Die Arbeit beschäftigt sich mit drei Kreissätzen aus der Geometrie, mit denen sich die Winkel von Figuren wie Dreiecken und
Vierecken innerhalb von Kreisen berechnen lassen. Anwendungsbeispiele für die Berechnung der jeweiligen Innenwinkelsummen der Figuren sind ebenfalls Teil dieser Arbeit. Die Leserinnen und Leser bekommen einen Einblick über die Beziehungen von Geraden und Kreisen. In der Arbeit wird großer Wert auf die Darstellung von Abbildungen und die Beweise der Sätze gelegt.
Kreissätze sind in der Geometrie sehr umfangreich zu finden. Durch Thales wurden alltägliche Aussagen der Ägypter und Babylonier zu Kreissätzen der Geometrie. Folglich wurden weitere Kreissätze gebildet und sind heute ein wichtiger Begleiter in der Universität und Schule, sowie auf der Arbeit.
Die Arbeit basiert auf dem Artikel "Circles Revisted" von Burke. Es werden Kreissätze angewendet um geometrische Aussagen herzuleiten und zu berechnen. Es wird gezeigt, welcher Kreissatz für die jeweilige Aussage verwendet werden kann und wie die Anwendung erfolgt. Beispielsweise gibt es eine Aussage über die Innenwinkel von einem Sechseck. Diese besagt, dass wenn die Eckpunkte des Sechsecks der Reihe nach nummeriert werden, die geradzahligen Eckpunkte den ungeradzahligen Eckpunkten in ihren Winkelmaßen gleichen. Solch eine Aussage kann mithilfe der Kreissätze berechnet und gezeigt werden. Wie diese Berechnung erfolgt, wird in Kapitel 4 gezeigt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Zielsetzung
1.3 Aufbau der Arbeit
2 Mathematische Grundlagen
2.1 Kreise
2.2 Geraden und ähnliche Formen
2.3 Winkel
2.3.1 Scheitelwinkel und Nebenwinkel
2.3.2 Stufenwinkel und Wechselwinkel
2.4 Dreiecke
2.5 Konvexes Viereck
2.6 Begriffe aus der Kongruenz-Geometrie
2.7 Polygon
2.8 Sternpolygon
3 Kreissätze
3.1 Satz des Thales
3.2 Peripherie-/Umfangswinkelsatz
3.3 Kreissatz 1 (Satz vom eingeschriebenen Winkel)
3.4 Kreissatz 2
3.5 Kreissatz 3
4 Anwendungsbeispiele
4.1 Beispiel 1 Summe der Innenwinkel eines Dreiecks
4.2 Beispiel 2 Summe der Innenwinkel eines konvexen Vierecks
4.3 Beispiel 3 kongruente Wechselwinkel
4.4 Beispiel 4 Parallele Geraden durch kongruente Wechselwinkel
4.5 Beispiel 5 Summe der Innenwinkel eines Sechsecks
4.6 Beispiel 6 Summe der Innenwinkel eines 7/3-Sternpolygons
4.7 Beispiel 7 Innenwinkel eines 12/5-Sternpolygons
4.8 Rechenbeispiel - Gegenüberliegende Innenwinkel sind bei einem Parallelogramm kongruent
5 Fazit
6 Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, die praktische Anwendbarkeit von geometrischen Kreissätzen aufzuzeigen, um geometrische Sachverhalte wie Innenwinkelsummen in verschiedenen Figuren (Dreiecke, Vierecke, Polygone) unkompliziert herzuleiten und zu berechnen.
- Mathematische Grundlagen der Geometrie (Kreise, Winkel, Geraden)
- Herleitung und Beweisführung zentraler Kreissätze
- Anwendung der Kreissätze auf komplexe Figuren wie Sternpolygone
- Berechnungsbeispiele für Innenwinkel von Polygonen
Auszug aus dem Buch
3.1 Satz des Thales
Es ist ein Dreieck ABC zu betrachten. Dieses besitzt genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn der Punkt C auf dem Thaleskreis über AB liegt [Aum15, S.3]. Der Thaleskreis stellt einen Halbkreis bzw. einen Bogen über der Strecke AB dar.
