Leseprobe
Inhalt
1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtseinheit
2. Lernziele der Stunde
3. Lerngruppe
4. Sachanalyse
5. Didaktische Analyse
6. Begründung von Lernformen, Arbeitsformen und Methoden
7. Unterrichtsraster
Literaturverzeichnis
Anhang: Geplantes Tafelbild und Arbeitsmaterial
1. Einordnung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtseinheit
Die Schüler*innen kennen aus dem vorherigen Schuljahr bereits Gleichungen mit einer Unbekannten und haben in diesem Zusammenhang den Umgang mit Variablen sowie deren unterschiedliche Aspekte kennen gelernt. Zudem hat die Klasse grundlegende mathematische Rechenregeln wiederholt, die für das Aufstellen und Lösen von komplexeren Gleichungen nötig sind. Unter anderem wurde das Rechnen mit Klammern und Vorzeichenregeln erneut thematisiert. Die Schüler*innen können Terme zusammenfassen, diese umstellen sowie Zahlen für Variablen einsetzen und den Wert des Termes bestimmen. Im höheren Anforderungsniveau haben die Kinder zudem das Aufstellen und Interpretieren von Termen eingeübt. Ebenfalls ist den Schüler*innen bereits das strategische Probieren bekannt. Vor den Äquivalenzumformungen war dies für viele Schüler*innen die einzige Methode, um Gleichungen zu lösen.
In der dargestellten Unterrichtsstunde sollen diese Kenntnisse nun auf Gleichungssysteme mit zwei Variablen ausgeweitet werden. Die Schüler*innen sollen in der Lage sein, Gleichungen aus Textaufgaben aufzustellen und diese zu lösen. In einem ersten Schritt werden dafür die Grundlagen erarbeitet. Unter anderem soll die Klasse erkennen, wann sich ein Gleichungssystem eindeutig lösen lässt.
Im weiteren Verlauf der Einheit werden die vier Lösungsverfahren behandelt, welche das anfängliche Probierverfahren ablösen. Um Anknüpfungspunkte sowohl für die Oberstufe als auch für ein mögliches späteres Studium zu schaffen, wird das Additionsverfahren mit einem besonderen Schwerpunkt behandelt. Das Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren sowie das graphische Lösen von linearen Gleichungssystemen werden aufbauend auf dem Additionsverfahren hergeleitet. Ein Fokus wird dabei auf das verständnisorientierte Vorgehen der Schüler*innen gelegt statt auf das simple Anwenden von Lösungsverfahren.
2. Lernziele der Stunde
Die Schüler*innen sollen linearen Gleichungssysteme mit zwei Variablen kennen lernen, indem sie mit dem Probierverfahren eine Gleichung mit zwei Unbekannten lösen und Bedingungen für eine eindeutige Lösung analysieren und darstellen.
3. Lerngruppe
Die 9c ist eine Klasse mit 11 Schülern und 12 Schülerinnen. Die Lerngruppe wird bereits seit der 5. Jahrgangsstufe gemeinsam unterrichtet. Da es sich um eine Schulklasse einer Gemeinschaftsschule handelt, sind in dieser sowohl Kinder, die einen Hauptschulabschluss anstreben, als auch Schüler*innen, die nach der 10. Klasse in die schuleigene Oberstufe wechseln werden. Ein differenzierter Unterricht wird daher in allen Fächern erteilt.
4. Sachanalyse
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Gleichungen höchstens ersten Gerades. Jede dieser Gleichungen beschreibt dabei eine Termgleichheit oder Einsetzungsgleichheit der Form T1 = T2, wobei T1 und T2 Elemente des Polynomrings K[X] sind. In der Schulmathematik gilt in der Regel K = oder K = . Gleichungen werden über diesem Körper K betrachtet, welcher die Rechenregeln vorgibt. Auch die Menge der möglichen Lösungen kann vorgegeben werden und bildet die Grundmenge. Die Lösung eines Gleichungssystems muss alle Gleichungen gleichzeitig lösen.
