Fluid within Fluid Modellierung. Methoden für das FwF Computing

Methoden in der Fluid within Fluid -Modellierung Recipes in FwF Computing Michel Felgenhauer 2022

Der Aufsatz stellt Berechnungsgrößen für eine numerische Behandlung so genannter „Fluid within Fluid Systeme (FwF)“ zusammen. Die Modellbildung ist offen. Die Berechnung, das Modell und die Simulation erfolgt grundsätzlich für ein reguläres Fluid in einem dreidimen­sionalen Strömungsraum. Dennoch sind die „Rezepte“ von einfacher Art. Es sind nur wenige Gleichungen zu lösen, um eine beliebig konfigurierte Aufgabenstellungen mit vergleichs­weise hoher Auflösung und in vertretbarer Zeit, zu bearbeiten.

The paper compiles computational quantities for a numerical treatment of so-called "fluid within fluid systems (FwF)". The modeling is open. The calculation, the model and the simulation are basically done for a regular fluid in a three-dimensional flow space.

Nevertheless, the "recipes" are of a simple nature. Only a few equations have to be solved in order to process an arbitrarily configured task with comparatively high resolution and in reasonable time.

Universale Konzepte

Leonhard Euler¹ führt um 1755 die Bewegungsgleichung einer reibungslosen inkompressiblen Flüssigkeitein und begründet damit die Fluiddynamik wie wir sie heute sehen. Euler nennt das fundamentale Konzept des Wirbel-Vektors (vorticity vector), der heutigen Rotation (V x ). Joseph-Louis Lagrange² geht 1766 als Nachfolger von Leonhard Eulers an die Königlich­Preußische Akademie der Wissenschaften nach Berlin. Seine ersten wissenschaftlichen Arbeiten in Turin behandelten Differentialgleichungen und die Variationsrechnung. Auf Lagrange geht die für Strömungsfelder so bedeutsamen Potentialtheorie³ zurück, aus der sich um 1800 die Feldtheorien⁴ entwickeln. Sie sind das Fundament der Elektrodynamik und der analytischen Strömungsmechanik. Die Äquivalenz von elektromagnetischem Feld und Strö­mungsfeld geriet später beinahe in Vergessenheit oder war zumindest nicht Argumentation erster Wahl, so dass ich schmunzeln musste darüber, dass die hier referierten „Recipes of Fluid within Fluid Computing “ in meinen Reihen anfangs eine gewisse Verwunderung auslösten.

In der Elektrotechnik schreibt das Gesetz von Biot und Savart in 3D karthesischen Koordinaten eine vektorielle magnetische Feldstärke H = (Hx,Hy,Hz) als eine Funktion des elektrischen Stromes I [A]; in der Fluidmechanik schreibt das Gesetz von Biot und Savart in 3D karthesischen Koordinaten die induzierte Geschwindigkeit vi(u,v,w) [ms-[1]] als Funktion der Zirkulation T [m[2]s-[1]].

Elektrodynamik Fluidmechanik

H = (I/4%) • ij[2](r x ds) / r^{5 6} vi = (T/4%) • if[2](r x ds) / r[3] (R1)

Betrachten wir ein konkretes Beispiel. Das Gesetz von Biot und Savart in seiner idealisierten Form, kann auf eine praktische Aufgabe angewendet werden. Nach Integration und der Berechnung des Vektorprodukts über die geometrischen Abstände erhalten wir eine sehr übersichtliche Form für die im Zentrum der kreisrunden Leiterschleife erwirkte magnetische Feldstärke H [H]. Und als Äquivalent zum elektrodynamischen System sehen wir unmittelbar die in einer Ringwirbelstruktur mit dem Radius r erwirkte induzierte Geschwindigkeit vi[ms-[1]].

