Portfoliooptimierung durch den Einsatz von Optionen

Inhaltsverzeichnis

1. Aufbau der Arbeit

2. Portfoliotheoretische Grundlagen
2.1. Portfolio-Selection-Modell (Markowitz)
2.1.1. Annahmen
2.1.2. Rendite, Risiko und Korrelation
2.1.3. Effiziente Portfoliokonstellationen
2.2. Shortfall-Ansatz (Roy)
2.3. Index-Modell (Sharpe)
2.3.1. Systematisches Risiko
2.3.2. Unsystematisches Risiko

3. Optionen
3.1. Einordnung von Optionen innerhalb des Derivatemarktes
3.2. Optionsdefinition
3.3. Optionspositionen
3.3.1. Long-Call
3.3.2. Short-Call
3.3.3. Long-Put
3.3.4. Short-Put
3.4. Preisbildung
3.4.1. Innerer Wert und Zeitwert
3.4.2. Einflussfaktoren des Optionspreises
3.4.2.1. Black-Scholes-Modell
3.4.2.2. Sensitivitätskennzahlen
3.4.2.2.1. Delta
3.4.2.2.2. Gamma
3.4.2.2.3. Omega
3.4.2.2.4. Rho
3.4.2.2.5. Theta
3.4.2.2.6. Vega

4. Portfoliooptimierung durch Optionen
4.1. Ausgangssituation
4.2. Optimierungsstrategien durch Optionen
4.2.1. Covered-Call-Writing (CCW)
4.2.2. Portfolio Insurance Konzepte
4.2.2.1. Protective-Put-Buying (PPB)
4.2.2.1.1. Fixed-Hedge
4.2.2.1.2. Delta-Hedging
4.2.2.2. Kombinationen von CCW und PPB
4.2.2.2.1. Collar
4.2.2.2.2. Gamma-Hedging
4.2.2.3. Long-Call mit sicherer Anlage (90/10-Strategie)

5. Fazit

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Einordnung von Optionen in den Derivatemarkt

Abbildung 2: Gewinn- und Verlustdiagramme der vier Optionspositionen

Abbildung 3: Gewinn-/Verlustdiagramm eines Covered-Short-Call

Abbildung 4: Portfolio Insurance mit Protective-Puts

Abbildung 5: Symmetrische versus asymmetrische Renditeverteilung

Abbildung 6: Gewinn-/Verlustdiagramm eines Collars

Abbildung 7: Portfolio Insurance mit Calls und einer Festzinsanlage

Abbildung 8: Die langfristige Performance von PPB-Strategien (1926-2005)

Abbildung 9: Die langfristige Performance von CCW-Strategien (1926-2005)

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Fixed-Hedge eines beispielhaften Portfolio zum Anlagezeitpunkt t

Tabelle 2: Fixed-Hedge eines beispielhaften Portfolio zum Anlagezeitpunkt t1

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Aufbau der Arbeit

Im Rahmen der momentan stark volatilen Kapitalmärkte und insbesondere im Hinblick auf den Umstand, dass der DAX seit Beginn des Jahres 2008 in der Spitze um beinahe 25 Prozent eingebrochen ist, erscheint die Fragestellung nach einer „Portfoliooptimierung durch den Einsatz von Optionen“ aktueller denn je.

Die vorliegende Arbeit hat die Zielsetzung, die verschiedenen Konzepte der Portfoliooptimierung durch Optionen darzustellen, zu analysieren und letztendlich eine Konklusion zu ziehen, ob und für wen der Einsatz von Optionen zur Portfoliooptimierung sinnvoll ist.

Damit eine detaillierte und wissenschaftlich fundierte Analyse und Beurteilung der Portfoliooptimierung durch Optionen vorgenommen werden kann, beschränken sich die fortfolgenden Ausführungen, aufgrund des limitierten Umfangs der Arbeit, auf die Betrachtung und die Analyse der Portfoliooptimierung durch Optionen von Aktienportfolios.

