Unterrichtsstunde: Graphische Darstellung von funktionalen Beziehungen - Grundeinsichten

Besonderer Unterrichtsentwurf Mathematik: Funktionale Beziehungen, Graphen, Klasse 4


Unterrichtsentwurf, 2007
21 Seiten

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Bemerkungen zur Lerngruppe und zur Unterrichtssituation
1.1 Eigenarten der Lerngruppe
1.2 Lernverhalten und Leistungsvermögen
1.3 Fachspezifische Lernausgangslage

2. Zur Sachstruktur des Lerngegenstandes

3. Zu den Ziel- / Inhaltsentscheidungen
3.1 Themenwahl und themenbezogene Zielsetzung
3.2 Strukturelle didaktische Reduktion
3.3 Zentrale Aufgabenanalyse

4. Zu den methodischen Entscheidungen
4.1 Methodischer Aufbau und Gliederung des Unterrichts / Wahl der Arbeits- und Organisationsformen
4.2 Medieneinsatz

5. Anhang
5.1 Literatur
5.2 Kommentierter Sitzplan
5.3 Tafelbild / Folien am Tageslichtprojektor
5.4 Arbeitsblätter
5.5 Verlaufsplan

1. Bemerkungen zur Lerngruppe und zur Unterrichtssituation

1.1 Eigenarten der Lerngruppe

Die Klasse 4a unterrichte ich seit Januar 2007 eigenverantwortlich im Fach Mathematik. Die Lerngruppe ist phasenweise sehr lebhaft, Gesprächsregeln werden oft nicht eingehalten und müssen weiter geübt werden. Gleichzeitig zeichnet sich die Klasse durch eine hohe Arbeitsmotivation aus; die Bereitschaft zur mündlichen Beteiligung ist bei vielen Schülerinnen und Schülern ausgesprochen hoch. Phasen der Stillarbeit werden in der Regel zum konzentrierten arbeiten genutzt. Die häufig auftretende Unruhe in der Klasse wird durch zwei Rituale begrenzt: Schülerinnen und Schüler, die gegen Gesprächsregeln verstoßen, werden mit ihrem Namen und einem Blitz als Symbol an die Tafel geschrieben. Bei einer zweiten Störung wird ein zweiter Blitz angemalt und eine Zusatzaufgabe erteilt. Positives Verhalten der Klasse wird durch einen Klebestern belohnt; für eine bestimmte Anzahl Sterne erfolgt durch die Klassenlehrerin eine Belohnung (Spiel, Hausaufgabenerlass, ...).

Das Verhältnis zwischen Lehrer und Klasse ist positiv und zugewandt. Nicht zuletzt durch die Begleitung einer Klassenfahrt im September wurde ein vertrauensvolles Verhältnis aufgebaut.

In der Lerngruppe treten selten soziale Konflikte auf, diese lassen sich in der Regel durch ein kurzes Gespräch schnell lösen. Ein Schüler wurde in der Vergangenheit im Unterricht bewusst durch andere Schüler provoziert, zur Zeit ist er jedoch besser in die Gruppe integriert.

Ein Mädchen der Lerngruppe ist wegen einer Missbrauchssituation in therapeutischer Behandlung, sie fällt häufig durch Aufmerksamkeitsprobleme und gesteigerte motorische Unruhe auf. In der Regel ist sie aber motiviert am Unterrichtsgeschehen beteiligt. Bei ihr werden Sanktionen wegen störendem Verhalten weniger streng angewandt.

Die Grundeinstellung zum Fach Mathematik ist bei den meisten Schülerinnen und Schülern positiv. Im Laufe des letzten Jahres hat sich zunehmend die Bereitschaft, an problemlösenden Fragestellungen aktiv mitzuwirken, entwickelt. In der laufenden Unterrichtseinheit haben die Schülerinnen und Schüler eine sehr hohe Motivation beim Messen und beim Dokumentieren ihrer Ergebnisse gezeigt.

1.2 Lernverhalten und Leistungsvermögen

Trotz einer allgemein sehr hohen Lernbereitschaft sind die Leistungen im Fach Mathematik in der Lerngruppe sehr heterogen. Einige Schülerinnen und Schüler (XXXX) zeichnen sich durch eine schnelle Auffassungsgabe aus, sie verfügen über eine große fachliche Sicherheit in fast allen Inhaltsbereichen und können Problemstellungen eigenständig bearbeiten. Unterstützung brauchen sie häufig noch beim Verbalisieren ihrer Ergebnisse.

