In der Geometrie beschäftigen sich Mathematiker mit der räumlichen und ebenen Darstellung von mathematischen Gebilden. Insbesondere die n-Ecke verdienen hier eine gesonderte Betrachtung, bilden sie doch die Grundlage jeder höheren Geometrie. Friedrich Bachmann beschäftigte sich im Herbst 1964 mit einer vereinfachten Darstellung von n-Ecken und geometrischen Sätzen über diese, um „zur Belebung des geometrischen Unterrichts einen Gegenstand“ vorschlagen zu können. Er entwickelte eine Theorie über n-Ecke, die auf beschreibenden Polynomen der betrachteten Polygone basiert. Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich komplizierte Sachzusammenhänge einfacher und elementarer beweisen.
Bachmann stellte seine kleine Theorie der n-Ecke in Vorlesungen, unter anderem an der Universität in Kiel 1967, vor und erntete positiven Zuspruch. Grund genug, die Theorie in dieser Arbeit in ihren Grundzügen darzustellen.
In dieser Ausarbeitung wollen wir uns mit verschiedenen Eigenschaften und Sätzen über Vielecke beschäftigen. Eine Reihe von Sätzen über Polygone lassen sich mit der linearen Algebra beweisen, diese werden wir unter einer anderen Herangehensweise betrachten und alternative Beweise auf Grundlage der n-Ecks Theorie vorstellen. Wir arbeiten dabei mit den Definitionen und Folgerungen von Friedrich Bachmann.
Wir werden uns mit der Eindeutigkeit solcher beschreibenden Polynome und deren Anwendungen und Nutzen für die Betrachtung von Vielecken beschäftigen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation
1.2 Vorgehensweise
2 Rekursionsformeln und zyklische Klassen
2.1 Einleitende Vereinbarungen
2.2 Rekursionsformeln
2.3 Zyklische Klassen
2.3.1 Beispiele zyklischer Klassen
3 Zyklische Abbildungen von n-Ecken
3.1 Allgemeine zyklische Abbildungen
3.2 Das zyklische Weiterrücken - Eine besondere zyklische Abbildung
3.2.1 Beispiele zyklischer Abbildungen
4 Der Zerlegungs- und Urbildsatz
4.1 Annulatorpolynome
4.2 Der Zerlegungssatz
4.3 Der Urbildsatz
4.4 Anwendungsbeispiel
5 Reduktion auf die atomaren n-Ecke
5.1 Im Komplexen
5.2 Im Reelen
6 Der Propellersatz
7 Die Viereckstheoreme
8 Ergebnisse
Zielsetzung & Forschungsthemen
Die vorliegende Arbeit hat zum Ziel, die von Friedrich Bachmann entwickelte Theorie der n-Ecke strukturiert darzustellen, ihre mathematischen Grundlagen durch Polynome und zyklische Abbildungen zu erläutern und ihre Anwendung auf geometrische Problemsätze aufzuzeigen.
- Grundlagen der n-Ecks-Theorie und Rekursionsformeln
- Analyse zyklischer Klassen und Abbildungen
- Zerlegung von n-Ecken mithilfe des Zerlegungs- und Urbildsatzes
- Vergleich der Theorie mit klassischen Beweisen der linearen Algebra
- Anwendung der Theorie auf den Propellersatz und Viereckstheoreme
- Reduktion komplexer Polygone auf atomare n-Ecke
Auszug aus dem Buch
3.2 Das zyklische Weiterrücken - Eine besondere zyklische Abbildung
In Bemerkung 1 haben wir bereits gesehen, dass sich aus einem n-Eck A = (a0, a1, ..., an−1) auch alle anderen n-Ecke bilden lassen, die durch zyklische Permutation der Ecken von A entstehen. Die Menge der zyklischen Permutationen kann ebenfalls mithilfe einer zyklischen Abbildung beschrieben werden.
Definition 7: Die zyklische Abbildung x: Nn → Nn, (a0, a1, ..., an−1) → (a1, a2, ..., an−1, a0) nennen wir den Operator des zyklischen Weiterrückens.
Bemerkung 5: Jede zyklische Klasse ist nach Definition invariant gegenüber x.
