Die Faktorenanalyse am Beispiel der Struktur von Verhaltensvariablen

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Faktorenanalyse - das allgemeine Modell
2.1 Die Faktorenanlyse im Kanon der multivariaten Verfahren
2.2 Die Logik der Faktorenanalyse anhand eines einführenden Beispiels
2.3 Das Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse
2.4 Das Ablaufmodell der Faktorenanalyse

3. Einführung des Beispiels

4. Variablenauswahl
4.1 Gütetest der Variablen in der Untersuchung

5. Das Kommunalitätenproblem
5.1 Bestimmung der Kommunalitäten im Beispiel

6. Das Faktorenproblem
6.1 Extraktionsverfahren
6.2 Bestimmung der Anzahl der Faktoren
6.3 Faktorenextraktion im Beispiel

7. Das Rotationsproblem
7.1 Rotation der Faktoren im Beispiel

8. Schätzung der Faktorwerte
8.1 Graphische Darstellung der Faktoren

9. Inhaltliche Interpretation der Faktoren

10. Faktorenanalyse nichtmetrischer Daten

11. Resümee

12. Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis:

Tabelle 1: Korrelationsmatrix des Variablenausgangssets

Tabelle 2: KMO- und Bartlett-Test

Tabelle 3: Kommunalitäten

Tabelle 4: Erklärte Gesamtvarianz und Eigenwerte

Tabelle 5: Unrotierte Faktorenmatrix

Tabelle 6: Rotierte Faktorenmatrix

Abbildungsverzeichnis:

Abbildung 1: Dimensionalitätsraum politischer Partizipation

Abbildung 2: Ablaufschema der Faktorenanalyse

Abbildung 3: Dreidimensionale Verteilung der Hauptachsen

Abbildung 4: Ebenen, die von den Hauptachsen aufgespannt werden

Abbildung 5: Scree-Plot und Kaiser-Kriterium

Abbildung 6: Scree-Plot und Kaiser-Kriterium (Beispiel)

Abbildung 7: Rotierte Faktorlösung

Abbildung 8: Ladungsdiagramm

Abbildung 9: Ladungsdiagramm

1. Einleitung

Die Phase des wirtschaftlichen Aufschwungs und relativer politischer Stabilität der europäischen und nordamerikanischen Staaten nach dem 2. Weltkrieg und die damit einhergehende relative materielle Sicherheit der dort lebenden Menschen führte nach Inglehart (1997) zu einem Wandel der Werte, bei dem materielle Bedürfnisse aufgrund ihrer ständigen Möglichkeit zur Befriedigung um sog. postmaterialistische Bedürfnisse erweitert werden. Seine Mangelhypothese besagt, dass sich die Prioritäten eines Individuums nach seiner sozioökonomischen Umwelt richten und knappe Dinge subjek- tiv höher eingeschätzt werden, wobei hier die Befriedigung affektiver Bedürfnisse primäres Ziel von Lebewesen ist. Der nach dem Krieg erreichte Wohlstand führte nach Inglehart folglich zu einer Höherbewertung immaterieller Aspekte des Lebens. Eine hohe Lebensqualität und Selbstverwirklichung werden bspw. zu zentralen Werten. Dies hat auch Einfluss auf die politische Partizipation der Bevölkerung. Während sich die politische Partizipation, sowohl empirisch als auch im Verständnis der sog. realistischen Demokratietheorie und der Elitetheorie aufgrund geringen politischen Wissens und Engagements und eines defizitären Demokratie- und Politikverständnisses der Bürger bis in die 60er Jahre auf die Beteiligung an Wahlen und auf die Zurkenntnisnahme politischer Ereignisse aus den Massenmedien beschränkte, sah sich die junge Bil- dungselite dieser Zeit mit den ökonomischen Zielen der Elterngeneration nicht mehr engagiert verbunden und formulierte eigene Vorstellungen von Politik und Gesellschaft, deren Verwirklichung andere Formen der Partizipation bedurfte. (Kaase 1997, Westle 1992)

Kaase und Barnes formulierten 1979 eine Unterscheidung in konventionelle, also legitime und verfasste, und unkonventionelle, also institutionell nicht verfasste Möglich- keiten der politischen Partizipation, wobei der reine Akt des Wählens aufgrund seiner hohen Institutionalisiertheit keiner der beiden Kategorien zugeordnet wurde (Kaase 1997). Aufgrund der Ungenauigkeit dieser eindimensionalen Unterscheidung die weitere Unterscheidungen im Legalitätsstatus nicht zulässt, wurden die Modelle politischer Partizipation erweitert, so dass Uehlinger (1988) mit Hilfe empirischer Studien und den Analysemethoden der hierarchischen Clusteranalyse und multidimen- sionalen Skalierung ein komplexeres Modell des Partizipationsraumes vorschlug.