Elektrodynamik Fluidmechanik

H = I / 2r mit I[A], r[m] und vi = T / 2r mit T[m[2]s-[1]], r[m]

Dieserart universell, soll die Anwendung der mächtigen Feldtheorie gelingen, insbesondere die Übertagung des Gesetzes von Biot und Savart auf fluidmechanische Fragestellungen und genau jene zentrale Begrifflichkeit, wie sie in der Elektrodynamik und der Fluidmechanik verwendet wird und wie sie diesen Aufsatz motiviert: „die Induktionswirkung auf ein Feld“.

Zu Beginn des 19ten Jahrhunderts sind die theoretischen Fundamente einer Wirbeltheorie bereits Stand der Wissenschaft. William Thomson⁷ (der spätere Lord Kelvin) findet das Zirkulationstheorem und steht in den 50er Jahren des 19ten Jahrhunderts in Kontakt und Korrespondenz mit Hermann von Helmholtz in Berlin, der die Stabilität von Wirbeln in Raum und Zeit in reibungslosen Flüssigkeiten erkennt. Helmholtz‘s Fundamentalsatz der Kinematik (1858) betrifft die allgemeine Ortsveränderung eines deformierbaren Körpers hinreichend kleinen Volumens als Summe einer Translation, einer Rotation je einer Deformation nach drei zueinander senkrechten Richtungen und ist unmittelbar auf das Bewegungsgeschehen von Wirbeln anwendbar. Interessanterweise behandelt die Helmholtz’schen Wirbeltheorie fadenförmige Strukturen. Die drei Wirbelsätze wurden von Hermann von Helmholtz um 1859 formuliert:

Erster Helmholtz’scher Wirbelsatz:

In Abwesenheit von wirbelanfachenden äußeren Kräften bleiben wirbelfreie Strömungsgebiete wirbelfrei.

Zweiter Helmholtz’scher Wirbelsatz:

Fluidelemente, die auf einer Wirbellinie liegen, verbleiben auf dieser Wirbellinie.

Wirbellinien sind daher materielle Linien.

Dritter Helmholtz’scher Wirbelsatz:

Die Zirkulation entlang einer Wirbelröhre ist konstant. Eine Wirbellinie kann deshalb im Fluid nicht enden. Wirbellinien sind geschlossen, buchstäblich unendlich oder laufen auf den Rand.

Der erste Wirbelsatz bedeutet, dass sowohl die Zirkulation längs der Randkurve einer Fläche, die ganz auf dem Mantel einer Wirbelröhre liegt verschwindet, als auch die Zirkulation verschiedener Querschnitte einer Wirbelröhre gleich ist. Der zweite Wirbelsatz besagt, dass Wirbelröhren zugleich Stromröhren sind, Wirbel an Materie (Fluid) anhaften und drittens, Teilchen, die einmal eine Wirbellinie gebildet haben, dies auch weiterhin tun (Kohärenz). Der dritte Wirbelsatz fordert örtliche und zeitliche Konstanz der Zirkulation in einer (und um eine) Wirbelröhre. Die Helmholtz’schen Wirbelsätze sind eine Grundlage der Physik der hier behandelten Lagrange Kohärenten „Fluids within Fluid-Systeme“. Relevant in ist, dass die Helmholtz’schen Wirbeltheorie und die klassischen Wirbelmodelle Potentialwirbel, Fest­körperwirbel, Rankine-Wirbel und Hamel-Oseen’scher-Wirbel⁸ alle modernen Wirbelmodelle tradieren und zum Verständnis des inneren Milieus von Wirbelfäden allgemein beitragen.

Fadenförmig eindimensionale Lagrange Kohärente Systeme (LCS) mit der impliziten Eigenschaft „Zirkulation“ nenne ich „Fluids within Fluid“ (FwF)⁹. Auf den ersten Blick erscheint diese Nomenklatur überflüssig (welch ein schönes Wortspiel), denn mit den Helmholtz‘schen Wirbelsätzen wäre fast alles bereits erklärt.

