Das konkrete Thema in meiner Arbeit ist ein Beweis, dass die Konvergenzordnung des Sekantenverfahren der goldene Schnitt ist.
Der goldene Schnitt faszinierte die MathematikerInnen schon seit je her, und er taucht in vielen Bereich des Alltags auf, wie in der Musik, in der Natur oder in der Kunst. Was allerdings die Wenigsten wissen ist, dass der goldene Schnitt auch in einem numerischen Verfahren auftaucht, in dem es darum geht, durch ein geeignetes Intervall und in weiterer Folge durch geeignete Sekanten die Nullstellen von Funktionen zu ermitteln.
Bevor ich allerdings diesen Beweis führe, gebe ich in Kapitel 1 einige allgemeine Informationen zum goldenen Schnitt bzw. gebe einen Überblick, was die goldene Zahl 1+√52 geometrisch überhaupt bedeutet. Das Kapitel 1 orientiert sich an dem Buch "Der goldene Schnitt" von Albrecht Beutelspacher und Bernhard Petri.
Außerdem führe ich einen Beweis von Euler in diesem Kapitel, um den LeserInnen zu zeigen, wie man von einem gewissen Verhältnis zu dieser besonderen Zahl überhaupt gelangt.
Der Beweis in Kapitel 2, der sich an den Beweis von Bourgeois aus dem Buch "Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens" orientiert, wurde in drei Schritte aufgeteilt. Bevor allerdings dieser Beweis geführt wird, werde ich zunächst mal ganz allgemein einige Begriffe wie das Sekantenverfahren oder die Konvergenzordnung erklären. Weiters möchte ich ausführen, wofür das Sekantenverfahren angewendet wird.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1. Allgemeines zum goldenen Schnitt
1.1. Definition des goldenen Schnittes
1.2. Beweis des goldenen Schnittes
2. Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren
Zielsetzung & Themen
Das primäre Ziel dieser Arbeit ist der mathematische Beweis dafür, dass die Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens genau der goldene Schnitt ist. Die Arbeit führt zunächst in die geometrischen Grundlagen des goldenen Schnitts ein und leitet anschließend die Theorie des Sekantenverfahrens her, um die Zusammenhänge beider Themengebiete durch einen dreistufigen Beweis formal zu belegen.
- Forschung zur Konvergenzrate numerischer Iterationsverfahren
- Mathematische Herleitung und Beweisführung des goldenen Schnitts
- Analyse und Modifikation des Newton-Verfahrens
- Anwendung des Mittelwertsatzes in der numerischen Analysis
- Formaler Nachweis der Konvergenzordnung p
Auszug aus der Arbeit
Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren
Das Sekantenverfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion.
Dabei wird eine Sekante zwischen zwei Punkten P (x1|f(x1)) und Q (x2|f(x2)) der Funktion f gelegt. Es entsteht ein Schnittpunkt x3 zwischen der Sekante und der x - Achse, der als verbesserter Startwert für die Iteration verwendet wird. Mit x3 kann man nun einen neuen Funktionswert f(x3) berechnen. Wieder wird dieser Schritt wiederholt, indem man wieder eine Sekante anlegt, nur diesmal mit f(x3) und dem alten Wert f(x2). Dieses Verfahren wiederholt man nun solange, bis eine ausreichende Näherung der gesuchten Nullstelle geschafft ist.
Definition Konvergenzordnung. Sei ε_k eine nichtnegative konvergente Folge und gelte x_k → x_hat. Falls es eine Konstante C > 0 mit ε_{k+1} ≤ C ε_k^p für ein p > 1 und ∀k ∈ N dann gibt es Konvergenzordnung p.
Unter einer Konvergenzordnung (oder auch Konvergenzgeschwindigkeit) versteht man also jene Geschwindigkeit, mit der sich die Glieder einer konvergenten Folge einem Grenzwert annähern. Sprich bei einem Iterationsverfahren mit Konvergenzordnung p, erwartet man, dass die Anzahl der korrekten Dezimalstellen bei jeder Iteration um das „p-fache“ erhöhen wird.
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Dieses Kapitel erläutert das Ziel der Arbeit, den mathematischen Beweis zu erbringen, dass der goldene Schnitt die Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens darstellt.
1. Allgemeines zum goldenen Schnitt: Hier werden die geometrischen Grundlagen, die Definition durch Euklid und der formale Beweis der goldenen Zahl präsentiert.
1.1. Definition des goldenen Schnittes: Dieses Unterkapitel definiert das Teilungsverhältnis von Strecken nach Euklid und führt die Bezeichnungen Major und Minor ein.
1.2. Beweis des goldenen Schnittes: In diesem Abschnitt wird die quadratische Gleichung hergeleitet, aus der die goldene Zahl als Lösung hervorgeht.
2. Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren: Das Hauptkapitel beschreibt das Sekantenverfahren, definiert die Konvergenzordnung und führt den dreistufigen Beweis für die Konvergenz durch.
Schlüsselwörter
Goldener Schnitt, Sekantenverfahren, Konvergenzordnung, Mathematischer Beweis, Numerische Mathematik, Iterationsverfahren, Nullstellenbestimmung, Euklid, Konvergenzrate, Newton-Verfahren, Approximation, Lineare Konvergenz, Mittelwertsatz, Taylor-Restglied, Analysis
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es grundsätzlich in dieser Arbeit?
Die Arbeit untersucht die mathematische Verbindung zwischen geometrischen Prinzipien und numerischen Berechnungsverfahren, spezifisch die Rolle des goldenen Schnitts bei der Konvergenzgeschwindigkeit des Sekantenverfahrens.
Welches sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die klassische Geometrie des goldenen Schnitts sowie die numerische Analysis, insbesondere Algorithmen zur Nullstellenbestimmung.
Was ist die primäre Forschungsfrage?
Die Arbeit stellt die Frage, ob und wie bewiesen werden kann, dass die Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens exakt dem goldenen Schnitt entspricht.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine deduktive mathematische Methode verwendet, die durch Literaturanalyse, formale Herleitungen, Rekursionsformeln und den Einsatz von Sätzen wie dem Mittelwertsatz gestützt wird.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Herleitung des Sekantenverfahrens als Modifikation des Newton-Verfahrens und liefert einen dreistufigen formalen Beweis für das Konvergenzverhalten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Sekantenverfahren, goldener Schnitt, Konvergenzordnung und numerische Mathematik charakterisiert.
Warum wird das Newton-Verfahren erwähnt?
Das Newton-Verfahren dient als theoretische Ausgangsbasis, da das Sekantenverfahren als dessen Modifikation verstanden wird, bei der die Ableitung durch einen Differenzenquotienten ersetzt wird.
Was bedeutet eine „negative Geschwindigkeit“ bei der Konvergenz?
Die Arbeit stellt fest, dass negative Lösungswege der quadratischen Gleichung für die Konvergenzgeschwindigkeit physikalisch bzw. mathematisch in diesem Kontext keinen Sinn ergeben, weshalb nur die positive Lösung des goldenen Schnitts betrachtet wird.
Welche Rolle spielt der Anhang?
Der Anhang dient zur Definition grundlegender Begriffe aus der Numerik, wie beispielsweise Iteration, Rekursion oder Wohldefiniertheit, um ein gemeinsames Begriffsverständnis für den Leser zu schaffen.
- Arbeit zitieren
- Simon Egger (Autor:in), 2019, Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren. Definition und Beweis, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1361151