Uehlinger unterschied Typen politischer Partizipation: (1) Staatsbürgerrolle, die den Akt des Wählens und ein allgemeines Reden über Politik beinhaltet; (2) Problemspezifische Partizipation, also den Versuch Einfluss auf Entscheidungen zu einem konkreten Problem mit Hilfe von bspw. Unterschriftensammlungen, öffentlichen Diskussionen und

Demonstrationen zu nehmen; (3) Parteiorientierte Partizipation, welche die Mitarbeit in einer Partei meint; (4) Ziviler Ungehorsam, dessen Merkmale Illegalität aber Gewaltfrei- heit sind und (5) Politische Gewalt, illegale Gewalt sowohl gegen Sachwerte als auch gegen Personen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Dimensionalitätsraum politischer Partizipation (Westle 1992, S. 146)

Ziel dieser Arbeit soll der Versuch sein mit Hilfe der Faktorenanalyse diese Struktur im tatsächlichen Verhalten von Personen aufzudecken. Die Datenbasis für diese Analyse ist der Allbus-Datensatz aus dem Jahre 1998, in dem ein Fragenkomplex dem Partizi- pationsverhalten gewidmet ist. Die Variablen besitzen alle dichotome Ausprägungen und können nur insoweit als objektiv angesehen werden, wie man den Befragten ein ehrliches Antworten zugesteht. Zwar wäre für eine Faktorenanalyse die Wirksamkeits- einschätzungen zu den Partizipationsmöglichkeiten rein rechnerisch vorteilhafter, da diese auf ordinalem Messniveau mit 7 Ausprägungen erfasst wurden, doch erschien uns die Analyse des tatsächlichen Verhaltens interessanter. Auch wenn Uehlinger der Meinung ist, dichotome Variablen sind für eine Faktorenanalyse nicht geeignet, so ist doch die von ihm vorgeschlagene Ausnahme für uns Grund genug, den Nachweis einer Struktur mit Hilfe der Faktorenanalyse zu wagen: „Therefore, nothing can justify the use

of factor analysis on dichotomous data except a purely heuristic set of criteria.“ (Kim/ Mueller 1978, zit. n. Uehlinger 1988, S. 49f.).

Die Struktur dieser Arbeit ist zweigeteilt: Zum einen werden wir die Faktorenanalyse mit ihren theoretischen Grundlagen betrachten und zum anderen die oben angedeutete empirische Untersuchung schrittweise darlegen. Die beiden Teile sind jedoch fortlau- fend verfasst, wobei die theoretischen Grundlagen durch einen grauen Balken auf der linken Seite markiert sind.

2. Faktorenanalyse - das allgemeine Modell

Die Faktorenanalyse als Methode wurde vor allem im psychologischen Kontext der Intelligenz- und Persönlichkeitsforschung entwickelt. Das erste berühmt gewordene faktorenanalytische Modell ist das general factor - Modell der Intelligenz von Spear- man aus dem Jahr 1904. In den 30er und 40er Jahren wurde die Methode in Auseinandersetzung mit obigem Modell weiterentwickelt.¹ Die Faktorenanalyse hielt später Einzug unter anderem auch in die Sozialwissenschaften und zählt heute zum Standartrepertoire der empirischen Sozialforschung.

In diesem Kapitel soll zunächst ein allgemeiner Überblick gegeben werden. Dazu wird die Faktorenanalyse in den Kontext anderer multivariater Verfahren gestellt mit der Intention, das Ziel der Methode herauszuarbeiten. Sodann folgt ein einführendes Beispiel, welches auf plakative Weise die Logik des Ansatzes illustrieren soll. Fol- gend wird ein Ablaufmodell der Faktorenanalyse vorgestellt, sowie das Fundamen- taltheorem kurz eingeführt. Die folgenden Kapitel widmen sich dann den einzelnen Teilproblemen bzw. -aspekten des Verfahrens. Es werden jeweils das Problem er- klärt und die Optionen zur Lösung vorgestellt und diskutiert.

2.1 Die Faktorenanalyse im Kanon der multivariaten Verfahren

Versucht man eine Definition der Faktorenanalyse zu geben, so ist das Ziel des Ver- fahrens noch relativ konsensuell benennbar. Die Faktorenanalyse lässt sich von der Grundannahme leiten, dass es möglich ist, die Varianz der betrachteten Variablen durch hypothetische Variablen erklären zu können. Die Faktorenanalyse reprodu- ziert die Korrelationen zwischen den Variablen anhand möglichst weniger, möglichst einfacher Faktoren. Faktoren sind jene hypothetischen Variablen, die als Ursachen- komplexe interpretiert werden. Das Ziel des Verfahrens ist es also, die Struktur hin- ter den Daten aufzuzeigen. Dieses Ziel wird mit im Detail recht unterschiedlichen multivariaten Analysemodellen verfolgt. Der Begriff Faktorenanalyse eint diese Viel- falt von Modellen und beschreibt damit kein homogenes Verfahren, bei dem jeder Analyseschritt logisch zwingend ist², sondern der Anwender muss entscheiden, wel- che der Alternativen angemessen ist.³