Bei vielen Schülerinnen und Schülern (z.B. XXXX) ist eine große Bereitschaft und befriedigende bis gute Leistung in der Bearbeitung von schriftlichen Aufgaben vorhanden. XXXX brauchen häufig Hilfe bei der Erfassung von Arbeitsaufträgen.

XXXX sind wegen einer diagnostizierten Rechenschwäche in lerntherapeutischer Behandlung, darüber hinaus sind beide wegen Aufmerksamkeitsdefiziten medikamentiert. Für sie und zwei weitere Schülerinnen (XXXX) werden häufig differenzierte Übungsangebote bereitgestellt. Bei XXXX wird auf Beschluss einer Klassenkonferenz von Grundsätzen der Leistungsbewertung abgewichen. In der letzten Zeit haben sich seine Leistungen aber stabilisiert.

1.3 Fachspezifische Lernausgangslage

Der Einstieg in die Unterrichtseinheit zu funktionalen Beziehungen wurde über das Messen der Länge von Keimlingen zu verschiedenen Zeitpunkten gewählt. Auf diese Weise kann davon ausgegangen werden, dass Grundvorstellungen der funktionellen Abhängigkeit von Größen und der Kovariation (vgl. 4.) bei den meisten Schülerinnen und Schülern entwickelt wurden.

Dargestellt wurde diese Abhängigkeit zunächst durch eine chronologische Bildfolge und durch eine Tabelle. Mit graphischen Darstellungsformen hat die Lerngruppe im Mathematikunterricht noch keine Erfahrungen gesammelt, es kann aber davon ausgegangen werden, dass einzelne Schülerinnen oder Schüler entsprechende Diagramme aus anderen Zusammenhängen kennen (vgl. 5.1).

Die Orientierung in einem Koordinatensystem wurde bewusst nicht vorentlastet, ein entsprechendes Orientierungsvermögen soll über eine konkrete inhaltliche Vorstellung (Wachstum der Keimlinge) aufgebaut werden. Bei einigen Schülern kann ein entsprechendes Orientierungsvermögen z.B. durch das Spiel „Schiffe versenken“ bereits ansatzweise entwickelt sein. Es wird davon ausgegangen, dass die Schülerinnen und Schüler nach Erfassen der Grundidee anhand ihrer Vorkenntnisse am Zahlenstrahl die zentrale Aufgabenstellung (vgl. 5.3) bearbeiten können.

Beim Verbinden der Punkte in dem Koordinatensystem wird ein für die Schülerinnen und Schüler unbekannter Zahlbereich angewendet (Reelle Zahlen, vgl. 4). Obwohl die Schülerinnen und Schüler in diesem Zahlbereich keine Erfahrungen haben, wird bei diesem Schritt mit wenig Schwierigkeiten gerechnet, da das Phänomen der kontinuierlichen Kovariation in den Messprozessen deutlich wurde.

2. Zur Sachstruktur des Lerngegenstandes

Funktionen werden in der Regel als spezielle Relationen zwischen Mengen definiert: Allen Elementen einer Definitionsmenge A werden nach einer Relationsvorschrift eindeutig Elemente einer Zielmenge B zugeordnet (vgl. z.B. Rade & Bertil 1997, S. 19; Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 37). So lässt sich eine Funktion einer Menge A in eine Menge B als „linkstotale und rechtseindeutige Relation von A nach B“ (Gerster 1998, S. 138) definieren. Dabei fordert das Kriterium der Linkstotalität, dass jedem Element der Definitionsmenge ein Zielwert zugeordnet wird; das Kriterium der Rechtseindeutigkeit fordert, dass jedem Element der Definitionsmenge höchstens ein Zielwert zugeordnet wird (vgl. ebd. S. 137).

Für den in der speziellen Unterrichtsstunde gewählten Schwerpunkt der graphischen Darstellung ist eine äquivalente Definition ergiebig, die als Funktion eine Teilmenge des Kreuzproduktes AXB definiert: „Unter einer Abbildung (Funktion) der Menge A in die Menge B versteht man eine Teilmenge von AХB, für die gilt: Zu jedem x ε A gibt es genau ein y ε B, so dass (x,y) ε AХB“ (Gerster 1998, S. 138). Diese Teilmenge kann graphisch als Punktmenge in einem Koordinatensystem dargestellt werden.

