Gravitationswellen - Grundlagen, Entstehung und Detektion

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1 Einleitung

Don’t try to describe motion relative to faraway objects. Physics is only simple when analyzed

”

locally. And locally the world line that a satellite follows [in spacetime, around the Earth] is already as straight as any world line can be. Forget all this talk about ” deflection“ and ” force

of gravitation“. I’m inside a spaceship. Or I’m floating outside and near it. Do I feel any force of gravitation“? Not at all. Does the spaceship ” feel“ such a force? No. Then why talk

”

about it? Recognize that the spaceship and I traverse a region of spacetime free of all force. Acknowledge that the motion through that region is already ideally straight.“ [1, Kap. 1.1.]

Ohne Zweifel stellt die Allgemeine Relativit¨ atstheorie eine der elegantesten und revolution¨ arsten Theorien der Physik dar. Der entscheidende Schritt, Gravitation als etwas Fundamentaleres als eine bloße Kraft“, n¨ amlich als Kr¨ ummung der Geometrie der Raumzeit aufzufassen, zog weitreichende interessante

”

und faszinierende Konsequenzen nach sich. Bis heute sind zahlreiche beeindruckende Best¨ atigungen Einsteins wahrscheinlich bedeutsamster Leistung erfolgt, einige davon (Merkurpr¨ azession, Rotverschiebung) wurden von ihm selbst vorgeschlagen.

Heute ist die Allgemeine Relativit¨ atstheorie sowohl in der modernen Astrophysik als auch in unserem Alltag (z.B. relativistische Korrekturen in GPS - Signalen) bereits fest verankert.

Nach den Erkenntnissen der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie wurden viele faszinierende Ph¨ anomene und Folgerungen vorgeschlagen. Prominentestes Beispiel hierzu ist wohl das Schwarze Loch, auch bekannt sind der Gravitationslinseneffekt, die Gravitationsrotverschiebung und die gravitationsbedingte Zeitdilatation. Ein weniger bekanntes Ph¨ anomen, das aber bereits von Einstein selbst in seiner Originalpublikation vorgeschlagen wurde, sind Gravitationswellen. Sie stellen Ersch¨ utterungen der Raumzeit selbst dar. Wie die Kreise, die ein Stein, der ins Wasser f¨ allt, zieht, so ist auch das Universum mit solchen ” Kreisen“

extremer astrophysikalischer Ereignisse wie Supernovae oder dem Verschmelzen zweier Schwarzer L¨ ocher oder Neutronensterne erf¨ ullt.

Wie elektromagnetische Strahlung ist Gravitationsstrahlung ebenfalls an kein Medium gebunden und bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit fort. Als Ersch¨ utterungen der Geometrie der Raumzeit selbst sind sie jedoch an keine Art der Wechselwirkung gebunden und k¨ onnen durch ihre geringe Kopplung beinahe alles ungehindert durchdringen.

Im Folgenden sollen die Grundlagen f¨ ur die Beschreibung von Gravitationswellen, das mathematische Repertoire der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie, kurz erl¨ autert werden. Im Weiteren soll die Wellenl¨ osung aus der linearisierten Version der Einsteinschen Feldgleichung demonstriert werden und Eigenschaften wie Eichinvarianz, Transversalit¨ at und Polaristaionsrichtungen beschrieben werden. Fortsetzend werden dann Strahlungsnatur und m¨ ogliche Quellen von Gravitationsstrahlung und zu guter Letzt M¨ oglichkeiten des Nachweises von Gravitationswellen behandelt.

2 Konventionen

Vor der Behandlung der mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie sollen noch einige oft verwendete Konventionen erl¨ autert werden.