Eine Theorie Lagrange Kohärenter Strukturen (LCS) wurde in den frühen 2000er Jahren am Lefschetz Center for Dynamical Systems der Brown University, später an der ETH Zürich, dort am Department of Mechanical and Process Engineering, entwickelt. Das Akronym LCS (Lagrange Coherent Structures) stammt von Haller & Yuan (2000). In Zürich wusste man aus der experimentellen Vergangenheit, dass innerhalb fluidischer Regime Systemgrenzen im Sinne von „dynamischen Oberflächen“ existieren, die zusammenhängende Strukturen von der restlichen Strömung separieren. Diese Systeme entwickeln eine komplexe körper- und richtungsbezogene Dynamik innerhalb einer Strömung. Hallers Forschung ging der Frage nach, ob es gelingen könnte, Mischung, Entmischung und Massetransport in und um Lagrange Kohärenter Systeme in komplexen fluidischen Systemen vorherzusagen oder sogar zu beeinflussen. Es wurden im Zuge der Theoriebildung nichtlineare dynamische (System-) Methoden entwickelt, um komplexe Probleme in der angewandten Wissenschaft und der Technik zu lösen.

Die hier erörterte Phänomenologie über Fluids within Fluid deutet Lagrange Kohärente Objekte als Strukturen, die zirkulationsbehaftet sind, in einem Strömungsfeld separiert auftauchen und mit diesem in Wechselwirkung stehen. Sie sind von ihrem Wesen her Wirbelfäden im Sinne der Helmholtzschen Wirbeltheorie und gleichsam Fluidische Trajek- toren, wie Haller sie beschreibt. Lagrange Kohärente Fluids within Fluid platzieren Induktionswirkungen im umgebenden Strömungsfeld, sie „organisieren“ die Strömung. Ursache der Induktionswirkungen ist das dem Lagrange Kohärenten Objekt einbeschriebene Binnenmilieu, darunter die Zirkulation, die ihrerseits aus einem Wechselwirkungsgeschehen entstammt.

Wirbelliniensegmente und Fluid within Fluid Systeme

Frühe numerische Lösungen für Auftriebsströmungen basieren auf Wirbelverteilungs­lösungen der Auftriebsflächengleichungen etwa dem Traglinienverfahren¹⁰. Berechnet werden dort meist ebene Strömungsaufgaben. Die erste praktikable Theorie zu Beschreibung der aerodynamischen Eigenschaften eines Tragflügels wurde von Ludwig Prandtl¹¹ in Göttingen um 1911 bis 1918 entwickelt. Die Voraussagen von Prandtls Theorie sind so gut, dass sie bis heute für erste Trendbestimmungen bei der Flügelauslegung Anwendung findet. Prandtl's Überlegungen waren folgende: Auf einen Wirbelfaden der Stärke r, der an eine feste Position gebunden ist, wirkt gemäß des Kutta-Joukowski -Theorems¹² eine Kraft.

Kraft X = p v- r [Nm-[1]].

Die Kraft X ist einer Streckenlast vergleichbar. Der Satz von Kutta-Joukowski beschreibt die Proportionalität des dynamischen Auftriebs zur Zirkulation r. X ist in diesem Sinne eine Kraft Auftrieb pro Spannweite; v- ist bekanntermaßen die Geschwindigkeit der ungestörten

Strömung. Der gebundene Wirbel unterscheidet sich von einem freien (pfadbehafteten) Wirbel der mit der Strömung mitbewegt wird. Der freie, pfadbehaftete Wirbelfaden ist ziemlich genau das Modell, das die Phänomenologie der Fluids within Fluid beschreiben will.

Eine Kraft auf einen Wirbelfaden (Kraft X = pv- r [Nm-[1]])?

Wie hat man so etwas vorzustellen?