Mit dem Funktionsbegriff sind mathematische Grundvorstellungen verbunden, die Vollrath (1989, zit. nach Leuders & Prediger 2005, S. 2) wie folgt zusammenfasst:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Zuordnungsvorstellung: Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge: Einer Ware ist ein Preis zugeordnet, einem Ort eine Temperatur oder einem Zeitpunkt eine Wasserhöhe. Hier werden Größen in Abhängigkeit von anderen Größen beschrieben.
2. Kovariationsvorstellung: Durch Funktionen erfasst man, wie zwei Größen sich miteinander verändern. Zu der Perspektive der Zuordnung tritt hier die spezifische Dynamik einer Veränderung hinzu, z.B. in Äußerungen wie ´je größer die Menge, desto höher der Preis´.
3. Vorstellung von der Funktion als Ganzes: Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes, wie etwa das spezifische Muster in der Gezeitenabfolge. So wird ein Gesamtphänomen erfasst, und die Funktion tritt uns als eigenständiges Objekt entgegen, etwa als charakteristischer Graph oder symbolisch als Term oder Funktionsname.“

Diagramme und Graphen sind dabei neben verbalen Beschreibungen, Tabellen und Termen eine allgemein übliche Darstellungsform von Funktionen (vgl. Leuders & Prediger 2005, S. 4).

Die in der Unterrichtsstunde gewählte funktionale Beziehung hat als Definitionsmenge den Größenbereich Zeit, dabei werden zunächst natürliche Zahlen als Maßzahlen gewählt (1 Tag, 2 Tage,...). Zielmenge ist der Größenbereich Längen, hier werden zunächst natürliche und u.U. rationale Zahlen als Maßzahlen zugelassen (2 mm, 15,5 mm). Werden die Punkte in einem Koordinatensystem verbunden, werden beiden Mengen um reelle Maßzahlen erweitert.

3. Zu den Ziel- / Inhaltsentscheidungen

3.1 Themenwahl und themenbezogene Zielsetzung

Funktionale Beziehungen sind eine fundamentale mathematische Leitidee (vgl. Malle 1996, S. 5), zu der sich Grundvorstellungen bereits im Grundschulalter entwickeln (vgl. Bardy 1993, S. 328). Die „Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich“ der Kultusministerkonferenz führen für den Kompetenzbereich „Muster und Strukturen“ auch die Leitidee der funktionalen Beziehung auf (vgl. KMK 2004, S. 11). Die Schülerinnen und Schüler sollen „funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen“ (ebd., S. 13).

Für das Land Niedersachsen wird dieser Anspruch im „Kerncurriculum für die Grundschule Mathematik“ aufgenommen und konkretisiert (vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 30). Die dort beschriebenen Kompetenzen sollen an dieser Stelle nicht näher ausgeführt werden, da der Schwerpunkt der Unterrichtsstunde sich auf den Kompetenzbereich „Daten und Zufall“ bezieht. Die dort formulierte Kompetenz „Die Schülerinnen und Schüler stellen Daten in Tabellen (z.B. Häufigkeitstabellen), Schaubildern und Diagrammen (z.B. Balken- oder Säulendiagrammen) dar“ (ebd. S. 31) soll in der Unterrichtsstunde exemplarisch entwickelt werden. In der didaktischen Literatur und in Schulbüchern werden dabei häufig die im Kerncurriculum vorgeschlagenen Diagrammtypen gewählt. Für die Darstellung der im Unterricht untersuchten funktionalen Beziehung (Längenwachstum von Keimen) ist die in Abschnitt 4 beschriebene Darstellung als Teilmenge des Kreuzproduktes in einem Koordinatensystem sinnvoll, da kontinuierliche Wachstumsprozesse so optisch am besten erfasst werden können. Die Auswahl des Diagrammtyps „Graph“ begründet sich auch aus der besonderen mathematischen Relevanz dieser Darstellungsform (vgl. Malle 1996, S. 6), die durch den eigenen Inhaltsbereich Analysis in höheren Schulstufen zum Ausdruck kommt (Zukunftsorientierung).

Die inhaltliche Verbindung zur Perspektive „Natur“ des Faches Sachunterricht ist bei dem für die Unterrichtseinheit gewählte Beispiel des Wachstums von Keimlingen offensichtlich, soll an dieser Stelle jedoch nicht näher ausgeführt werden.