Zu Beginn wird innerhalb des zweiten Kapitels das Fundament für ein portfoliotheoretisches Grundverständnis – durch die Darlegung des Portfolio-Selection-Modells von Markowitz, dem Shortfall-Ansatz von Roy und dem Index Modell von Sharpe – geschaffen. Anschließend wird eine Systematisierung des Portfolio-Risikobegriffs, in seine beiden Komponenten – systematisches sowie unsystematische Risiko – vorgenommen.

Im Dritten Kapitel werden die Grundlagen zum Verständnis der Wirkungsweise von Optionen innerhalb der Portfoliooptimierung geschaffen. Zunächst wird eine Einordnung der Optionen innerhalb des Derivatemarktes angestellt, bevor die Optionen, sowie ihre vier Grundoptionspositionen – aus denen sich die Optimierungsstrategien im vierten Kapitel zusammensetzen – definiert und näher erläutert werden.

Im Anschluss werden die preisdeterminierenden Einflussfaktoren von Optionen anhand der Black-Scholes-Formel analysiert, bevor darauf basierend, die Sensitivitätskennziffern von Optionen hergeleitet werden.

Im vierten Kapitel wird durch die Veranschaulichung und Analyse der verschiedenen Portfoliooptimierungsstrategien durch den Einsatz von Optionen, eine Synthese, der in den Kapiteln zwei und drei erworbenen Grundkenntnisse, vorgenommen. Dabei werden sowohl antizyklische Chancenstrategien, wie das Covered-Call-Writing (CCW), als auch Portfolio-Insurance-Konzepte, wie das Protective-Put-Buying (PPB), die Kombinationsmöglichkeiten des PPB und CCW, sowie die Kombination von Long-Calls mit sicheren Anlagen (90/10-Strategie), erläutert.

Innerhalb des Protective-Put-Buyings werden die Möglichkeiten der Strategieimplementierung, durch die Verwendung eines Fixed-Hedges bzw. des Delta-Hedgings, erläutert. Die Kombinationsmöglichkeiten des CCW und des PPB werden anschließend anhand des Collars und seines Spezialfalls – dem Gamma-Hedging – näher analysiert.

Zum Abschluss der Arbeit wird innerhalb des Fazits in Kapitel Fünf, eine Konklusion gezogen, die klären soll, ob und für wen Portfoliooptimierungsstrategien durch Optionen geeignet sind.

2. Portfoliotheoretische Grundlagen

Die Portfolio-Theorie bildet die Grundlage des modernen Managements von Finanzinvestitionen.¹ Sie basiert auf den Erkenntnissen des Portfolio-Selection-Modells von Harry Markowitz und analysiert die Ertragsaussichten einer Kapitalanlage unter Berücksichtigung des damit einhergehenden Risikos. Die Portfoliotheorie ist gegenüber der bis in die 50er Jahre verbreiteten eindimensionalen Auffassung des Anlageproblems als innovativ zu charakterisieren. Zum einen basiert die Portfoliotheorie auf einer zweidimensionalen Ertrags-Risiko-Auffassung und zum anderen werden Alternativanlagen nicht isoliert, sondern stets im Portfolio-Kontext, also unter Einbeziehung anderer Investitionsmöglichkeiten betrachtet.²

2.1. Portfolio-Selection-Modell (Markowitz)

Das Portfolio-Selection-Modell basiert auf den empirischen Beobachtungen von Harry Markowitz, dass Investoren ihr Vermögen auf mehrere Anlagetitel aufteilen und grundsätzlich risikoavers sind.³ Eine solche Diversifikation ist nur dann sinnvoll, wenn nicht ausschließlich von der zu erzielenden Rendite ausgegangen wird, da sonst nur der Anlagetitel mit der höchsten Rendite als Investitionsobjekt in Frage kommen würde. Somit ist die Annahme einer monovariablen Zielfunktion – mit der zu erwartenden Rendite als einzige Variable – nicht zielführend.⁴ Stattdessen basiert das Portfolio-Selection Modell auf drei wesentlichen Annahmen (2.1.1.), die eine Portfolioanalyse anhand der Parameter Rendite, Risiko und den Koeffizienten der Korrelation (2.1.2.) ermöglichen. Basierend auf der Kenntnis dieser Parameter, lassen sich effiziente Portfoliokonstellationen ermitteln (2.1.3.).