2.1 Einheiten

Es ist weitgehend ¨ ublich, in der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie geometrische Einheiten mit c = G = 1 zu verwenden. Dabei bezeichnet c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und G die Gravitationskonstante. In weiterer Folge werden diese Konstanten im Allgemeinen nicht geschrieben, es sei denn, es wird explizit darauf hingewiesen. F¨ ur Ergebnisse in SI - Einheiten m¨ ussen durch Dimensionsvergleiche die Konstanten

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2.2 Einsteinsche Summenkonvention 2 KONVENTIONEN

c und G wieder entsprechend eingef¨ ugt werden, welche folgende Gr¨ oße und Dimension besitzen

2.2 Einsteinsche Summenkonvention

Da in der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie viel mit indexbehafteten tensoriellen Gr¨ oßen gearbeitet wird, wird meist die Einsteinsche Summenkonvention bem¨ uht. Diese besagt, dass ¨ uber doppelt vorkommende

Indices automatisch summiert wird, ohne das Summenzeichen explizit anschreiben zu m¨ ussen

Dabei muss darauf geachtet werden, dass immer ¨ uber jeweils einen ”

summiert wird. Tragen z.B. zwei obere Indices den gleichen Buchstaben, d.h. wird ¨ summiert, liegt i.A. kein wohldefinierter Tensorausdruck vor bzw. es wurde irgendwo ein Fehler gemacht.

2.3 Indices

In der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie wird generell mit einer vierdimensionalen Raumzeit gearbeitet, welche eine Zeit- und 3 Raumkomponenten enth¨ alt. Um diese Komponenten zu indizieren, werden griechische Buchstaben als Indices verwendet, die von 0 bis 3 laufen. Ist nur von den Raumkomponenten die Rede, werden lateinische Buchstaben als Indices verwendet, sie laufen von 1 bis 3

a ^µ ˆ a ⁰ , a ¹ , a ² , a 3 ⇐⇒ a ⁱ ˆ = = .

Im Speziellen wird ein allgemeiner Punkt der Raumzeit ( Ereignis“) in kartesischen Koordinaten als

”

x ^µ = (t, x, y, z) notiert (c = 1!), der rein r¨ aumliche Anteil lautet dann x ⁱ = (x, y, z).

2.4 Partielle Ableitungen

Als Schreibweise f¨ ur die partielle Ableitung wird manchmal

verwendet. Wegen des aus der Kettenregel folgenden kovarianten Transformationsverhaltens der partiellen Ableitungen wird ein unterer Index verwendet.

2.5 Kroneckertensor

Die in der Differentialgeometrie verwendete Version des Kronecker - Deltas hat nun einen oberen und einen unteren Index und entspricht in dieser Form der Einheitsmatrix

Der Kroneckertensor bleibt in dieser Form unter beliebigen Koordinatentransformationen invariant.

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3 Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Ausgangspunkt der Beschreibung von Gravitationswellen ist die Einsteinsche Feldgleichung der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie. Die spezielle Relativit¨ atstheorie stellt zwar eine ausreichende Verbindung zwischen Mechanik und Elektromagnetismus her, kann aber Probleme wie die Gleichheit von schwerer Masse, die auf Gravitation reagiert und tr¨ ager Masse, die angreifenden Kr¨ aften einen Widerstand entgegen stellt, oder die Frage, was ein Inertialsystem zu einem solchen macht, nicht l¨ osen. Auch nimmt die Gravitation in der Newtonschen Mechanik eine Sonderstellung ein, da in der Gravitationsbeschleunigung nach Newton F = m I a G nicht mehr auftritt. Es ist also eine allgemeine Relativit¨ atstheorie notwendig, die aber zwangsweise die bereits best¨ atigte spezielle Relativit¨ atstheorie enthalten muss. Bedeutende Grundlage zur Formulierung einer allgemeinen Relativit¨ atstheorie ist das Einsteinsche ¨ Aquivalenzprinzip (siehe Abschnitt 3.10). Um nun das Problem der Inertialsysteme zu l¨ osen, muss man sich von der Einschr¨ ankung durch Koordinatensysteme befreien. Dies f¨ uhrt zu einer vollst¨ andigen Beschreibung der Physik durch geometrische Objekte und einer kovarianten Formulierung durch tensorielle Gr¨ oßen. Es sollen im Folgenden die ben¨ otigten Begriffe und Elemente f¨ ur die Konstruktion der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie und der Einsteinschen Feldgleichung eingef¨ uhrt und kurz erl¨ autert werden.

