Dieser Aufsatz soll die Definition der Zahl, sowie sie von Frege in den Grundlagen der Arithmetik dargelegt wurde, in kommentierter und verständlicher Weise wiedergeben.
Dazu soll zunächst geklärt werden, auf welchen Prämissen der Autor aufbaut. In der Darstellung von Freges "kritischem" Teil, der die zweite Hälfte der Grundlagen ausmacht, wird unter anderem zu zeigen sein, wie die im vorherigen Teil entwachsenen Definitionsversuche und ihr jeweiliges Scheitern zu einer für ihn endgültigen Definition in §68 führen. Dafür muss zuvor der Anzahlbegriff geklärt werden, da dieser für den weiteren Verlauf eine notwendige Bedingung darstellt.
Die Arbeit schließt mit einer kritischen Auseinandersetzung, der den Erfolg Freges bewerten soll.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Hinführung zu Freges Definition der Zahl
2.1 Grundsätze seiner Untersuchung
3. Definition der Zahl
3.1 Leibnizscher Definitionsversuch der Zahl
3.2 Erster Definitionsversuch der Zahl
3.2.1 Definition der Zahl als Äquivalenzklasse
3.2.2 Das Scheitern der Definition
3.3 Zweiter Definitionsversuch der Zahl
3.3.1 Die Definition der Zahl
3.3.2 Bestimmung einzelner Zahlen
4. Schlussbetrachtungen
5. Bibliographie
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit setzt sich zum Ziel, den von Gottlob Frege in den "Grundlagen der Arithmetik" dargelegten Definitionsversuch der Zahl in einer kommentierten und verständlichen Weise wiederzugeben und kritisch zu bewerten.
- Die philosophische Grundlegung der Arithmetik durch Gottlob Frege.
- Die Analyse der erkenntnistheoretischen Prinzipien (z.B. Kontextprinzip).
- Die Untersuchung verschiedener Definitionsversuche für den Zahlbegriff.
- Die Auseinandersetzung mit logischen Problemen wie dem "Cäsar-Problem".
- Die Rekonstruktion des Versuchs einer logizistischen Fundierung der Arithmetik.
Auszug aus dem Buch
3.1 Leibnizscher Definitionsversuch der Zahl
Vor der Auslegung von Freges erstem Versuch liegt es zunächst nahe zu erwähnen, dass schon früher in den Grundlagen, nämlich in §6, Frege Leibniz’ Vorschlag übernimmt, jede natürliche Zahl durch ihre Vorgängerin in der Zahlenreihe und die Addition um 1 zu erklären. Ausserdem, so Freges einzige kritische Bemerkung zu Leibniz, wird auch das (unausgesprochene) Assoziativgesetz vorausgesetzt. In Erinnerung an dieses positive Resultat bietet Frege zunächst eine genaue Definition des Begriffes ’ist n-zahlig’ an und versucht die Leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und der 1 zu ergänzen.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Einleitung erläutert die Bedeutung von Freges "Grundlagen der Arithmetik" für die Begründung der modernen Logik und die Notwendigkeit einer präzisen Definition der Zahl.
2. Hinführung zu Freges Definition der Zahl: Dieses Kapitel stellt die philosophischen Prämissen Freges vor, insbesondere die Trennung von Logischem und Psychologischem sowie das Kontextprinzip.
3. Definition der Zahl: Hier werden Freges verschiedene Ansätze zur Definition der Zahl, angefangen bei Leibniz über den ersten gescheiterten Versuch bis hin zur Definition als Äquivalenzklasse, detailliert analysiert.
4. Schlussbetrachtungen: Das Fazit fasst die kritische Würdigung von Freges Werk zusammen und verweist auf die historische Bedeutung sowie die Problematik (z.B. Russells Antinomie) für die Philosophie der Mathematik.
5. Bibliographie: Dieses Kapitel listet die verwendeten Primär- und Sekundärquellen der Arbeit auf.
Schlüsselwörter
Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, Logizismus, Zahlbegriff, Kontextprinzip, Äquivalenzklasse, Cäsar-Problem, Identität, Definition, Logik, Mathematik, Abstraktion, Analysis, Beweisbarkeit.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit?
Die Arbeit untersucht Freges philosophisches Werk "Grundlagen der Arithmetik" und seine Versuche, den Begriff der natürlichen Zahl logisch exakt zu definieren.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Die Arbeit konzentriert sich auf die Schnittstelle von Logik, Philosophie und Mathematik sowie die Frage nach der objektiven Natur von Zahlen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die verständliche Rekonstruktion und kritische Würdigung von Freges Definitionsversuchen, um aufzuzeigen, wie er den Zahlbegriff auf logische Grundsätze zurückführen wollte.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es handelt sich um eine philosophiehistorische Analyse, die Freges Argumentationsgänge anhand seines Originaltextes rekonstruiert und durch moderne logische Notation erläutert.
Was ist der Kerninhalt des Hauptteils?
Der Hauptteil befasst sich mit der Analyse der verschiedenen Definitionsschritte, der Widerlegung des Leibniz-Ansatzes sowie der kritischen Diskussion logischer Hürden.
Durch welche Schlüsselwörter lässt sich die Arbeit beschreiben?
Die Arbeit ist charakterisiert durch Begriffe wie Logizismus, Kontextprinzip, Äquivalenzrelation und die logische Fundierung der Arithmetik.
Was genau ist das "Cäsar-Problem" in diesem Kontext?
Das Cäsar-Problem beschreibt die Schwierigkeit bei Freges Definition, eindeutig zu entscheiden, ob ein Gegenstand (wie Julius Cäsar) unter einen bestimmten Zahlbegriff fällt, da die Definitionen nicht alle Identitätsfälle abdecken.
Warum spielt das Kontextprinzip eine so wichtige Rolle?
Das Kontextprinzip besagt, dass Wörter ihre Bedeutung erst im Satzgefüge erhalten; dies ist zentral, da Frege Zahlen als eigenständige Gegenstände und nicht als bloße Eigenschaften von Begriffen definieren möchte.
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- Saskia Nicolai (Author), 2008, Freges Definition der Zahl in Grundlagen der Arithmetik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/134945