2.1.1. Annahmen

Das Portfolio-Selection Modell von Markowitz basiert auf drei wesentlichen Annahmen. Diese sind das Zweipunktmodell, die Kenntnis der Parameter der diskreten Rendite und das Vorliegen einer Normalverteilung⁵:

- Zweipunktmodell:
Die Betrachtung des Portfolios ist auf zwei Zeitpunkte, t=0,1 beschränkt. Zum Zeitpunkt t=0 wird die Asset-Allokation durch den Anleger unter Einbeziehung der zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Informationen vorgenommen und bis zum Zeitpunkt t=1 nicht verändert. Zum Zeitpunkt t=0 wird der anfängliche Anlagebetrag W0 als bekannt vorausgesetzt.
Somit geht es bei der Portfolio-Selektion nach Markowitz darum, für einen bekannten Anlagebetrag W0 die relativen Anteile der Assets innerhalb des Portfolios einmalig zum Zeitpunkt t=0 zu bestimmen. Demnach wird also eine Zweizeitpunktbetrachtung und nicht ein Einperiodenmodell⁶ – bei dem zu allen Zeitpunkten 0<t<1 die Asset-Allokation verändert werden könnte – angenommen.⁷
- Kenntnis der Parameter der diskreten Rendite⁸:
Aufgrund der Betrachtung der diskreten Zeitpunkte t=0,1 und der Portfolioeigenschaft der diskreten und normalverteilten Rendite der einzelnen Assets, ergibt sich die diskrete Rendite des Portfolios, als gewichtetes Mittel der diskreten Renditen der Einzelanlagen, als R P = x * RA + ( 1 − x ) * RB, mit x als
Gewichtung des Assets A, sowie mit 1-x als Gewichtung des Assets B.
Somit können die Verteilungsparameter der Portfoliorendite direkt aus den
Renditen der Einzelanlagen ermittelt werden.⁹
- Vorliegen einer Normalverteilung¹⁰:
Eine stetige Zufallsvariable, deren Dichte eine glockenförmige, symmetrische Gestalt besitzt und normalverteilt ist, kann durch die beiden zentralen Parameter von X – durch den Erwartungswert (p von X) und der Varianz (a2 von X) eindeutig beschrieben werden.¹¹ Wenn wie bei dem Portfolio-Selektion-Modell mehrere gemeinsam normalverteilte Assets im Kontext betrachtet werden, dann kann aufgrund der Portfolioeigenschaft der einzelnen Assets, auch auf eine Normalverteilung des Portfolios geschlossen werden. Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig charakterisieren zu können, werden neben den Erwartungswerten der Rendite und den Varianzen auch noch die Kovarianzen aller Paare von Zufallsgrößen betrachtet.¹²

Aufgrund dieser drei Annahmen – Zweizeitpunktbetrachtung, Kenntnis der Parameter der diskreten Rendite, sowie normalverteilte Renditen – genügt es, den Erwartungswert der Rendite (p von X), die Varianz der Rendite (a2 von X), sowie die Koeffizienten der Korrelation zwischen den Einzelanlagen zu bestimmen, um effiziente Portfoliokonstellationen ermitteln zu können.¹³

2.1.2. Rendite, Risiko und Korrelation

Die erwartete Portfoliorendite (pp) ergibt sich aufgrund der zuvor getroffenen Annahmen unter 2.1.1., als Summe der Einzelrenditen der jeweiligen