3.1 Mannigfaltigkeiten

Zur Beschreibung einer gekr¨ ummten Raumzeit bedient man sich der Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Der ungekr¨ ummte, euklidsche Raum R ⁿ stellt einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit dar.

Eine Mannigfaltigkeit soll nun komplizierte gekr¨ ummte Topologien beschreiben, ” aussehen“. Damit meint man eine Konstruktion von sich ¨ uberdeckenden Abbildungen (Karten), die die

gesamte Mannigfaltigkeit offen und eineindeutig auf den R ⁿ abbilden, den sogenannten Atlas. Meistens ben¨ otigt man zum Abdecken einer Mannigfaltigkeit mehrere Karten, wie am Beispiel der zweidimensionalen Kugeloberfl¨ ache ersichtlich ist [2, S. 59]. Die zweidimensionale Zylinderoberfl¨ ache hingegen ist mit einer einzigen Karte abdeckbar.

Die in der Allgemeine Relativit¨ atstheorie verwendete vierdimensionale Raumzeit wird nun als vierdi-

mensionale, beliebig gekr¨ ummte Mannigfaltigkeit beschrieben, ein Punkt nigfaltigkeit wird als Ereignis bezeichnet. Die Rolle der Gravitation ¨ freien Fall“ (d.h. kr¨ aftefrei) auf einer Geod¨ ate ¹ bewegen, k¨ onnen sich nun Zwei Testk¨ orper, die sich im ”

rein aufgrund der geometrischen Kr¨ ummung der Raumzeit aufeinander zu oder voneinander weg bewegen. Diese relative Geod¨ atenbeschleunigung wird durch den von den Ableitungen des metrischen Tensors (Abschnitt 3.5) abh¨ angigen Riemanntensor (Abschnitt 3.9) beschrieben.

Mehr zu Mannigfaltigkeiten in [1, Kap. 9.7] [2, Kap. 2.2] [3, Kap. 3.2].

3.2 Vektoren

Auf Mannigfaltigkeiten ist es nun nicht mehr m¨ oglich, einen Vektor global zu definieren, er existiert vielmehr nur lokal an einem Punkt der Mannigfaltigkeit, im dort definierten Tangentialraum T p , welcher alle m¨ oglichen Vektoren an diesem Punkt enth¨ alt. Man muss sich also von dem Begriff eines Vektors, der im betrachteten Raum frei verschiebbar ist und von einem Punkt zu einem anderen zeigt, verabschieden. Genauer identifiziert man den Raum der Richtungsableitungsoperatoren d dλ aller m¨ oglichen Kurven f durch

einen Punkt p auf der Mannigfaltigkeit als den Tangentialraum T p , λ ist dabei der Kurvenparameter. Als Basis des Tangentialraums T p dienen z.B. die partiellen Ableitungen ∂ µ eines beliebigen Koordinatensystems. Die Richtungsableitungsoperatoren d dλ sind nun koordinatensystemunabh¨ angig und k¨ onnen nach der Kettenregel in jedem beliebigen Koordinatensystem ausgedr¨ uckt werden

¹ siehe 3.7

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Der Vektor V = d dλ hat also die Komponenten

in der Basis ∂ µ . Da sich die partiellen Ableitungen bei einem Koordinatensystemwechsel nach der Kettenregel wie folgt kovariant transformieren

folgt aus der Bedingung, dass sich ein Vektor als abstraktes geometrisches Objekt unter Koordinaten-transformation nicht ¨ andern darf

dass sich die Komponenten V ^µ der Vektoren dx ^µ dλ ∂ µ kontravariant transformieren

∂x ν und ∂x ^ν da die Transformationsmatrizen ∂x ^µ ∂x µ invers zueinander sind

¨ Ublicherweise l¨ asst man bei der Darstellung eines Vektors V die Basisvektoren weg und spricht nur von den Komponenten V ^µ in einem - v¨ ollig beliebigen - Koordinatensystem. Man beachte, dass Vektorkomponenten wegen ihres kontravarianten Transformationsverhaltens (3.5) stets mit oberen Indices notiert werden.

Mehr zu Vektoren in [1, Kap. 9.2] [2, Kap. 1.4,2.3].