Beweis
Im Folgenden wird der Satz des Thales bewiesen. Für den Beweis ist der Mittelpunkt M der Strecke AB zu berücksichtigen. Es wird angenommen, dass r der Abstand von M zu A ist. Der Punkt C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Nun werden die Winkel betrachtet. γ ist der Winkel ACB. Anschließend wird eine Hilfslinie von M nach C gezeichnet. Dadurch wird der Winkel γ in zwei Winkel zerlegt und es entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke CBM und MAC. Die zerlegten Winkel werden als γ1 und γ2 bezeichnet. Die Abstände AM, MB und MC sind r gleichzusetzen. Das lässt sich wie folgt darstellen:
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Vermittelt den historischen Hintergrund der Geometrie und definiert die Problemstellung sowie die Zielsetzung der Arbeit.
2 Mathematische Grundlagen: Definiert notwendige Begriffe wie Kreis, Winkel, Strecken, Dreiecke und Polygone für die weiteren Berechnungen.
3 Kreissätze: Stellt drei wesentliche Kreissätze vor, erläutert diese theoretisch und liefert die mathematischen Beweise dazu.
4 Anwendungsbeispiele: Demonstriert anhand konkreter Berechnungsbeispiele die praktische Anwendung der zuvor hergeleiteten Kreissätze.
5 Fazit: Fasst die Ergebnisse zusammen und bestätigt die Eignung der Kreissätze zur Lösung geometrischer Aufgabenstellungen.
6 Ausblick: Erörtert kurz das Potenzial für weiterführende Betrachtungen geometrischer Winkel außerhalb von Kreisen.
Schlüsselwörter
Geometrie, Kreissätze, Innenwinkel, Satz des Thales, Umkreis, Bogenmaß, Peripheriewinkel, Sternpolygon, Dreieck, konvexes Viereck, Kongruenz, Winkelberechnung, Winkelmaß, mathematische Beweise, Kreisgeometrie
Häufig gestellte Fragen
Was ist das zentrale Thema der Arbeit?
Die Arbeit befasst sich mit der Anwendung grundlegender Kreissätze aus der Geometrie, um geometrische Aussagen herzuleiten und Winkel in verschiedenen Figuren zu berechnen.
Welche mathematischen Hauptbereiche werden behandelt?
Zentrale Themenfelder sind die Kreisgeometrie, die Eigenschaften von Winkeln, Dreiecken, Vierecken sowie die komplexe Struktur von Sternpolygonen.
Welches primäre Ziel verfolgt die Abschlussarbeit?
Es soll gezeigt werden, wie Aufgabenstellungen durch die Anwendung von Kreissätzen unkompliziert, systematisch gelöst und durch Formeln validiert werden können.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Die Arbeit nutzt mathematische Definitionen und Sätze, um geometrische Zusammenhänge zu beweisen und wendet diese deduktiv auf konkrete Beispiele an.
Was umfasst der Hauptteil der Arbeit?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematischen Grundlagen, die theoretische Herleitung der drei Kreissätze und einen umfangreichen Praxisteil mit Anwendungsbeispielen.
Wodurch lässt sich diese Arbeit charakterisieren?
Die Arbeit zeichnet sich durch eine klare Struktur, die Verknüpfung von theoretischen Beweisen mit anschaulichen geometrischen Abbildungen und numerische Berechnungsbeispiele aus.
Wie unterscheidet sich ein Sternpolygon von einem konvexen Polygon?
Ein Sternpolygon unterscheidet sich durch überschlagene Strecken, die sich innerhalb der Figur schneiden, was eine andere Herangehensweise bei der Winkelberechnung erfordert als bei konvexen Vielecken.
Warum ist der Satz des Thales für die anderen Kreissätze wichtig?
Der Satz des Thales dient als theoretisches Fundament und Grundbaustein, auf dem der Peripheriewinkelsatz und die darauf aufbauenden weiterführenden Kreissätze basieren.
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- Cansu Kolayli (Author), 2022, Anwendung grundlegender Kreissätze für die Herleitung geometrischer Aussagen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1337402