Der Satz von Kutta-Joukowski ist in der Strömungsmechanik elementar und wird, wie alles was man in der realen Physik für elementar hält, in der modernen Literatur entsprechend lapidar zitiert. Dabei bedient sich Prandtl' eines überaus raffinierten Tricks, der - so geht es mindestens mir - in der Regel wenig verstanden, aber fast immer überlesen wird. Prandtls Ansatz wendet Kuttas Modell einer infiniten, Auftrieb erzeugenden Tragfläche auf ein finites Teilstück eines „Ersatzmodells“ an. In der Welt der Potentialtheorie ist aber genau jedes Ding! ein Auftrieb erzeugendes Etwas!, weil man mit den damals hoch in Konjunktur stehenden Mitteln der konformen Abbildung Kreise in Ellipsen, Platten oder wunderschön anmutende Flugzeugprofile „verwandeln“ kann. Dabei sind, nebenbei bemerkt, die holomorphen Funktionen der Gauß‘schen Zahlenebene auch gerade wieder dermaßen elementar, dass sie in der modernen Argumentation ebenso lapidar als verfügbar existierendes Grundwissen überlesen und/oder überschrieben wird. Das gleiche gilt für die Blasiusschen Formeln.

Die 1. Blasiussche Formel gibt den dynamischen Auftrieb und die zweite das Drehmoment an, die ein Tragflügel in der Strömung erfährt, nämlich:

Xx = (- p/2) of[2]" [(vx[2] - vy[2]) dy - 2 vx-vy-dx]

Xy = (- p/2) of[2]" [(vx[2] - vy[2]) dx + 2 vx-vy-dy] [Nm-[1]]

Ich schreibe die 1. Blasiussche Formel nicht deshalb auf, weil sie uns in der Argumentation um Fluids within Fluid sonst fehlen könnte, man würde dann auf die Literatur verweisen, nein, ich zitiere die Blasius-Form ihrer Schönheit wegen. Und ich habe mir erlaubt, sie mal gleich für eine Kreiszylinderkontur zu schreiben, eine Formulierung, die die verallgemeinerte Blasius­Form (die aus den Lehrbüchern) modifiziert. Die Kraft X Ist wieder so eine Art Streckenlast [N/m], wie wir sie aus der technischen Mechanik kennen und vx und vy die (reellen) Komponenten der örtlichen Geschwindigkeit und die Dichte p die (konstante) Dichte des Mediums. Das Integral of[2]" ist das Linien-Integral sf dxdy über die Kontur s eines beliebigen Körpers in der xy-Ebene, seines Schnittes, hier eines Kreiszylinders. Die 2. Blasiussche Formel, sie determiniert das Drehmoment um den Kreismittelpunkt, ist noch schöner, weil eleganter. Das Gesagte gilt übrigens auch für die Potentialtheorie selbst. Sie ist die mathematische Voraussetzung für die dreidimensionale Behandlung des Wirbelfadens und damit für eine Modellbildung über Fluids within Flud Systeme. Die Herleitung der Formel von Biot und Savart aus der Potentaltheorie wurde bereits detailliert beschrieben¹³, die Grundlagen der Stromfadentheorie, elementare und überlagerte Potentialströmungen und weitgehende Verweise sind angeführt in Hütte (2oo4) .

Die dreidimensionale Behandlung eines Wirbels ist prinzipiell durch die Verwendung von finiten Wirbelliniensegmenten mit konstanter Stärke möglich. Prandtls Ansatz erweist sich sobald als sehr leistungsfähig für unsere Aufgabenstellung; in der Analysepraxis der Aerodynamik wird das Verfahren der Wirbelliniensegmente zur Modellierung des Flügels oder des Nachstroms verwendet. Hier wird das Verfahren der „finiten Wirbelliniensegmente“ auf Fragestellungen der fluidmechanischen Geschwindigkeitsinduktion durch Lagrange Kohärente Fluids within Fluid Systeme angewendet. Dazu wird ein finites Wirbelliniensegment betrachtet, das von einem Punkt im Feld Pi nach Pi+1 führt. In den FwF-Modellen wird ein Wirbelfaden durch ein dreidimensionales (Koordinaten-) Polygon P beschrieben; numerisch gesehen also eine Liste von Punkten, die abschnittweise Wirbelliniensegmente bilden. Pi und Pi+1 begrenzen ein eindimensionales Wirbelliniensegment und ihre beiden Schnittufer repräsentieren Quell-punkte Q entlang eines FwF-Fadens. Die Induktionswirkungen findet man kumuliert an den Aufpunkten A an jeder Stelle des Feldes und speziell die an diesen Orten die durch das Wirbelsegment induzierte Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeiten in den Aufpunkten A haben also ihre Ursache in den Induktionswirkungen aus den Quellpunkten Q des Wirbelfadenpolygons P.