3.3 Dualvektoren

Zu jedem Vektorraum V ⁿ kann man nun den dazugeh¨ origen Dualraum ^∗ V ⁿ definieren, der dieselbe Dimension besitzt. Er enth¨ alt nun alle m¨ oglichen linearen Abbildungen ω, die den betrachteten Vektorraum auf die reellen Zahlen abbilden (ω : V → R). Dualvektoren fungieren also als Abbildungen normaler Vektoren auf die reellen Zahlen. Sie k¨ onnen ebenfalls als Summe ihrer Komponenten in einer - beliebigen - Basis und ihrer Basisvektoren geschrieben werden. Als Basisdualvektoren ergeben sich die Koordinatendifferentiale dx ^µ , indem man = δ ^µ e (ν) (3.7) ν

Θ ^(µ) den Basisdualvektoren (nicht deren Komponenten) des Dualraumes ^∗ V ⁿ und e (ν) den bereits bekannten Basisvektoren ∂ µ des Vektorraumes V ⁿ . F¨ ur allgemeine Differentiale gilt in einem allgemeinen Koordinatensystem mit den Koordinatenfunktionen x ^µ (siehe (3.12)) laut Kettenregel

Θ ^(µ) ergibt Gleichung (3.7) dann wie gefordert

Genau wie bei Vektoren schreibt man ¨ ublicherweise nur die Komponenten ω µ eines Dualvektors, und l¨ asst wieder die Basis weg.

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L¨ asst man nun einen Dualvektor auf einen Vektor wirken, erh¨ alt man ein Skalar, das unter Koordina-tentransformationen invariant sein soll

Aus dieser Forderung ergibt sich das kovariante Transformationsverhalten der Dualvektorkomponeten ω ^µ und der Basisdualvektoren dx ^µ (die bereits bekannte Kettenregel)

Mehr zu Dualvektoren in [1, Kap. 9.4] [2, Kap. 1.5,2.4].

3.4 Tensoren

Tensoren stellen eine Verallgemeinerung von Vektoren und Dualvektoren dar. Ein Tensor vom Rang (k, l) ist als multilineare Abbildung von k verschiedenen Dualvektoren und l verschiedenen Vektoren auf R definiert, d.h. der Tensor fungiert wie ein ” k - facher Vektor“ und ein ” l - facher Dualvektor“. Der Tensor ist dann von (k + l). Stufe

ω (1) , . . . , ω (l) , V ⁽¹⁾ , . . . , V ^(k) ∈ R . P = T (3.13)

Tensoren lassen sich ebenfalls mittels ihrer Komponenten und Basistensoren schreiben. Daf¨ ur f¨ uhrt man das sogenannte Tensorprodukt ein

T = T ^{µ1...µ k ν1...ν} l Θ ^(ν l ⁾ . (3.14)

uber alle µ i und ν i summiert und es ergeben sich n ^l+k Summanden und damit auch n ^l+k Dabei wird ¨

Komponenten T ^{µ1...µ k ν1...ν} l des Tensors T mit n der Dimension der betrachteten Mannigfaltigkeit. L¨ asst man nun einen Tensor T von Rang (k, l) auf k Dualvektoren und l Vektoren wirken, so wirken die Basisvektoren bzw. Basisdualvektoren im Tensorprodukt gem¨ aß ihrer Reihenfolge auf den enstprechenden Dualvektor bzw. Vektor. Es ergibt sich dann in einfacher Indexschreibweise ¨ uber (3.7) aus (3.13)

P = T ^{µ1...µ k ν1...ν} l ω µ1 . . . ω ^µ k V ^ν1 . . . V ^{ν k} ∈ R , (3.15)

da sich durch die Summation ¨ uber alle µ i und ν i ein Skalar ergibt.

Aus der Forderung der Transformationivarianz des erhaltenen Skalars P ergibt sich ¨ uber die Transfor-

mationen der Dualvektoren und Vektoren das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten

oder als konkretes Beispiel f¨ ur einen (2, 1) - Tensor

Das heißt also, dass die oberen Indices eines Tensors kontravariant wie ein Vektor und die unteren Indices kovariant wie ein Dualvektor transformieren. Analog zu Vektoren und Dualvektoren schreibt man nur die Tensorkomponenten.