Portfolioanteile (xi) und kann als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

µp = erwartete Portfoliorendite,

xi = Anteil des Wertpapiers i am Portfolio,

µi = Erwartungswert der Rendite des i-ten Wertpapiers und

n = Anzahl der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere, beschrieben werden.¹⁴

Das erwartete Portfoliorisiko wird durch die Varianz als statistisches Streuungsmaß

der erwarteten Renditen gemessen und durch(Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten)

T = Anzahl der beobachteten Renditen des Portfolios,

Rpt = Rendite des Portfolios p in der Periode t und

pp = Erwartungswert der Portfoliorendite, beschrieben.¹⁵

Alternativ kann als Streuungsmaß der erwarteten Renditen auch die Standardabweichung, als Wurzel der Varianz, mit (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), verwendet werden.¹⁶

Zur Bestimmung der Portfoliovarianz bedarf es neben den Einzelvarianzen der Assets, der Kovarianz COVij, die das Ausmaß des Renditegleichlaufs der Portfolio-Assets analysiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

COVij = Kovarianz der Renditen der Wertpapiere i und j,

Rit = Rendite des Wertpapiers i in der Periode t,

m ij = Erwartungswert der Rendite des Wertpapiers i,j und

T = Anzahl der Perioden.¹⁷

Um eine optimale Asset-Allokation vornehmen zu können, bedarf es einer Entscheidungsregel bezüglich des Investorenverhaltens, die sowohl den Erwartungswert der Rendite (p), als auch die Streuung der Rendite (a) einbezieht.¹⁸ Dies wird durch den erwarteten Nutzen (U) einer Investition ausgedrückt.¹⁹ Das Portfolio-Selection-Modell unterstellt dabei, dass sich Anleger risikoavers verhalten und sich anhand des Erwartungswertes der Rendite (p) und ihrer Streuung (a) orientieren. Anleger akzeptieren demnach ein höheres Risiko nur dann, wenn die Renditeerwartung überproportional zunimmt.²⁰

Aufgrund dieser Annahmen lässt sich der erwartete Nutzen aus einer Investition

a

definieren als (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), mit a = Risikoaversion des Investors. Wenn a klein ist, wird der Vorteil betont, der mit der Renditeerwartung verbunden ist. Im Gegensatz dazu, beschreibt ein großes a den Nachteil, der mit der Varianz der Rendite einhergeht.²¹

2.1.3. Effiziente Portfoliokonstellationen

Basierend auf den Annahmen aus 2.1.2. existieren drei Fälle, in denen effiziente Portfoliokonstellationen von p und a vorliegen. Dies ist der Fall, wenn es kein anderes Portfolio gibt, dass²²:

- bei gleichem Erwartungswert der Rendite ein geringeres Risiko, oder
- bei gleichem Risiko einen höheren Erwartungswert der Rendite, oder
- sowohl einen höheren Erwartungswert der Rendite als auch simultan ein geringeres Risiko aufweißt.

Basierend auf diesen drei Kriterien und unter Beachtung der beiden zusätzlichen Annahmen, dass alle Wertpapiere beliebt teilbar sind und weder Transaktionskosten noch Steuern anfallen, kann die so genannte Effizienzkurve nach Markowitz konstruiert werden. ²³ Diese ergibt sich als Verbindung aller Punkte der Portfoliokonstellationen, die hinsichtlich Rendite und Risiko effizient und somit gegenüber ineffizienten Portfoliokonstellationen dominant sind.

