Delta Hedging im Überblick


Seminararbeit, 2008

17 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Black & Scholes Modell
2.1 Delta
2.1.1 Definition
2.1.2 Berechnung des Deltas
2.1.3 Veranschaulichung des Deltas einer Call-Option
2.1.4 Veranschaulichung des Deltas einer Put-Option
2.1.5 Höhe des Deltas bei verschiedenen Optionssituationen
2.2 Gamma
2.2.1 Definition
2.2.2 Veranschaulichung des Gammas einer Long-Position
2.2.3 Höhe des Gammas in verschiedenen Ausgangssituationen

3 Dynamisches Hedging
3.1 Neutralisierung des Deltas
3.2 Konstruktion eines Hedgeportfolios
3.3 Absicherung des Portfolios mit einem „Fixed-Hedge“
3.4 Absicherung des Portfolios mit einem „Fixed-Delta-Hedge“
3.5 Problem beim Delta-Hedging

4 Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Call-Delta in Abhängigkeit des Aktienkurses und seiner Volatilität Quelle: Steiner / Bruns (2000).

Abbildung 2: Put-Delta in Abhängigkeit des Aktienkurses und dessen Volatilität Quelle: Steiner / Bruns (2000).

Abbildung 3: Verlauf von Delta und Gamma einer Long-Position Quelle: Geyer / Uttner (2007).

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Deltabereiche bei verschiedenen Optionssituationen

Tabelle 2: Beispiele für Delta und Gamma bei Calls und Puts mit einem BP von 6.000 Punkten

Tabelle 3: Darstellung des "Fixed-Hedge" vor Szenario

Tabelle 4: Darstellung des "Fixed-Hedge" nach Szenario

Tabelle 5: Darstellung des "Fixed-Delta-Hedge" vor Szenario

Tabelle 6: Darstellung des "Fixed-Delta-Hedge" nach Szenario

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Wenn Transaktionen gegen unerwünschte Marktentwicklungen ganz oder teilweise abgesichert werden, indem man adäquate Gegenpositionen aufbaut, spricht man von Absicherungsstrategien oder Hedging. Möglich wird Hedging folglich nur dort, wo es auch eine Möglichkeit gibt, überhaupt eine Gegenposition einzugehen. In erster Linie sind hier die Terminbörsen gemeint, an denen Optionen und Futures gehandelt werden.

Neben der Vielzahl statischer und dynamischer Verfahren, behandelt diese Arbeit vorrangig das Delta-Hedging. Dies ist eine Absicherungsstrategie, die man sowohl den dynamischen wie auch den statischen Modellen zuordnen kann. Um die Funktionsweise dieses Instrumentes zu erläutern, wird in Kapitel 2 zunächst das Delta ausführlich dargestellt. Da auf diese Sensitivitätskennzahl das Modell des Delta-Hedgings aufsetzt, wird sie entsprechend ausführlich abgehandelt.

In Kapitel 3 wird eine weitere Sensitivitätskennzahl – das Gamma – eingeführt. Vor allem das Verhältnis von Delta und Gamma steht im Mittelpunkt dieses Kapitels. Das Gamma ist zwar für das Delta-Hedging von sekundärer Bedeutung, jedoch wird das Fallbeispiel des vierten Kapitels aufzeigen, warum es dennoch bei der Anwendung des Delta-Hedgings berücksichtigt werden sollte.

Wie soeben erwähnt, behandelt Kapitel 4 ein Fallbeispiel, welches die Absicherung eines Portfolios darstellt. Um die Vor- und Nachteile des Delta-Hedgings aufzuzeigen, wird das Depot zunächst mit einem „Fixed-Hedge“ abgesichert und ein Kursrückgangs-Szenario simuliert. Die Ausgangslage wird erneut verwendet, um daraufhin die Absicherung durch einen „Fixed-Delta-Hedge“ darzustellen.

Abschließend greift Kapitel 5 die Vor- und Nachteile des Delta-Hedgings auf und versucht ein abschließendes Fazit festzuhalten.

Die Berechnung der verschiedenen Optionswerte wurde mit der Software DerivaGem, welche dem Buch „Options, Futures, and other Derivatives“ von John C. Hull beilag, durchgeführt.

2 Black & Scholes Modell

2.1 Delta

2.1.1 Definition

Das Delta gibt die Wertänderung des Optionsscheins bzw. der Optionsprämie an, die entsteht, wenn sich der Basiswert um eine Einheit verändert. Man kann das Delta daher auch als Sensitivitätskennzahl oder Korrelationsfaktor ansehen. Das Delta eines Long-Calls oder Short-Puts wird demnach immer zwischen 0 und +100 Prozent liegen, wohingegen es bei einem Long-Put oder Short-Call immer zwischen 0 und -100 Prozent liegen wird. Wenn also eine Call (Put) Option ein Delta von 0,25 (-0,25) aufweist, bedeutet dies, dass eine Erhöhung (Verminderung) des zugrunde liegenden Basiswerts um einen Euro einen Anstieg des Optionspreises von 0,25 Euro hervorruft (bei einem umgerechneten Bezugsverhältnis von 1:1).[1]

2.1.2 Berechnung des Deltas

Die Berechnung des Deltas erfolgt unter Annahme der Differentialgleichung des Optionsbewertungsmodells nach Black & Scholes. Hierbei wird die erste Ableitung nach dem Aktienkurs aus der Berechnungsformel gebildet.[2] Wegen der Komplexität soll in dieser Arbeit darauf jedoch nicht eingegangen werden. Dem interessierten Leser sei hier das Werk „Derivate und Interne Modelle“ von Hans-Peter Deutsch zu empfehlen.