Lineare Gleichungssysteme können mit Hilfe der linearen Algebra als A∙x = b geschrieben werden, wobei A eine mxn-Matrix aus Kmxn, x ein Vektor aus Kn und b ein Vektor aus Km ist. Dabei sind m und n größer oder gleich 1. Die Lösbarkeit des Gleichungssystems lässt sich aus den verschiedenen Rängen der gegebenen Matrizen ableiten. Dabei ist der Rang die maximale Anzahl an unabhängigen Spalten- bzw. Zeilenvektoren einer Matrix. Dieser ändert sich nicht durch Linearkombinationen von Zeilen oder Spalten. Der Rang kann demnach abgelesen werden, wenn die Matrix in die Zeilenstufenform gebracht wird.
Ein Gleichungssystem kann durch kein x gelöst werden, wenn der Rang der Matrix A kleiner ist als der Rang der Matrix Aǀb, als der um die Spalte b erweiterten Matrix. In diesem Fall ist b kein Element des Bildes von A. Im Gegensatz dazu kann das Gleichungssystem gelöst werden, wenn der Rang von A gleich dem Rang von Aǀb ist. In diesem Fall gibt es mindestens ein x für welches alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Das Gleichungssystem ist zudem eindeutig lösbar, wenn der Rang von A und der Rang von Aǀb gleich n sind. A ist dann injektiv und es gibt genau ein x, welches das Gleichungssystem löst. Gilt, dass der Rang von A und der Rang von Aǀb gleich m sind, so ist das Gleichungssystem universell lösbar und A ist surjektiv. Jedes x aus Kn löst das Gleichungssystem in diesem Fall (Karpfinger, 2020).
Die ermittelten Lösungen eines linearen Gleichungssystems bilden einen affinen Unterraum v+U von Kn wobei sich die Dimension von U aus der Differenz von n und dem Rang von A ergibt. Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, gilt somit nach den oben genannten Bedingungen, dass die Dimension von U = 0 ist, damit ist v = x die eindeutige Lösung. Ist dagegen das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar, so ist die Dimension von U größer als 0 und kleiner oder gleich n. Bei einem universell lösbaren Gleichungssystem ergibt sich die Dimension von U aus der Differenz von n und m (Karpfinger, 2020).
Um lineare Gleichungssysteme zu lösen existieren mehrere Algorithmen und Strategien. Neben dem aproximativem graphischen Lösen existieren zwei universelle Lösungsverfahren, das Gauß-Verfahren und die Benutzung der Cramer´schen Regel.
Beim Gauß-Verfahren wird die Matrix A durch Linearkombinationen der Zeilen und Spalten in die Zeilenstufenform umgewandelt. Die Lösungen des Gleichungssystems ergeben sich dann durch sukzessive Elimination der Unbekannten, angefangen bei der letzten Zeile, welche keine Nullzeile ist. Die Lösbarkeit des Gleichungssystems kann ebenfalls aus dem Gauß-Verfahren abgeleitet werden. Ergibt sich bei der Umformung von A in die Zeilenstufenform eine Nullzeile welche auf der rechten Seite, als der Seite des Vektors b, einem Eintrag ungleich 0 entspricht, so ist das Gleichungssystem nicht lösbar, in allen anderen Fällen kann mindestens eine Lösung gefunden werden. Das Gauß-Verfahren eignet sich nicht nur, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, sondern kann für die Berechnung der Determinanten oder des Inversen der Matrix A herangezogen werden (Henn, Filler, 2015).
Die Cramer´sche Regel benötigt im Gegensatz zum Gauß-Verfahren eine invertierbare Matrix A. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn A gleich viele Spalten und Zeilen hat. Die einzelnen Einträge xi des Lösungsvektors x ergeben sich dann aus Gleichung 1.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dabei ist Ai die Matrix, in welcher die i-te Spalte durch den Vektor b aus Km ersetzt wurde. Mit der Cramer´schen Regel lässt sich die eindeutige Lösung x für Matrizen mit wenigen Einträgen berechnen. Bei sehr großen Matrizen wird der entstehende Rechenaufwand so groß, dass für diese Gleichungssysteme der Gauß-Algorithmus zu bevorzugen ist. Mit Hilfe der Cramer´schen Regel lässt sich zudem einfach beweisen, dass jedes homogene Gleichungssystem, also wenn b = 0 gilt, mindestens die triviale Lösung x = 0 besitzt (Bär, 2018).