Die induzierte Geschwindigkeit im Feld ist kumulativ. Einen Induktionsbeitrag leiste jedes Segment des Lagrange Kohärenten FwF-Wirbelfadens das ein produktiver Bereich der durch das Polygon diskretisierten Wirbellinie ist. Jedes Segment ist finit und soll eine beliebige Orientierung im dreidimensionalen (x,y,z)-Raum besitzen: die lokale Induktionswirkung ist demnach pfadabhängig, die Zirkulation sei (zunächst) konstant und die durch ein Wirbelsegment induzierte Geschwindigkeit hat tangentiale Komponenten. Das Gesetz von Biot und Savart liefert für ein Wirbelsegment konstanter Zirkulation die induzierte Geschwindigkeit Avi.

Avi = (r/4/%) • ( (ds x r) / r[3] ) (R2)

Die induzierte Geschwindigkeit Avi ist ein Beitrag zu der (am Ende einer mathematischen Prozedur, der Iteration über das Feld) kumulierten Größe im Raum. Wir suchen die gesamte in das Feld induzierte Geschwindigkeit vi=(u,v,w) an jedem Aufpunkt A(x,y,z). Die Kompo­nenten (u,v,w) sind die Geschwindigkeitskomponenten an einem Aufpunkt A(x,y,z) im Feld. Für das FwF-Objekt wird nunmehr nicht nur ein singulärer Quellpunkt identifiziert, sondern von einem finiten FwF-Segment mit der Länge ds ausgegangen. Das FwF-Objekt besitzt die (zunächst) konstante Zirkulation r und ist richtungsbehaftet. Die Richtung folgt aus der Position der beiden Enden der finiten Quelle Qn und Qn+1, so dass beispielsweise die Punkte P1 und Pn+1 identifiziert werden. Wenn das Wirbelsegment FwF von Punkt P1 nach Punkt P2 reicht, kann die induzierte Geschwindigkeit v1-2 an einem beliebigen Aufpunkt A im Feld ermittelt werden; das beschreibt die Gleichung:

vi-2 = (r/4/%) • ((r i x r 2)^rA)/ I r i x r z l[2]) • ((r i/ri) - (r 2/r2)) (R3)

Diese Form ist insofern relevant, weil im numerischen Modell die Quellpunkte separat, also komponentenabhängig ansprechen werden. Behalten wir also die vektorielle Größe r und die Komponenten von r an jedem Ort im Feld, also r: (ru,rv,rw), im Auge. Im Feld verortet man sodann das finite, eindimensionale Teilsystem über eine Anfangs- und einen Endpunkt an den Rändern des Submodells. An den Rändern des finiten Abschnitts ds und den dortigen Punkten Pi und P2 werden die vektoriellen Produkte etwas unübersichtlich. Für die numerische Berechnung im kartesischen Euler-System, in dem die (x, y, z)-Werte der Punkte Pi, P2 und dem Aufpunkt A gegeben sind, kann die Geschwindigkeit in folgenden Schritten berechnet werden. Wir berechnen die vektoriellen Produkte der Komponenten:

[...]

¹ Leonhard Euler (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; + 7. September in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur. https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard Euler

² Joseph-Louis de Lagrange (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; + 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom. https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis Lagrange

³ Die Anfänge der Theorie gehen auf den italienischen Mathematiker und Astronomen Joseph-Louis Lagrange, den Engländer George Green und schließlich Carl Friedrich Gauß zurück. Die Feldtheorien haben sich aus der um 1800 entstandenen Potentialtheorie des Erdschwerefeldes entwickelt.

⁴ Der Feldbegriff ist fundamental zur Beschreibung physikalischer Phänomene. Man unterscheidet 1. Skalares Feld S, (z.B. die Temperatur, die Dichte, das elektrische Potential usw.), 2. Vektorielles Feld V, gegeben durch 3

⁵ (z.B. die Kraft, die Geschwindigkeit, die elektrische Feldstärke usw.) 3. Tensorielles Feld T,

⁶ (z.B. die mechanische Flächenspannung usw.)

⁷ William Thomson, Baron Kelvin oder kurz Lord Kelvin, OM, GCVO, PC, FRS, FRSE, (* 26. Juni 1824 in Belfast, Provinz Ulster, Vereinigtes Königreich Großbritannien und Irland; + 17. Dezember 1907 in Netherhall bei Largs, Schottland) war ein britischer Physiker auf den Gebieten der Elektrizitätslehre und der Thermodynamik. Die Einheit Kelvin wurde nach William Thomson benannt, der im Alter von 24 Jahren die thermodynamische Temperaturskala einführte. Thomson ist sowohl für theoretische Arbeiten als auch für die Entwicklung von Messinstrumenten bekannt. https://de.wikipedia.org/wiki/William Thomson, 1. Baron Kelvin

⁸ Oseen studierte ab 1896 an der Universität Lund, wo er 1900 das Lizenziat ablegte. Er studierte außerdem in Göttingen. 1902 wurde er Dozent für Mathematik und schließlich zwischen 1904 und 1906, sowie 1907 und 1910 stellvertretender Professor für Mathematik. Von 1909 bis 1933 war Oseen Professor für Mechanik und Mathematische Physik an der Universität Uppsala. 1921 wurde er Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften sowie 1933 Vorstand dessen Nobelinstitutes, das vorher unter Svante Arrhenius seinen Schwerpunkt in physikalischer Chemie hatte und sich mit Oseen auf theoretische Physik ausrichtete. 1924 wurde er korrespondierendes Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften.

⁹ Felgenhauer, Mi. (2021). Implicite Coherent Fluid Systems. Fluid within a Fluid. GRIN-Verlag GmbH München, ISBN(e-Book): 9783346407030. ISBN (Buch): 9783346407047, VNR: v1012490

¹⁰ Dienst, Mi. (2016) Fast Fluid Computation. Das Traglinienverfahren zur Analyse einfacher Tragflächen. GRIN­Verlag GmbH München, ISBN (e-Book): 978-3-668-21346-3, ISBN (Buch): 978-3-668-21347-0

¹¹ Ludwig Prandtl (* 4. Februar 1875 in Freising; + 15. August 1953 in Göttingen) war ein deutscher Ingenieur. Er lieferte bedeutende Beiträge zum grundlegenden Verständnis der Strömungsmechanik und entwickelte die Grenzschichttheorie. https://de.wikipedia.org/wiki/Ludwig Prandtl

¹² Der Satz von Kutta-Joukowski nach anderer Transkription auch Kutta -Schukowski, Kutta-Zhoukovski oder englisch Kutta-Zhukovsky, beschreibt in der Strömungslehre die Proportional ität zwischen dynamischen Auftriebs und Zirkulation. Martin Wilhelm Kutta, genannt Wilhelm Kutta, (* 3. November 1867 in Pitschen, Oberschlesien; + 25. Dezember 1944 in Fürstenfeldbruck) war ein deutscher Mathematiker. Nikolai Jegorowitsch Schukowski (17. Januar 1847greg. in Orechowo, Gouvernement Wladimir; + 17. Mä rz 1921 in Moskau) war ein russischer Mathematiker, Aerodynamiker und Hydrodynamiker. Er gilt als Vater der russischen Luftfahrt.

¹³ Felgenhauer, Mi. (2o22). Zur Fluids within Fluid Phänomenologie. Thoughts on a FwF Phenomenology. GRIN­Verlag GmbH München, ISBN(e-Book): 9783346595799 ISBN (Buch): 97833465958o5, VNR: v1172544