Die Berechnung der Effizienzkurve, sowie die Bedeutung des Diversifikationseffektes, werden im Folgenden anhand eines Two-Asset-Portfolios erläutert.²⁴

Das Two-Asset-Portfolio wird durch die beiden Parameter Portfoliorendite (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und dem Portfoliorisiko als Summe der Kovarianzen der beiden

Assets (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) determiniert, wobei der Gleichlauf der

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

beiden Wertpapiere 1 und 2, im Folgenden nicht mehr durch die Kovarianz als COV 12 absoluten Parameter, sondern durch den Korrelationskoeffizienten dargestellt wird.²⁵ Dieser ist standardisiert und kann nur zwischen den Wertbereichen 1 (vollkommen positiv korreliert) und -1 (vollkommen negativ korreliert) schwanken, wobei ein Wert von 0 auf Unkorreliertheit hinweißt. Somit ist ein relativer Vergleich möglich. ²⁶

Im Two-Asset-Portfolio ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten dann²⁷

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter Beachtung des Umstandes, dass im Two-Asset-Portfolio x 1 + x 2 =1 ist, kann

x2 durch (1-x1) ausgedrückt und somit substituiert werden.

Somit lässt sich die Portfoliorendite durch (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und das

Portfoliorisiko durch s P x

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

beiden Gleichungen beschreiben sämtliche Allokationen aus Asset 1 und Asset 2. Wenn nun die Erwartungswerte der Renditen (p) und deren Varianzen (a2) bekannt sind, gilt es zwei Unbekannte – den Portfolioanteil von Asset 1 (x1) und den Korrelationskoeffizienten zwischen Asset 1 und 2 (k12) – zu ermitteln.

Nach Auflösung der Renditegleichung nach x1 und anschließendem Einsetzen in die Varianzgleichung erhält man die Gleichung der Portfoliolinie. Somit kann zu jedem Renditeerwartungswert das varianzminimale Portfolio gefunden werden.

Die Portfoliorendite und insbesondere das Portfoliorisiko werden im Two-Asset-Portfolio durch unterschiedliche Korrelationskoeffizienten beeinflusst, die im Folgenden anhand der Extremwerte k12 =1;0;-1 erläutert werden²⁸:

- k12 = 1 (vollständig positive Korrelation der Renditen):

In diesem Fall kann das Portfoliorisiko nicht durch Diversifikation reduziert

werden und bleibt durch (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) vollständig bestehen.

- k12 = 0 (unkorrelierte Renditen):

In diesem Fall wird das Portfoliorisiko durch die Diversifikation teilweise reduziert und entspricht (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten).

k12 = -1 (vollständig negativ korrelierte Renditen):

Im diesem Fall lassen sich maximale Diversifikationseffekte erzielen, sodass gilt²⁹ s P = x 1 (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten)

Abgeleitet aus diesen drei Extrembeispielen, kann somit der Rückschluss gezogen werden, dass das Risiko eines diversifizierte Portfolios, unter der Summe der Risiken der Einzelwerte liegt, sofern k 12 ≠ 1 .³⁰ Die optimale Asset-Allokation eines Anfangsvermögens W0 ist dann erreicht, wenn das Portfolio sowohl risikoeffizient gestaltet ist, als auch gleichzeitig der individuellen Risikoneigung des Investors

a

gemäß der Nutzenfunktion U R P f p³¹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

stellt jeder Investor ein Portfolio zusammen, das sowohl seiner individuellen Risikoneigung entspricht, als auch auf der effizienten Portfoliokurve liegt.³²

Im Bezug auf die Praxis ergibt sich jedoch für das Portfolio-Selection-Modell nach Markowitz ein Datenproblem, da für die Berechnung der Portfoliolinie sehr viele Schätzwerte bestimmt werden müssen.³³ Bei beispielsweise 100 Anlagetiteln werden gemäß der Formel zur Berechnung von notwendigen Schätzwerten n ( n + 3) / 2 5510 Schätzwerte benötigt – nämlich 100 Varianzen, 100 Renditen und 5310 Kovarianzen.³⁴ Dieser Problematik versucht Sharpe mit seinem Indexmodell, dass unter 2.3. näher erläutert wird, entgegenzutreten.³⁵

2.2. Shortfall-Ansatz (Roy)

Das Portfolio-Selection-Modell nach Markowitz definiert das Risiko einer Anlage durch die Standardabweichung der Rendite.