Neben dem bereits erwähnten graphischen Verfahren werden in der Schule das Additionsverfahren, welches zu großen Teilen auf dem Gauß-Verfahren aufbaut, sowie das Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren behandelt. Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung des Gleichungssystems so umgeformt, dass eine Unbekannte xj durch die anderen ausgedrückt werden kann. Sukzessiv wird dann der Term, durch welchen Unbekannte xj ausgedrückt werden, in die anderen Gleichungen eingesetzt, bis alle Unbekannten bis auf eine eliminiert wurden und sich die Gleichung lösen lässt. Die erhaltenen Lösungen für xi werden rückwärts wieder in die umgeformten Gleichungen eingesetzt und es ergibt sich der Lösungsvektor x.
Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen nach xj umgestellt und gleichgesetzt. Dies wird solange durchgeführt, bis alle Einträge von x bis auf einen eliminiert wurden. Die erhaltene Gleichung kann dann gelöst werden. Der Lösungsvektor ergibt sich erneut durch schrittweises Einsetzen der bereits erhaltenen Einträge.
Insbesondere das Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren eignen sich nur für Gleichungssysteme mit sehr wenigen Gleichungen. Bereits bei drei oder mehr Gleichungen ist das Additionsverfahren als universelles Lösungsverfahren in der Schule zu bevorzugen.
5. Didaktische Analyse
Die Einführung in die linearen Gleichungssysteme erfolgt zumeist im 9. Jahrgang unter der Leitidee funktionaler Zusammenhang. Zu diesem Zeitpunkt haben die Schüler*innen bereits Variablen und Gleichungen in vorherigen Klassen behandelt. Dieses Vorwissen, insbesondere der Einsetzungsaspekt von Variablen sowie das Umformen von Gleichungen, werden in der Einführungsstunde zu linearen Gleichungssystemen genutzt. Damit soll unter anderem eine kognitive Aktivierung der Schüler*innen im Sinne eines guten Classroom Managements erreicht werden.
Um den Schüler*innen einen motivierenden Einstieg in das Thema der linearen Gleichungssysteme zu ermöglichen, wird von der Lehrkraft zunächst eine Knobelaufgabe präsentiert. In dieser geht es um „Sophie“, welche Ferien auf dem Bauernhof macht und die Kühe und Hühner füttern darf. Die Tiere haben insgesamt 106 Beine. Die Schüler*innen sollen nun herausfinden, wie viele Kühe und wie viele Hühner es gibt. Die Verwendung von Knobelaufgaben statt alltagsbezogenen Aufgaben eignet sich ebenfalls, um Schüler*innen kognitiv zu aktivieren und Interesse an der Aufgabenstellung zu wecken, da es den Kindern durchaus Freude bereitet, Aufgaben lösen zu können, bei welchen Freunde und Verwandte lange überlegen (Henn, 2015). Die Mathematik wird damit zwischen den „homo faber“ und den „homo ludens“, also den spielenden und schöpfenden Menschen, gehoben (Hischer, 2012, S.4). Gleichzeitig bieten solche Aufgaben ein hohes Differenzierungspotenzial, da Lösungen auf unterschiedlichen Niveaus und mit unterschiedlichen Ausprägungen möglich sind. Da diese Stunde in einer Gemeinschaftsschule durchgeführt wird, streben die Kinder unterschiedliche Abschlüsse an, welche unterschiedliche Anforderungen haben. Leistungsschwache Schüler*innen können die genannte Aufgabe durch strategisches Probieren lösen, während leistungsstarke Klassenmitglieder bereits mathematische Zusammenhänge und Darstellungen untersuchen sollten.
Die Schüler*innen versuchen zunächst selbstständig in Gruppen Lösungen für die Aufgabe zu finden und diese mathematisch zu begründen. Um allen Kindern ein Mitwirken zu ermöglichen, sowie möglichst unterschiedliche Lösungen auf unterschiedlichen Niveaus zu erhalten, werden die Gruppen möglichst leistungshomogen zusammengesetzt. Diese Zusammenstellung ermöglicht es der Lehrkraft zudem, sich auf einzelne Gruppen zu fokussieren und diesen eventuell mit Hilfestellungen beiseite zu stehen. Leistungsstarke Gruppen sollten zudem motiviert werden, mehrere Lösungswege zu finden und diese mathematisch korrekt darzustellen.