Von einem unmittelbaren lebensweltlichen Bezug zu graphischen Darstellungen von Funktionen kann bei den wenigsten Schülerinnen und Schülern ausgegangen werden. Bei einzelnen Kindern könnten Vorerfahrungen (z.B. Aktienkurse in den Nachrichten, Wahlergebnisse, Klimadiagramme, Formkurven von Fußballspielern, Ergebnisse in Fernsehspielshows) vorhanden sein.

Die Einsicht in die Relevanz des Themas für den späteren Mathematikunterricht kann wegen des fehlenden Überblicks nicht als motivierendes Argument für die Schülerinnen und Schülern verwendet werden. Über den handlungsintensiven Vorgang des Messens der Keime wurde aber in den vorhergehenden Stunden genügend Motivation zu einer intensiven Beschäftigung aufgebaut und Interesse an sachbezogenen Problemstellungen entwickelt. Die Lerngruppe hat sich bei geometrischen Inhalten graphischen Darstellungsformen gegenüber sehr aufgeschlossen gezeigt und Bereitschaft zum genauen Zeichnen gezeigt.

3.2 Strukturelle didaktische Reduktion

Der Lernprozess wird so gestuft, dass in der Unterrichtsstunde zunächst wichtige Grundeinsichten in die graphische Darstellung von Funktionen ermöglicht werden. Zu den Grundeinsichten gehören:

- die Zuordnung eines Wertes auf der x- Achse („Zeitachse“) zu einem Wert auf der y-Achse (“Längenachse“) entsprechend einer Werttabelle,
- die Markierung dieser Zuordnung durch einen Punkt,
- die Interpolation der zwischen den Punkten liegenden Werte durch kurvenförmiges Verbinden und
- die Vor- und Nachteile einer solchen Darstellungsform.

Andere mit der Darstellungsform Graph verbundenen Einsichten (Einrichtung und Beschriftung des Koordinatensystems, Zuteilung der Achsen, Skalierung der Achsen, unterbrochene Achsen, zulässige Wertebereiche, ... ) sollen in der Unterrichtsstunde nicht thematisiert werden. Die Entlastung wird auch durch entsprechend vorstrukturiertes Arbeitsmaterial erreicht.

Die in der Unterrichtsstunde gewählte funktionale Beziehung stellt in Bezug auf die graphische Darstellung insofern einen vereinfachenden Spezialfall dar, als die Abhängige Variable eine Länge ist und so prinzipiell direkt im Koordinatensystem als Strecke repräsentiert werden kann. Diese Eigenschaft wird in der Hinführungsphase zur Aufbau der Grundvorstellungen ausgenutzt. In der Behandlung weiterer funktionalen Beziehungen muss hier durch die Auswahl anderer Größenbereiche eine weitere Abstrahierung stattfinden. Diese soll in der Sicherungsphase angebahnt werden.

Alle in der Unterrichtsstunde behandelten Funktionen haben als Definitionsmenge den Größenbereich Zeit. Diese Einschränkung entspricht sowohl den häufigsten Anwendungen von Graphen in der Praxis als auch der historischen Entwicklung der graphischen Darstellung von Funktionen (vgl. Malle 1996, S. 6).

Als einziger Fachbegriff wird „Graph“ im Unterrichtsgespräch explizit eingeführt und im Schriftbild dargestellt, weitere Fachbegriffe (Koordinatensystem, Koordinate, Achse, Steigung, ...) werden u.U. erläutert verwendet, jedoch nicht als Lernzuwachs angestrebt.

[...]

Ende der Leseprobe aus 21 Seiten

Details

Titel
Unterrichtsstunde: Graphische Darstellung von funktionalen Beziehungen - Grundeinsichten
Untertitel
Besonderer Unterrichtsentwurf Mathematik: Funktionale Beziehungen, Graphen, Klasse 4
Autor
Jahr
2007
Seiten
21
Katalognummer
V128359
ISBN (eBook)
9783640382361
ISBN (Buch)
9783640382675
Dateigröße
885 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Unterrichtsstunde, Graphische, Darstellung, Beziehungen, Grundeinsichten, Besonderer, Unterrichtsentwurf, Mathematik, Funktionale, Graphen, Klasse
Arbeit zitieren
Roland Baum (Autor), 2007, Unterrichtsstunde: Graphische Darstellung von funktionalen Beziehungen - Grundeinsichten, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/128359

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: Unterrichtsstunde: Graphische Darstellung von funktionalen Beziehungen - Grundeinsichten


Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden