETH Zürich, dort am Department of Mechanical and Process Engineering, entwickelt.

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