2.1.3 Veranschaulichung des Deltas einer Call-Option

Um die Veränderung des Deltas in Abhängigkeit zum Kurs des Underlyings und der Volatilität grafisch darstellen zu können, wird von folgendem Beispiel ausgegangen:

Restlaufzeit der Option: 0,75 Jahre

Volatilität: 20% p.a.

Niveau des risikolosen Zinssatzes: 7,25% p.a.

Basispreis: 100,- EUR

In Abbildung 1 ist der Verlauf des Deltas grafisch dargestellt. Man kann hier gut erkennen, dass das Delta in etwa bei 0,5 liegt, wenn Basispreis und aktueller Aktienkurs identisch sind. Eine solche Situation bezeichnet man als eine Option, die am Geld bzw. „at the money“ notiert. Sinkt der Aktienkurs hingegen unter den Basispreis, so fällt auch das Delta immer weiter ab, bis es gegen null tendiert. Dies wäre der Fall einer Option, die aus dem Geld bzw. „out of the money“ notiert. Bei höheren Aktienkursen, die über dem Basispreis liegen, steigt demzufolge auch das Delta wieder an. Es tendiert in diesem Fall gegen eins und symbolisiert eine Option, die im Geld bzw. „in the money“ notiert.[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Call-Delta in Abhängigkeit des Aktienkurses und seiner Volatilität Quelle: Steiner / Bruns (2000).

Eine Veränderung der Volatilität bei Optionen, welche „in the money“ oder „out of the money“ notieren, hat keine bis kaum Auswirkungen auf das Delta. Je näher sich der Aktienkurs jedoch dem Basispreis nähert, desto sensibler reagiert auch das Delta auf eine Änderung der Volatilität. Eine höhere Volatilität führt somit zu einer Glättung des Delta-Verlaufs.

2.1.4 Veranschaulichung des Deltas einer Put-Option

In Abbildung 2 ist der Verlauf des Deltas einer Put-Option grafisch dargestellt. Es gelten die gleichen Annahmen, die bereits im Abschnitt 2.3 getroffen worden sind. Es fällt auf, dass das Delta nun die Skala von 0 bis -1 einnimmt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Put-Delta in Abhängigkeit des Aktienkurses und dessen Volatilität
Quelle: Steiner / Bruns (2000).

2.1.5 Höhe des Deltas bei verschiedenen Optionssituationen

In der folgenden Tabelle wird der Zusammenhang des Deltas in Verbindung mit den verschiedenen Optionssituationen nochmals dargestellt.[4] Es ist zu erkennen, dass das Delta durchaus eine Größe ist, die man für die Bewertung einer Option hinzuziehen kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Deltabereiche bei verschiedenen Optionssituationen

2.2 Gamma

2.2.1 Definition

Das Gamma gibt die Wertänderung des Deltas einer Option an, die entsteht, wenn sich der Kurs des Underlyings um eine Einheit verändert. Das Gamma wird daher ebenfalls als Sensitivitätskennzahl oder Korrelationsfaktor bezeichnet. Lingner verdeutlicht dies mit der Aussage, dass das Gamma auch als Delta-Wert des Options-Deltas interpretiert werden kann.[5] Taleb sieht dies ähnlich, da er im Bezug auf das Gamma vom „Second Moment“ einer Optionsposition spricht.[6]

2.2.2 Veranschaulichung des Gammas einer Long-Position

Die unter 3.1 angesprochene Beziehung zwischen Delta und Gamma wird in Abbildung 3 grafisch dargestellt. Hier wird der Zusammenhang von Delta und Gamma in den verschiedenen Optionssituationen einer Long-Position verdeutlicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Verlauf von Delta und Gamma einer Long-Position
Quelle: Geyer / Uttner (2007).

2.2.3 Höhe des Gammas in verschiedenen Ausgangssituationen

Ein weiteres Beispiel soll den Zusammenhang von Delta und Gamma darstellen. Angenommen wird ein Optionsschein auf den DAX, dessen Basispreis 6.000 Punkte beträgt. Tabelle 2 zeigt nun auf, wie sich die beiden Sensitivitätskennzahlen bei kleinen Änderungen des Basispreises verhalten.

In der ersten Spalte ist das Delta bei einem Stand des DAX von genau 6.000 Punkten angegeben. Wie bereits in Kapitel 2.3 beschrieben, liegt das Delta bei einem Long-Call oder Short-Put bei +0,5, wohingegen es bei einem Short-Call oder Long-Put negativ bei -0,5 liegt. Spalte 3 und 4 zeigen nun das Delta auf, welches sich bei einem Stand des DAX von 6.001 bzw. 5.999 Punkten ergibt. Eben diese Senkung bzw. dieser Anstieg des Deltas ist das Gamma der Option.[7]

[...]


[1] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 73.

[2] Vgl. Deutsch (2001), S. 93.

[3] Vgl. Steiner / Bruns (2000), S. 337.

[4] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 76.

[5] Vgl. Lingner (1991), S. 111.

[6] Vgl. Taleb (1997), S. 202.

[7] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 77.

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten

Details

Titel
Delta Hedging im Überblick
Hochschule
Ruhr-Universität Bochum
Veranstaltung
Finanzmanagement
Note
1,3
Autor
Jahr
2008
Seiten
17
Katalognummer
V124610
ISBN (eBook)
9783640297993
ISBN (Buch)
9783640303267
Dateigröße
697 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Delta, Hedging, Black, Scholes, Option, Call, Put, Gamma, Dynamisches Hedging, Hedgeportfolio, Fixed Hedge, Delta Hedge
Arbeit zitieren
Simon Schäfer (Autor), 2008, Delta Hedging im Überblick, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/124610

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