Wendet man in einem zweiten Schritt die Unterscheidung strukturprüfender vs. struktursuchender Verfahren an, wird die Faktorenanalyse den struktursuchenden Verfahren zugeordnet. Die Faktoren, die die Struktur hinter den Daten abbilden sol- len, werden durch das Verfahren generiert. „In der Faktorenanalyse wird nicht in erster Linie eine Hypothese getestet, sondern eine Hypothese gesucht und gebil- det.“(Überla 1968, S. 90)⁴

In einem dritten Schritt wird die Faktorenanalyse in den Kontext anderer multivaria- ter Verfahren gestellt:

- Während in der multiplen Regression eine Zielgröße aus einer Reihe anderer Variablen für jedes Objekt geschätzt wird, werden im Rahmen der Faktorenana- lyse neue Variablen, die Faktoren bestimmt. Das Verfahren schaut hinter die Ku- lissen der Daten und bestimmt Größen, die ihnen gemeinsam sind. Die Fakto- renanalyse ist also ein datenreduzierendes Verfahren, während die multiple Regression lediglich Zusammenhänge zwischen Variablen untersucht. Im Rah- men der Faktorenanalyse wird die multiple Regression benutzt, beispielsweise im Rahmen des Anti - Image - Konzeptes.
- Während die Varianzanalyse Mittelwerte von Gruppen verschiedener Objekte prüft⁵, befasst sich die Faktorenanalyse mit den Korrelationen zwischen den Va- riablen und der Frage, wie viele und welche voneinander unabhängige Faktoren diese Zusammenhänge reproduzieren.
- Während die Diskriminanzanalyse Gruppen von Objekten durch eine lineare Funktion der Variablen optimal trennt⁶, werden in der Faktorenanalyse im gewis- sen Sinne Gruppen von Variablen gebildet.⁷

bestimmte Anzahl von Faktoren reproduzieren lässt. Desweiteren steht mit der Konfirmatorischen Faktorenanalyse ein genuin hypothesentestendes Verfahren zur Verfügung. Diese Methode wird im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt. Vgl. dazu Arminger (1979, S. 118 – 143) , Scott Long (1994) und Kim/ Mueller (1994, S. 114 – 127).

- Während die Clusteranalyse Objekte mit Hilfe eines Distanzkonzeptes gruppiert, werden im Rahmen der Faktorenanalyse Variablen gruppiert mit Hilfe des Korrelationskonzeptes.

2.2 Die Logik der Faktorenanalyse anhand eines einführenden Beispiels

Als einführendes Beispiel dient hier das bekannte Zylindermodell von Thurstone (1947).⁸ Die Objekte sind in diesem Fall geometrische Körper und zwar 27 Zylinder. Die Objekte sind mit den Variablen Länge l und Durchmesser d beschrieben. Thurstone errechnet 5 weitere Variablen aus l, d: Grundfläche, Seitenfläche, Volu- men, Diagonale, Gewicht. Die entstandenen 7 Variablen bilden die Ausgangsbasis der Faktorenanalyse. Aus der Korrelationsmatrix werden 2 Faktoren errechnet. Die Faktoren sind eben Durchmesser und Länge. Das Ergebnis kann nun so interpre- tiert werden, dass durch diese 2 Faktoren die Korrelationen zwischen den 7 Aus- gangsvariablen reproduziert werden. Länge und Durchmesser bilden also die Struk- tur hinter diesen 7 Variablen. Dies ist nicht verwunderlich, da 5 der 7 Ausgangsvari- ablen ja gerade durch Berechnung aus l und d hervorgegangen sind. Kennt man l und d so lassen sich die Objekte vollständig beschreiben; Grundfläche, Seitenfläche etc. liefern in diesem Sinn redundante Informationen.

2.3 Das Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse

Mit Hilfe der Faktorenanalyse versucht der Anwender also die Daten zu reduzieren⁹, die Korrelationen zwischen den Ausgangsvariablen mit Hilfe von Faktoren zu repro- duzieren. Diese Faktoren sind zunächst hypothetische Variablen, die die Struktur hinter den Daten abbilden. Die Ausgangsvariablen müssen metrisch skaliert sein und vorab einer z – Transformation¹⁰ unterzogen werden.

