INHALTSÜBERSICHT: (1) Einführung: Thema, Börsenhandel, Optionen, Forwards, Händlertypen; (2) Eigenschaften von Aktienoptionen: Beweggründe, Bestimmungsfaktoren, Wertober- und Wertuntergrenzen, Put-Call-Parität; (3) Wiener-Prozesse, Itôs Lemma und Geometrische Brownsche Bewegung; (4) Black-Scholes-Merton-Modell: Hypothesen, BSM-Differentialgleichung, faire Call- und Put-Preis, Berücksichtigung von Dividenden, Volatilität; (5) Sensitivitäten von Optionspreisen: Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho; (6) Strategie an der Börse; (7) Kritikpunkte des Modells und große Verluste bei einem Derivatgeschäft; Anhang: kumulierte Normalverteilungsfunktion, Monte-Carlo-Methode;
VORWORT: "Ob Bulle oder Bär – Ihr Geld wird mehr!" Ein Slogan, der oftmals von Banken, Hedgefonds–Managern, Finanzberatern und diversen anderen Finanzfachleuten in der Werbung gebraucht wird, doch es stellt sich die Frage, ob dieser Spruch wirklich zutreffend sei. Selbstverständlich könnte man behaupten, dass bei einer risikolosen Anlage das Geld, mit einem bestimmten Zinssatz verzinst, immer mehr wird, aber der Spruch bezieht sich nicht etwa auf ein Sparbuch, sondern auf das "Börsengeschehen". Der "primitive Anleger" würde argumentieren, er werde bei seiner gekauften Aktie nur dann profitieren, wenn der "Bulle los sei", falls also der Aktienkurs im Betrachtungszeitraum steige. Diese Annahme ist allzu trivial! Ich wende mich daher den Derivaten zu, unter anderem zählen zu diesen Optionen, um die es in meinem Fachbuch geht. Es gibt zwei grundsätzliche Arten von Optionen, eine Kaufoption (Call) und eine Verkaufsoption (Put). Mit Hilfe eines Calls und eines Puts (abhängig von der Position, d.h. ob Käufer oder Verkäufer) ist man nun in der Lage unzählige Strategien zu konstruieren, die sich bestimmte Verläufe von einem Aktienkurs erhoffen (Aktienpreis fällt, bleibt gleich, steigt, schwankt, stagniert etc.).
Durch Optionen kann man innerhalb kurzer Zeit viel Geld erwirtschaften, jedoch bekommt man ein derart ertragreiches Finanzinstrument nicht geschenkt. Für den Erwerb eines Calls oder eines Puts bezahlt man eine Prämie. Das Ziel meiner Arbeit ist die faire Berechnung dieses Optionspreises anhand des Black–Scholes–Merton–Modells.
Abschließend soll jeder individuell urteilen, ob der Slogan bloß ein schwachsinniger Werbespruch ist oder doch im Hinblick auf ein Derivatgeschäft einen wahren Kern besitzt.
Inhaltsverzeichnis
1. EINFÜHRUNG
1.1. Thema
1.2. Börsenhandel und Over–the–Counter–Handel
1.3. Optionen
Positionen
1.4. Forwards und Futures
Stetige Verzinsung
1.5. Händlertypen
2. EIGENSCHAFTEN VON AKTIENOPTIONEN
2.1. Beweggründe zum Kauf einer Option
2.2. Bestimmungsfaktoren
2.3. Wertober– und Wertuntergrenzen
Wertobergrenzen
Wertuntergrenzen
2.4. Put–Call–Parität
3. WIENER–PROZESSE, ITÔS LEMMA UND GEOMETRISCHE BROWNSCHE BEWEGUNG
3.1. Stochastische Prozesse
Markov–Prozess
3.2. Wiener–Prozesse
Allgemeiner Wiener–Prozess
3.3. Itôs Lemma
Herleitung des Lemmas von Itô
3.4. Der Prozess für Aktienpreise als geometrische Brownsche Bewegung
4. BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELL
4.1. Hypothesen
4.2. Black–Scholes–Merton–Differentialgleichung
4.3. Der faire Call– und Put–Preis
Berücksichtigung von Dividenden
4.4. Volatilität
5. SENSITIVITÄTEN VON OPTIONSPREISEN
Delta – Die Sensitivität des Optionspreises auf Preisveränderungen des Basiswerts
Gamma – Die Sensitivität des Deltawerts in Abhängigkeit vom Preis des Basiswerts
Theta – Die Variation des Optionspreises bei sich verändernder Laufzeit
Vega – Die Sensitivität des Optionspreises in Abhängigkeit der Standardabweichung
Rho – Die Sensitivität des Optionspreises in Abhängigkeit vom risikolosen Zinssatz
6. STRATEGIE AN DER BÖRSE
7. KRITIKPUNKTE DES BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELLS UND EIN BEISPIEL EINES GROSSEN VERLUSTES BEI EINEM DERIVATGESCHÄFT
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Berechnung des fairen Preises für europäische Call- und Put-Optionen unter Verwendung des Black-Scholes-Merton-Modells. Die Forschungsfrage fokussiert sich darauf, wie mathematisch fundierte Bewertungsverfahren eingesetzt werden können, um Arbitrage-freie Optionspreise zu bestimmen und die damit verbundenen Risiken sowie Sensitivitäten (Greeks) systematisch zu analysieren.
- Grundlagen von Derivaten, insbesondere Optionen, Forwards und Futures.
- Mathematische Modellierung von Aktienpreisbewegungen mittels geometrischer Brownscher Bewegung.
- Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung und der Bewertungsformeln.
- Empirische Sensitivitätsanalyse (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho) von Optionspreisen.
- Kritische Würdigung des Modells und praktische Anwendung an konkreten Beispielen.
Auszug aus dem Buch
1.2. Börsenhandel und Over–the–Counter–Handel
Definition (2): Eine Börse ist ein organisierter Markt, zum Zweck der zeitlichen, örtlichen und auch bereits virtuellen Konzentration des Handels (hervorgerufen durch Angebot und Nachfrage), für Wertpapiere, Devisen, bestimmte Waren oder ihre Derivate.
„Eine Derivatbörse ist ein Marktplatz, auf dem Marktteilnehmer standardisierte Kontrakte handeln, deren Bedingungen die jeweilige Börse bestimmt.“
Während festgelegter Handelszeiten werden an der Börse laufend Kurse fixiert, die sich aus den bei den Börsenmaklern vorliegenden Kauf– und Verkaufsaufträgen (Orders) ergeben. Durch die zeitliche und örtliche (virtuelle) Konzentration des Handels von fungiblen Gütern unter beaufsichtigter Preisbildung erreicht man eine Steigerung der Effizienz und der Marktliquidität, gesteigerte Transparenz, eine Verringerung der Transaktionskosten und einen notwendigen Schutz vor Manipulationen. Die Kontrolle haben Handelsüberwachungsstellen der jeweiligen Börse inne (Compliance).
Das Pendant zum Börsenhandel ist der Over–the–Counter–Handel (OTC–Handel). Man beachte, dass dies kein potentieller Schwarzmarkt ist, sondern ein außerbörslicher Handel direkt zwischen den Intermediären, die finanzielle Transaktionen tätigen, welche nicht über die Börse abgewickelt werden. Die Händler treffen einander nicht persönlich, sie sind per Computer und Telefon in einem gemeinsamen Netzwerk verbunden. Der OTC–Handel ist zweifelsohne eine bedeutende Alternative zum Handel an der Börse und weist mittlerweile ein größeres Handelsvolumen auf als der börsennotierte Handel.
Diverse Geschäfte werden in der Regel zwischen zwei Finanzinstituten oder zwischen einem Finanzinstitut und einem seiner Firmenkunden abgeschlossen. Oftmals treten Finanzinstitute als „Market Maker“ für häufig verkaufte bzw. gekaufte Papiere auf. Das bedeutet, dass sie immer bereit sind einerseits ein Kaufangebot (Bid–Preis: Preis, zu dem das Finanzinstitut zu kaufen bereit ist), andererseits ein Verkaufsangebot (Offer–Preis: Preis, zu dem das Finanzinstitut verkaufen will) zu stellen.
Zusammenfassung der Kapitel
1. EINFÜHRUNG: Dieses Kapitel gibt einen Überblick über den Handel an der Börse, führt grundlegende Begriffe wie Optionen, Forwards und Futures ein und klassifiziert verschiedene Händlertypen.
2. EIGENSCHAFTEN VON AKTIENOPTIONEN: Hier werden die Motive für den Optionskauf beleuchtet, die wesentlichen Bestimmungsfaktoren für den Optionspreis definiert sowie Wertober- und Wertuntergrenzen erläutert.
3. WIENER–PROZESSE, ITÔS LEMMA UND GEOMETRISCHE BROWNSCHE BEWEGUNG: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen, wie stochastische Prozesse und Itôs Lemma, um die Kursentwicklung von Aktien zu modellieren.
4. BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELL: Das zentrale Kapitel leitet das Black-Scholes-Merton-Modell her, definiert die Hypothesen und berechnet die fairen Call- und Put-Preise.
5. SENSITIVITÄTEN VON OPTIONSPREISEN: Es wird die Dynamik von Optionspreisen bei veränderten Parametern (Greeks) mittels partieller Ableitungen analysiert.
6. STRATEGIE AN DER BÖRSE: Die theoretischen Erkenntnisse werden in einer praktischen Strategie am Beispiel der BWIN Aktie angewendet.
7. KRITIKPUNKTE DES BLACK–SCHOLES–MERTON–MODELLS UND EIN BEISPIEL EINES GROSSEN VERLUSTES BEI EINEM DERIVATGESCHÄFT: Abschließend werden die Grenzen des Modells kritisch hinterfragt und die Risiken spekulativer Derivatgeschäfte anhand historischer Fälle demonstriert.
Schlüsselwörter
Finanzmathematik, Optionen, Derivate, Black-Scholes-Merton-Modell, Aktienkurs, Volatilität, Stochastische Prozesse, Geometrische Brownsche Bewegung, Delta-Hedging, Arbitrage, Optionspreis, Laufzeit, Zinssatz, Risikoneutrale Bewertung, Handelsstrategie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in diesem Buch grundsätzlich?
Das Buch behandelt die mathematische Fundierung und Berechnung fairer Optionspreise mittels des bekannten Black-Scholes-Merton-Modells im Kontext der Finanzmathematik.
Welches sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen umfassen die stochastische Modellierung von Aktienkursen, die Theorie der Optionsbewertung, das Risikomanagement durch Hedging und die praktische Anwendung mathematischer Modelle auf Börsenstrategien.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das primäre Ziel ist die Herleitung und Anwendung der Black-Scholes-Formeln, um faire europäische Call- und Put-Preise für Aktienoptionen zu berechnen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden Methoden aus der stochastischen Analysis verwendet, insbesondere stochastische Differentialgleichungen, Itôs Lemma, die geometrische Brownsche Bewegung sowie numerische Methoden zur Preisbestimmung.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die theoretische Herleitung des Black-Scholes-Merton-Modells, die Bestimmung der Sensitivitäten (Greeks) zur Risikoanalyse sowie die praktische Umsetzung dieser Konzepte in Software-Programmen wie Mathematica und Excel.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Arbitrage, Volatilität, risikoneutrale Bewertung, Derivate, Hebeleffekt und stochastische Prozesse.
Wie unterscheidet sich der Börsenhandel vom Over-the-Counter-Handel laut der Arbeit?
Der Börsenhandel ist durch standardisierte Kontrakte und eine zentrale, regulierte Preisbildung gekennzeichnet, während der OTC-Handel außerbörslich stattfindet, mehr Flexibilität bei den Vertragsbedingungen bietet, jedoch ein höheres Kreditrisiko birgt.
Warum ist das Black-Scholes-Merton-Modell für Optionen so bedeutsam?
Es gilt als Standardverfahren der Finanzwirtschaft, da es eine mathematisch konsistente und analytische Lösung zur fairen Bewertung von Optionen bietet, die auf real beobachtbaren Marktdaten basiert.
- Citar trabajo
- Stefan Mathias Pomberger (Autor), 2008, Finanzmathematik - Die Berechnung des fairen europäischen Call– und Put–Preises anhand des Black–Scholes–Merton–Modells, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/124734