In der anschließenden Phase der Erarbeitung werden die gefundenen Lösungen in der Klasse präsentiert. Erneut bietet die Knobelaufgabe einen entscheidenden Vorteil. Da unterschiedliche Lösungen möglich sind, können auch schwächere Schüler*innen einen Beitrag leisten. In der Erarbeitung ist darauf zu achten, dass die typische Fehlvorstellung, es gäbe genau eine richtige Lösung, möglichst vermieden wird. In diese Richtung gehende Kommentare sollten thematisiert und diskutiert werden. Auch unvollständige Beiträge und formal mangelhafte Formulierungen sind, soweit sie sinnvolle Ansätze enthalten, zunächst zu akzeptieren und als gleichwertig anzusehen. Durch dieses Vorgehen der Lehrkraft werden sowohl Methodenkompetenz, Flexibilität in der Anwendung von Lösungsstrategien und das Selbstvertrauen der Schüler*innen gestärkt (Henn, 2015). Die Lernenden sollten ermutigt werden, die gefundenen Lösungen zu diskutieren und zu werten. Die Kinder erweitern in diesem Zusammenhang ihre Fähigkeiten im mathematischen Argumentieren.
Aufgrund der unvollständigen Angaben ist mit mehreren, zu diesem Zeitpunkt richtigen, Lösungen zu rechnen. Sollten die Schüler*inne bereits eigenständig eine eindeutige Lösung einfordern, so kann dieser Vorstoß aufgenommen werden. Ansonsten kann dieser auch provoziert werden, indem die Fragestellung der Aufgabe wiederholt wird. Es sollte deutlich sein, dass es nicht gleichzeitig zwei verschiedene Anzahlen an Kühen auf dem Bauernhof geben kann. Auch bei der Frage nach einer eindeutigen Lösung können und sollten die Schüler*innen mit einbezogen werden. Vermutlich werden sich insbesondere die starken Gruppen bereits Gedanken gemacht habe, wie eine eindeutige Lösung gefunden werden kann. In der Erarbeitungsphase sollten nun alle Schüler*innen überlegen, welche Informationen fehlen, um eine eindeutige Lösung zu generieren. Das eigenständige Finden und Anwenden von Lösungen fördert die Aneignung der entsprechenden Kenntnisse. Schüler*innen, die selbst auf Lösungsmöglichkeiten kommen, vergessen diese seltener als Kinder, denen die Lösung präsentiert wurde (Sill, 2019). Zusätzlich wird dadurch das selbstständige Denken der Schüler*innen gefördert.
Den Schüler*innen wird die fehlende Information nachgeliefert und ebenfalls in den Aufgabenkontext integriert. Die von Sophie gezählten Kühe und Hühner sind insgesamt 37 Tiere. Die Schüler*innen überprüfen nun, ob eine bereits vorgestellte Lösung die zweite Bedingung erfüllt.
Möglich ist nun, dass die Klasse durch Zufall bereits auf die richtige Lösung gekommen ist. In diesem Fall kann die anschließende, erneute Gruppenarbeitsphase dafür genutzt werden, mathematische Darstellungen und Begründungen zu suchen. Die Schüler*innen versuchen mathematisch zu begründen, wie alle Gruppen auf das gleiche Ergebnis kommen könnten.
Da die gewählten Zahlen jedoch sehr groß sind und es damit eine Vielzahl von Möglichkeiten gibt, ist eine zufällig richtige Antwort jedoch eher unwahrscheinlich. Stellen die Schüler*innen fest, dass bisher keine der präsentierten Lösungen richtig ist, wird in einer erneuten Gruppenarbeit die richtige Lösung gesucht. Neben dem strategischen Probieren können bereits in diesem Schritt durch die Schüler*innen später zu behandelnde Lösungsstrategien entdeckt und verwendet werden. Dies ist nicht nur wünschenswert, sondern sollte durch die Lehrkraft auch in einem besonderen Maße gewürdigt werden. Das Anknüpfungspotenzial der Stunde wird durch solche Beiträge erhöht und das spätere Verständnis der Klasse gestärkt. Neben den mathematischen Strategien können aber auch kreative Lösungen von den Schüler*innen produziert werden. Beispiele authentischer Schülerlösungen finden sich bei Henn und Filler (2015, S.28ff.). Auch logische Herleitungen sind an dieser Stelle möglich. Schüler*innen könnten unter anderem überlegen, wie viele Beine übrigbleiben, wenn alle Tiere nur zwei Beine hätten und wo diese zusätzlichen Beine nur herkommen können. Entsprechende Hinweise sind auch für leistungsschwächere Gruppen hilfreich.
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