Das Kalkül lässt sich auch in Matrixschreibweise ausdrücken: R = A * A‘

Das Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse besagt, dass sich die Ausgangsmat-

rix R durch die Faktorladungsmatrix A und deren Transponierter A‘ reproduzieren lässt. Einschränkend lässt sich sagen, dass diese Matrixgleichung nur im Falle der Orthogonalität der Faktoren gilt.¹¹

Die algebraische Vorgehensweise sieht vor, dass die Korrelationsmatrix R durch die Matrix der Faktorladungen des 1. Faktors a1 reproduziert wird.

R+ = a1 * a1‘

Die Faktorladungsmatrix enthält die Ladung jeder Ausgangsvariablen auf den Fak- tor, also die Korrelationen der Variablen mit a1. Der zweite Schritt besteht darin, dass die Differenz aus der Ausgangsmatrix R und der reproduzierten Matrix R+ ge- bildet wird.

R1 = R – R+

R2 = R1 – (a2 * a2‘)

Die Residualmatrix R1 wird mit dem 2. Faktor a2 reproduziert, wiederum die Diffe- renz errechnet usw. Das Verfahren wird höchstens so weit fortgeführt bis die Anzahl der Faktoren gleich der Anzahl der Ausgangsvariablen ist oder nach einem Ab- bruchkriterium beendet.

wird vor allem verwandt, wenn Ausgangsvariablen einfach interpretierbar zusammengefasst wer- den sollen, z.B. primäre Persönlichkeitsfaktoren.

2.4 Das Ablaufmodell der Faktorenanalyse

Um die Faktorenanalyse in der beschriebenen Logik durchzuführen, muss der An- wender jedoch eine Reihe von Problemen lösen, die bisher nicht explizit genannt wurden. Er muss:

- erstens die Korrelationsmatrix R auf Eignung prüfen,
- zweitens die Kommunalitäten bestimmen,
- drittens das sogenannte Faktorenproblem lösen, das heißt die Faktorextrakti- onsmethode sowie die Anzahl der Faktoren bzw. ein geeignetes Kriterium be- stimmen,
- viertens die errechneten Faktoren in geeigneter Weise rotieren,
- fünftens die Objekte im Faktorraum verorten, das heißt Faktorwerte schätzen. Diese Probleme lassen sich in einem Ablaufschema verorten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.2: Ablaufschema der Faktorenanalyse (Quelle: Backhaus et.al. 2000, S, 299)

Die Erklärung der einzelnen Probleme und die Ansätze zu ihrer Lösung bestimmen den weiteren Ablauf der eingeschobenen Passagen.

[...]

¹ Vor allem von Thurstone, Eysenk, Cattell, Guilford. Es entstanden diverse Systeme von Persön- lichkeits – und Intelligenzfaktoren. Vgl. Amelang/ Bartussek (1997, S. 201ff., 302ff.).

² Wie etwa die lineare Regression oder andere bivariate Zusammenhangsmaße.

³ „Die eigentliche Aufgabe des Faktorenanalytikers ist es, dasjenige Ordnungssystem herauszufin- den, das mit den theoretischen Kontexten der untersuchten Variablen am Besten zu vereinbaren

ist.“(Bortz 1993, S. 474).

⁴ Die Formulierung „in erster Linie“ verdeutlicht, dass in gewissem Sinne auch Hypothesenprüfung möglich ist. So kann in SPSS – Anwendungen beispielsweise die Anzahl der Faktoren vorgegeben werden. Es kann also die Hypothese geprüft werden, ob sich die Struktur der Variablen durch eine

⁵ Es wird untersucht, ob sich diese Mittelwerte mehr als zufällig zu erwarten vom Mittelwert einer gemeinsamen Grundgesamtheit unterscheiden.

⁶ Ziel des Verfahrens ist es, einen neuen Einzelfall zu den Gruppen möglichst sicher zuzuordnen. Die Ursprungszusammensetzung der Cluster wird dabei vorausgesetzt.

⁷ „In gewissem Sinne“ deshalb, da im Rahmen der Faktorenextraktion die Variablen nicht einfach geclustert werden, sondern in der Regel die Gesamtvarianz einer Variablen von mehreren Faktoren

reproduziert wird. Die Variablen laden zwar durch Varimax - Rotation auf einen Faktor hoch, besit- zen jedoch in der Regel auch kleinere Ladungen auf andere Faktoren.

⁸ Deutsch in Bortz (1993).

⁹ Auf eine graphische Veranschaulichung der Faktoren wird hier verzichtet. Siehe dazu Backhaus (2000, S. 272ff.), Überla (1968, S. 68ff.).

¹⁰ Die z – Standardisierung ist definiert als: zi = (xi - x) / s (Benninghaus1998, S. 63).

¹¹ Es existiert neben der orthogonalen auch die schiefwinklige Rotation zur Einfachstruktur. Diese