Es gilt, zeitliche Schrittweiten beim Diskretisieren der einzelnen PDE's in der Zeit einzuhalten um Instabilitäten im numerischen Verfahren zu vermeiden. Ziel dieses Seminars ist zu zeigen woher diese kommen und zu verdeutlichen, solange diese eingehalten werden oder umgangen werden durch implizite Verfahren und das spektrale Methoden sehr mächtige Werkzeuge sind für zeitabhängige Probleme in dem die Ansatzfunktion zur Lösung in den Spektralbereich transformiert wird. Die Unbekannten sind dann nicht mehr z.B. die Auslenkung sondern die Koezienten der Spektralfunktion.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einführung
- 2 Zeitschritte und Stabilitätsgebiete
- 2.1 Stabilitätsgebiete
- 2.2 Zeitschritte, Linienverfahren
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Seminar zielt darauf ab, die Stabilitätsgebiete von numerischen Verfahren für zeitabhängige partielle Differentialgleichungen (PDEs) zu untersuchen. Es zeigt, wie spektrale Methoden zur Lösung dieser Probleme eingesetzt werden können, indem die Ansatzfunktion in den Spektralbereich transformiert wird.
- Stabilität von numerischen Verfahren für PDEs
- Stabilitätsgebiete und ihre Bedeutung für Zeitschritte
- Anwendung von spektralen Methoden
- Vergleich von expliziten und impliziten Verfahren
- Diskretisierungsfehler und Instabilitäten
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung
Dieses Kapitel führt in die Thematik zeitabhängiger PDEs ein und stellt die Anwendung des leap-frog-Verfahrens zur Zeitdiskretisierung dar. Es werden die Herausforderungen bei der Wahl der ZeitSchrittweite zur Vermeidung von Instabilitäten erläutert und die Vorteile spektraler Methoden für die Lösung zeitabhängiger Probleme hervorgehoben.
2 Zeitschritte und Stabilitätsgebiete
2.1 Stabilitätsgebiete
Dieser Abschnitt beleuchtet den Begriff der Stabilität von numerischen Verfahren und die Bedeutung des Stabilitätsgebiets. Es wird die Test-DGL ẏ = λy mit einem λ = R und einem Anfangswert y(0) = yo betrachtet und die Rechenvorschriften für das explizite und implizite Eulerverfahren vorgestellt. Die Abhängigkeit der Stabilität von der Größe des Zeitschritts wird diskutiert, und die Definition des Stabilitätsgebiets wird erläutert.
2.2 Zeitschritte, Linienverfahren
Dieser Abschnitt zeigt verschiedene zeitabhängige PDEs auf, die mit der leap frog Diskretisierung in t gelöst wurden. Es werden die Auswirkungen einer Überschreitung der Zeitschrittgrenze auf die Stabilität des Verfahrens und die Notwendigkeit empirischer Bestimmung der ZeitschrittSchranken hervorgehoben. Die Linienmethode zur numerischen Lösung von zeitabhängigen PDEs wird vorgestellt, wobei die Raumdiskretisierung mit spektralen Methoden durchgeführt wird. Es wird gezeigt, wie das Ergebnis ein gekoppeltes System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen darstellt, das mit Mehrschrittverfahren gelöst werden kann. Die Faustregel für die Stabilität der Linienmethode und die Bedeutung des Pseudospektrums für den Fall einer nicht-normalen Matrix werden erläutert.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes sind: Zeitabhängige PDEs, leap-frog-Verfahren, Stabilitätsgebiete, Zeitschritte, spektrale Methoden, Linienverfahren, Mehrschrittverfahren, Eigenwerte, Pseudospektrum, Fourier-Diskretisierung, Chebychev-Diskretisierung.
- Citation du texte
- Andre Herrmann (Auteur), 2016, 2D-Wellengleichung. Spektralanalyse, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1338603