Durch eine Hintereinanderausführung von x erhalten wir alle n-Ecke die sich durch zyklische Permutation der Ecken ergeben.
Bemerkung 6: Aus Definition 7 ergibt sich: x2(a0, a1, ..., an−1) = x ◦ x(a0, a1, ..., an−1) = x(a1, a2, ..., an−1, a0) = (a2, a3, ..., an−1, a0, a1) (21). Wir werden im Folgen das Bild jedes n-Ecks A aus der Menge Nn unter der Abbildung x mit xA bezeichnen. Die zyklischen Abbildungen gehorchen den üblichen Rechenregeln für Funktionen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Beschreibt die Motivation zur Auseinandersetzung mit der Theorie von Friedrich Bachmann und skizziert die Vorgehensweise der Arbeit.
2 Rekursionsformeln und zyklische Klassen: Führt die mathematischen Definitionen für n-Ecke und zyklische Klassen ein und etabliert rekursive Gleichungssysteme.
3 Zyklische Abbildungen von n-Ecken: Untersucht Abbildungen der Menge der n-Ecke in sich selbst, insbesondere den Operator des zyklischen Weiterrückens.
4 Der Zerlegungs- und Urbildsatz: Behandelt Annullatorpolynome und beweist Sätze zur Zerlegbarkeit von n-Ecken sowie zur Existenz von Urbildern.
5 Reduktion auf die atomaren n-Ecke: Analysiert die Zerlegung von Polygonen in atomare Bestandteile im komplexen und reellen Bereich.
6 Der Propellersatz: Wendet die erarbeitete Theorie auf den Propellersatz an und vergleicht sie mit klassischen Ansätzen der Geometrie.
7 Die Viereckstheoreme: Demonstriert die Leistungsfähigkeit der Bachmann-Theorie an weiteren Sätzen über Vierecke.
8 Ergebnisse: Zieht ein Fazit über die Erreichbarkeit der Zielsetzung und die Anwendbarkeit der Theorie auf den Schulunterricht.
Schlüsselwörter
n-Ecke, Friedrich Bachmann, zyklische Klassen, zyklische Abbildungen, Rekursionsformeln, Annullatorpolynome, Zerlegungssatz, Urbildsatz, lineare Algebra, Geometrie, Propellersatz, Viereckstheoreme, Einheitswurzeln, Polynomring, reguläre n-Ecke.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der elementaren n-Ecks-Theorie nach Friedrich Bachmann als alternative Methode zur Betrachtung von Polygonen mittels linearer Algebra und Polynomen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind zyklische Gleichungssysteme, zyklische Abbildungen, die Zerlegung von n-Ecken und die Anwendung dieser Methoden auf klassische geometrische Sätze.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die Darstellung der Bachmann-Theorie sowie der Beweis, dass geometrische Sätze durch Polynomzerlegung und lineare Gleichungen einfacher behandelbar sind.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine algebraische Herangehensweise genutzt, bei der n-Ecke durch Polynome annulliert und über zyklische Operatoren sowie Faktorzerlegung analysiert werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretischen Grundlagen der Klassenbildung, die Operatortheorie, zentrale Zerlegungs- und Urbildsätze sowie deren Anwendung auf spezifische geometrische Probleme.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie n-Ecke, zyklische Klassen, Annullatorpolynome, Zerlegungssatz und lineare Transformationen charakterisiert.
Wie unterscheidet sich die Bachmann-Theorie von klassischen Methoden der linearen Algebra?
Die Bachmann-Theorie ermöglicht durch die spezifische Modellierung als n-Eck und die Nutzung des Operators des zyklischen Weiterrückens, geometrische Probleme auf das Lösen einfacherer algebraischer Gleichungen zu reduzieren.
Welche Rolle spielt der Propellersatz in dieser Arbeit?
Der Propellersatz dient als prominentes Anwendungsbeispiel, um die Effektivität und Vereinfachung der Bachmann-Theorie im direkten Vergleich zum elementar-geometrischen Beweis aufzuzeigen.
- Citation du texte
- Anonym (Auteur), 2019, Die elementare n-Ecks-Theorie nach Friedrich Bachmann, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1298527