Im Gegensatz dazu, wird das Risiko im Shortfall-Ansatz nach Roy als Wahrscheinlichkeit verstanden, dass eine bestimmte und zuvor festgelegte Mindest- oder Zielrendite (z) nicht erreicht oder übertroffen wird.³⁶ Diese Wahrscheinlichkeit wird als Shortfall-Risiko bezeichnet, zu dessen Kalkulation die beiden Größen, Zielrendite (z) und der Anlagehorizont (T), bestimmt werden müssen. Die Zielrendite z wird vom Investor so gewählt, dass diese als ein mindestens zu erreichendes Ergebnis interpretiert werden kann und somit als Trenngröße zwischen akzeptablen und nicht mehr tragbaren Ergebnissen fungiert. Der Anlagehorizont T wird als der Zeitpunkt definiert, zu dem die Portfoliorendite mindestens die Zielrendite z erreicht haben soll.³⁷

Bei einer einfachen Modellierung des Shortfall-Risikos wird deshalb die Wahrscheinlichkeit betrachtet, mit welcher die Portfoliorendite Rp, die Zielrendite z, zum Zeitpunkt t, nicht erreichen wird.

[...]

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¹ Vgl. Breuer, et al. (1999), S. 5.

² Vgl. Garz, H. et al. (1998), S. 17.

³ Vgl. Farrel, J.L. (1997), S. 18-19.

⁴ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 6-7.

⁵ Vgl. Spremann, K. (2006), S. 177-182.

⁶ Vgl. Breuer, W., Schumacher, F. (2005), S. 86.

⁷ Vgl. Garz, H. et al. (1998), S. 21.

⁸ Vgl. Zöfel, P. (2003), S. 47.

⁹ Vgl. Spremann, K. (2006), S. 179-180.

¹⁰ Vgl. Albrecht, P., Maurer, R.(2005) S. 99-100.

¹¹ Vgl. Dichtl, H. et al. (2008), S. 70-77.

¹² Vgl. Spremann, K. (2006), S. 84-87.

¹³ Vgl. Spremann, K. (2006) S. 182.

¹⁴ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 7.

¹⁵ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 7.

¹⁶ Vgl. Zöfel, P. (2003), S. 65-66.

¹⁷ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 7-8.

¹⁸ Vgl. Farrel, J.L. (1997), S. 18-19

¹⁹ Vgl. Breuer, W. et al. (1999), S. 8.

²⁰ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 8.

²¹ Vgl. Spremann, K. (2006) S. 181.

²² Vgl. Cramer, J.E., Rudolph, B. (1995), S. 29.

²³ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 8.

²⁴ Vgl. Loistl, O. (1999), S. 204-206.

²⁵ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007) S. 9-10; Farrell, J.L. (1997), S. 22-23; Loistl, O. (1999), S. 205.

²⁶ Vgl. Dichtl, H. et al. (2008), S. 65.

²⁷ Vgl. Bodie, et al. (2005), S. 178.

²⁸ Vgl. Bailey, R.E. (2005), S. 118.

²⁹ Vgl. Brown, K.C., Reilly, F.K. (2006), S. 213.

³⁰ Vgl. Bruns, C., Meyer-Bullerdiek, F. (2003), S. 69; Gleason, J.T. (2001). S. 56.

³¹ Vgl. Kleeberg, J.M. (1995), S. 13.

³² Vgl. Krech, J. (2002), S. 1389.

³³ Vgl. Breuer, W., Schumacher, F. (2005), S. 83.

³⁴ Vgl. Achleitner, A.K. (2002), S. 701.

³⁵ Vgl. Bruns, C., Steiner, M. (2007), S. 15.

³⁶ Vgl. Spremann, K. (2006) S. 99.

³⁷ Vgl. Spremann, K. (2006) S. 100.