Vektoren und Dualvektoren sind dann Tensoren 1. Stufe, ein Vektor ist ein (1, 0) - Tensor, ein Dualvek-tor ein (0, 1) - Tensor. Skalare entsprechen Tensoren 0. Stufe und bleiben bei Koordinatentranformationen invariant P = P . (3.18)

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Matrizen werden auf Vektoren angewandt und ergeben wieder einen Vektor, sie entsprechen also (1, 1) -Tensoren X ^µ = T µ ν Y ^ν . (3.19)

Multipliziert man nun Vektoren, Dualvektoren und/oder Tensoren h¨ oherer Stufe miteinander, so ergeben sich durch diese Tensormultiplikation wieder Tensoren, z.B.

S µνλ σ := T ^µν R λ σ . (3.20)

Sind T und R Tensoren, so handelt es sich bei S ebenfalls um einen wohldefinierten Tensor.

Setzt man nun zwei Indices eines Tensors k. Stufe gleich, so ergibt sich durch Verj¨ ungung ein Tensor (k − 2). Stufe S µν γν = T µ ν , (3.21)

dabei wurde ¨ uber den Index ν summiert, welcher im rechten Ausdruck dann nicht mehr vorkommt. Es kann nur immer jeweils ¨

Tensor von (k − 2). Stufe zu erhalten. Setzt man in dem Transformationsgesetz (3.16) einen oberen und unteren Index gleich, kann man zeigen, dass sich dann wegen (3.9) ein wohldefinierter Tensor von (k − 2). Stufe ergibt [3, S. 39]. Ein Spezialfall stellt die Verj¨ ungung eines (1, 1) - Tensors dar, es ergibt sich die Spur der betrachteten Matrix, also ein Skalar als Tensor 0. Stufe.

Mittels Tensormultiplikation und Verj¨ ungung kann man nun Indices von Tensoren ” herauf - und her-

unterziehen“. Dazu ben¨ otigt man jeweils einen symmetrischen (2, 0) - und (0, 2) - Tensor g µν und g ^µν , die invers zueinander sind ² g ^µν g νλ = δ µ λ . (3.22)

Multipliziert man dann einen Tensor T ^µλ mit g µν ergibt sich

^λ . g µν T ^νλ =: T µ (3.23)

^λ korrespondiert nun ¨ uber den Fundamentaltensor g µν zu T ^µλ , ist aber im Grunde ein Der Tensor T µ

anderer - n¨ amlich ein (1, 1) - Tensor. Genauso kann man nun mit g ^µν Indices hinaufziehen. Zieht man einen Index zuerst hinunter und dann wieder hinauf, so ergibt sich wegen (3.22) wie gefordert wieder derselbe Tensor.

Mehr zu Tensoren in [1, Kap. 9.5] [2, Kap. 1.6,2.4] [3, Kap. 3.6].

3.5 Der Metrische Tensor

Der Metrische Tensor stellt eine zentrale Gr¨ oße in der Allgemeinen Relativit¨ atstheorie dar, alle sp¨ ater hier eingef¨ uhrten Gr¨ oßen/Tensoren werden in gewisser Weise von der Metrik abh¨ angen. Die Metrik erlaubt es, Entfernungen und L¨ angen auf einer Mannigfaltigkeit anzugeben. Sie ersetzt das herk¨ ommliche Skalarprodukt des euklidschen Raums, wo die Metrik einfach der Einheitsmatrix entspricht.

Die Metrik erlaubt es nun, das infinitesimale Ereignisintervall ds zwischen zwei Ereignissen x ^µ und x ^µ +dx ^µ zu berechnen. Beschreibt man nun die kartesischen Koordinaten x ^µ der Ereignisse als Funktionen eines beliebigen anderen Koordinatensystems x ^µ , also

x ^µ = x ^µ (x ^ν ) ,

so kann man das Intervall zun¨ achst in euklidscher Geometrie als

² Dies fordert man, um nach dem Herauf- und Herunterziehen desselben Indexes wieder denselben Tensor zu erhalten.

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