1984 veröffentlichte G.Adomian sein Buch "Solving Frontier Problems of Physics" [1]. In diesem Werk wird ein neues effektives Verfahren "The Decomposition method" vorgestellt, das Lösungen nichtlinearer Funktionalgleichungen beliebiger Art (Integralgleichungen, Differentialgleichungen, nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme, Differentialgleichungssysteme, ...) durch ein iteratives Approximationsverfahren berechnet. In der sich anschließenden Diskussion über die Qualität der Lösungen dieses Verfahrens, beteiligten sich maßgeblich Cherruault undAbbaoui [3]. In ihren Arbeiten wurden zum ersten mal Konvergenzaussagen der Zerlegungsmethode bewiesen. In dieser Arbeit wird zunächst eine von Himoun, Abbaoui und Cherruault [4] stammende Verallgemeinerung der Zerlegungsmethode vorgestellt, die auf den Arbeiten von Adomian[1] [2], Cherruault und Abbaoui [3] basiert. Danach wird dann das Verfahren auf den mehrdimensionalen Fall erweitert und eine von Darvishi und Barati [7] stammende Konvergenzaussage für nichtlineare Gleichungssysteme bewiesen. Die Modifikation des Zerlegungsvefahrens für diesen Fall basiert dabei auf Arbeiten von Babolian,Biazar und Vahidi [6]. Am Ende dieser
Arbeit werden numerische Beispiele aufgezeigt.
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Seminararbeit im Fachbereich Numerik
Die Adomian decomposition method zum Lösen nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme
Andy Stephan
Einleitung
1984 veröffentlichte G.Adomian sein Buch "Solving Frontier Problems of Physics" [1]. In diesem Werk wird ein neues effektives Verfahren "The Decomposition method" vorgestellt, das Lösungen nichtlinearer Funktionalgleichungen beliebiger Art (Integralgleichungen, Differentialgleichungen, nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme, Differentialgleichungssysteme, ...) durch ein iteratives Approximationsverfahren berechnet. In der sich anschließenden Diskussion über die Qualität der Lösungen dieses Verfahrens, beteiligt sich maßgeblich Cherruault und Abbaoui [3]. In ihren Arbeiten wurden zum ersten mal Konvergenzaussagen der Zerlegungsmethode bewiesen. In dieser Arbeit wird zunächst eine von Himoun, Abbaoui und Cherruault [4] stammende Verallgemeinerung der Zerlegungsmethode vorgestellt, die auf den Arbeiten von Adomian[1] [2], Cherruault und Abbaoui [3] basiert. Danach wird dann das Verfahren auf den mehrdimensionalen Fall erweitert und eine von Darvishi und Barati [7] stammende Konvergenzaussage für nichtlineare Gleichungssysteme bewiesen. Die Modifikation des Zerlegungsvefahrens f(?)ur diesen Fall basiert dabei auf Arbeiten von Babolian,Biazar und Vahidi [6]. Am Ende dieser Arbeit werden numerische Beispiele aufgezeigt.
1 Die Zerlegungsmethode von Adomian
In diesem Abschnitt wird das Prinzip der Zerlegungsmethode an einer allgemeinen Funktionalgleichung erläutert. Die ersten Ideen dazu entwickelte Adomian zu Beginn der 80er Jahre, jedoch ohne Beweisf(?)uhrung. Cherruault lieferte als erster das theoretisches Fundament f(?)ur das Zerlegungsverfahren, indem er es verallgemeinerte und hinsichtlich Konvergenzeigenschaften untersuchte.
Wir betrachten zu Beginn der Ausführungen allgemeine nichtlineare Funktionalgleichungen der Gestalt
[Formel nur in der Download-Version verfügbar]
und bezeichnen diese als die kanonische Form. Dabei ist N : H ! H ein nichtlinearer Operator auf dem Hilbertraum H und c ein bekanntes Element in H.
Die Idee der Zerlegungsmethode beruht auf der Linearisierung der nichtlinearen Terme.
Diese werden durch Adomian Polynome approximiert, wobei der nichtlineare Charakter von N erhalten bleibt.
Wir nehmen nun an, dass x und N(x) auf folgende Art linear zerlegt werden k(?)onnen:
[Formel nur in der Download-Version verfügbar]
Dabei ist (xi)i>=0 eine Folge in H und (Ai)i>0 die Folge der Adomianpolynome die abhängig von x0; x1; ::: ; xi sind. Durch Einsetzen der Zerlegungen (1.2) und (1.3) in (1.1) erh(?)alt man die modifizierte Funktionalgleichung
[Formel nur in der Download-Version verfügbar]
Die rechten Terme von (1.2) und (1.3) sind bisher noch unbestimmte Ausdr(?)ucke, daher kann man bespielsweise f(?)ur den Ansatz (1.2) folgende Plausibilit(?)atsbetrachtungen anstellen:
[Formel nur in der Download-Version verfügbar]
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- Quote paper
- Andy Stephan (Author), 2009, Die Adomian decomposition method zum Lösen nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/122654
