In der Geometrie beschäftigen sich Mathematiker mit der räumlichen und ebenen Darstellung von mathematischen Gebilden. Insbesondere die n-Ecke verdienen hier eine gesonderte Betrachtung, bilden sie doch die Grundlage jeder höheren Geometrie. Friedrich Bachmann beschäftigte sich im Herbst 1964 mit einer vereinfachten Darstellung von n-Ecken und geometrischen Sätzen über diese, um „zur Belebung des geometrischen Unterrichts einen Gegenstand“ vorschlagen zu können. Er entwickelte eine Theorie über n-Ecke, die auf beschreibenden Polynomen der betrachteten Polygone basiert. Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich komplizierte Sachzusammenhänge einfacher und elementarer beweisen.
Bachmann stellte seine kleine Theorie der n-Ecke in Vorlesungen, unter anderem an der Universität in Kiel 1967, vor und erntete positiven Zuspruch. Grund genug, die Theorie in dieser Arbeit in ihren Grundzügen darzustellen.
In dieser Ausarbeitung wollen wir uns mit verschiedenen Eigenschaften und Sätzen über Vielecke beschäftigen. Eine Reihe von Sätzen über Polygone lassen sich mit der linearen Algebra beweisen, diese werden wir unter einer anderen Herangehensweise betrachten und alternative Beweise auf Grundlage der n-Ecks Theorie vorstellen. Wir arbeiten dabei mit den Definitionen und Folgerungen von Friedrich Bachmann.
Wir werden uns mit der Eindeutigkeit solcher beschreibenden Polynome und deren Anwendungen und Nutzen für die Betrachtung von Vielecken beschäftigen.
Inhaltsverzeichnis
- Bezeichnungen
- 1 Einleitung
- 1.1 Motivation
- 1.2 Vorgehensweise
- 2 Rekursionsformeln und zyklische Klassen
- 2.1 Einleitende Vereinbarungen
- 2.2 Rekursionsformeln
- 2.3 Zyklische Klassen
- 2.3.1 Beispiele zyklischer Klassen
- 3 Zyklische Abbildungen von n-Ecken
- 3.1 Allgemeine zyklische Abbildungen
- 3.2 Das zyklische Weiterrücken - Eine besondere zyklische Abbildung
- 3.2.1 Beispiele zyklischer Abbildungen
- 4 Der Zerlegungs- und Urbildsatz
- 4.1 Annulatorpolynome
- 4.2 Der Zerlegungssatz
- 4.3 Der Urbildsatz
- 4.4 Anwendungsbeispiel
- 5 Reduktion auf die atomaren n-Ecke
- 5.1 Im Komplexen
- 5.2 Im Reelen
- 6 Der Propellersatz
- 7 Die Viereckstheoreme
- 8 Ergebnisse
- 9 Danksagung
- 10 Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit widmet sich der elementaren n-Ecks-Theorie nach Friedrich Bachmann. Sie verfolgt das Ziel, die Theorie anhand einfacher Mengen von Vielecken zu erarbeiten und vorzustellen, um anschließend elementare Sätze der Theorie, wie den Urbildsatz und den Zerlegungssatz, zu beleuchten. Die Arbeit zielt darauf ab, die Anwendbarkeit und den Nutzen der beschreibenden Polynome für die Betrachtung von Vielecken aufzuzeigen und zu demonstrieren, wie sich Sätze aus der Elementargeometrie mit Hilfe der n-Ecks-Theorie beweisen lassen.
- Einführung in die elementare n-Ecks-Theorie nach Friedrich Bachmann
- Rekursionsformeln und zyklische Klassen
- Der Zerlegungs- und Urbildsatz
- Reduktion auf die atomaren n-Ecke
- Anwendungen der Theorie auf Sätze der Elementargeometrie
Zusammenfassung der Kapitel
Die Arbeit beginnt mit einer Einleitung, die die Motivation für die Beschäftigung mit der n-Ecks-Theorie und die Vorgehensweise der Arbeit erläutert. Kapitel 2 führt in die Theorie ein, indem es Rekursionsformeln und zyklische Klassen von n-Ecken vorstellt. Kapitel 3 behandelt zyklische Abbildungen von n-Ecken, insbesondere das zyklische Weiterrücken. Kapitel 4 befasst sich mit dem Zerlegungs- und Urbildsatz, die die Existenz und Eindeutigkeit von Polynomen und passenden Mengen von Vielecken behandeln. Kapitel 5 zeigt, wie sich die Theorie auf die einfachsten, atomaren n-Ecke reduzieren lässt. Kapitel 6 stellt den Propellersatz vor, der auf der Theorie aufbaut. Die Arbeit endet mit einer Danksagung und einem Literaturverzeichnis.
Schlüsselwörter
Die Arbeit behandelt die elementare n-Ecks-Theorie nach Friedrich Bachmann und befasst sich mit folgenden Schlüsselbegriffen: Rekursionsformeln, zyklische Klassen, Annulatorpolynome, Zerlegungssatz, Urbildsatz, atomare n-Ecke, Propellersatz.
- Quote paper
- Anonym (Author), 2019, Die elementare n-Ecks-Theorie nach Friedrich Bachmann, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1298527
