Historisch liegen die Wurzeln der Integralrechnung in der Ermittlung von Flächeninhalten, da man es sich zur Aufgabe machte, den Flächeninhalt auch solcher ebenen Gebilde zu ermitteln, die nicht durch Polygone begrenzt werden. Methodische Ansätze finden sich zwar bereits bei Archimedes, Cavalieri und Barrow, die systematische Entwicklung aber beginnt erst mit der Entdeckung des Zusammenhangs von Differentiation und Integration durch Leibniz und Newton um 1670. Durch sie wurde die Integralrechung im eigentlichen Sinne als „calculus summatorius“ und später als „calculus integralis“ begründet. Leibniz war es dann auch, der am 29. Oktober 1675 das Integralzeichen ∫festlegte. Es stellt ein stilisiertes S dar, welches dem Wort Summe entnommen wurde. Der Zusammenhang zwischen Summation und Integration ist schon mit der Herleitung gegeben, wie später deutlich wird. Eine Präzisierung des Integralbegriffs für stetige Funktionen nahm erstmals Cauchy (1823) in Angriff. Riemann (1854) erweiterte diesen auf etwas allgemeinere Funktionen. Einen andersartigen, wesentlich flexibleren und sehr umfassenden Integralbegriff führte Lebesque (1902) ein. (vgl. Wolff, 1967, S.61 und Königsberger, 1999, S.191f) Die vorliegende Examensarbeit beschränkt sich im Wesentlichen auf das Integral stetiger Funktionen in ℝ bezogen auf das Riemannintegral, das in Kapitel I 1 hergeleitet und durch einige Eigenschaften, den Mittelwertsatz der Integralrechnung, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Definition der Stammfunktion beschrieben wird. In Kapitel I 2 wird die Herleitung auf die Integration stetiger Funktionen in 2ℝ erweitert und somit ein direkter Vergleich zum Integral stetiger Funktionen in ℝ geschaffen. Anschließend wird in Kapitel I 3 gezeigt, wie man das Doppelintegral durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache Integrationen berechnen kann, was uns zum Satz von Fubini führt.
Inhaltsverzeichnis
Prolog
I Herleitung der Integration für Funktionen von R² nach R bezogen auf das Riemannintegral
1 Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in R
1.1 Herleitung des bestimmten Integrals
1.2 Das Riemannintegral
1.3 Geometrische Deutung des Integrals
1.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals
1.4.1 Intervalladditivität
1.4.2 Intervallgrenzenvertauschung
1.4.3 Linearität im Integranden
1.4.4 Ungleichungen für Integrale
1.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung
1.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
1.7 Definition der Stammfunktion
1.8 Berechnung des bestimmten Integrals
2 Herleitung der Integration stetiger Funktionen in R² bezogen auf das Riemannintegral
3 Berechnung des Doppelintegrals durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache Integrationen
3.1 Beweis zur Vertauschung zweier Grenzübergänge
3.2 Satz von Fubini
3.2.1 Beispiel zum Satz von Fubini (Berechnung eines Doppelintegrals)
4 Herleitung von Doppelintegralen mit beliebigen Integrationsbereichen
4.1 Doppelintegrale mit Integrationsbereich N, der einem Normalbereich entspricht
4.1.1 Definition des Normalbereiches
4.1.2 Doppelintegrale über Normalbereichen
4.1.3 Beispiel zum Doppelintegral über einem Normalbereich
4.2 Doppelintegrale mit Integrationsbereich, der einem beliebigen Bereich entspricht
4.2.1 Berechnung des Flächeninhalts einer beliebigen Fläche
4.2.2 Herleitung des Doppelintegrals einer stetigen Funktion in R² über einer beliebigen Fläche
5 Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige Funktionen
5.1 Integral einer stückweise stetigen Funktion in R
5.2 Integral einer stückweise stetigen Funktion in R²
II Flächen- , Volumenberechung und Grenzwertprozesse in den verschiedenen Schulstufen
1 Primarstufe
1.1 Flächenberechnung
1.2 Volumenberechnung
2 Sekundarstufe I
2.1 Flächenberechnung
2.1.1 Berechung des Flächeninhaltes des Kreises
2.2 Volumenberechnung
3 Sekundarstufe II
3.1 Flächenberechnung
3.2 Volumenberechnung
Epilog
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der mathematischen Herleitung der Integralrechnung für stetige Funktionen in R und R² unter expliziter Verwendung des Riemannintegrals sowie der Verknüpfung dieser theoretischen Grundlagen mit der schulischen Vermittlung von Flächen- und Volumenberechnungen.
- Herleitung des bestimmten Integrals für stetige Funktionen in R.
- Erweiterung auf die Integration stetiger Funktionen in R² und das Doppelintegral.
- Berechnung von Doppelintegralen mittels des Satzes von Fubini.
- Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige Funktionen.
- Didaktische Einordnung der Flächen- und Volumenberechnung in Primar- und Sekundarstufen.
Auszug aus dem Buch
1.1 Herleitung des bestimmten Integrals
Unter dem bestimmten Integral einer Funktion y = f(x), die im abgeschlossenen Intervall [a,b] (a < b; a,b ∈ R) definiert ist, versteht man eine Zahl A, die man auf folgende Weise erhält.
Definiert sei eine stetige, positive und beschränkte Funktion f auf einem kompakten Intervall.
Das Intervall [a,b] zerlegt man in n gleichgroße Teilintervalle [x_{k-1}, x_k], sodass a = x_0 < x_1 < ... < x_{n-1} < x_n = b gilt.
Da f stetig auf [a,b], nimmt f auf jedem Teilintervall [x_{k-1}, x_k] ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum an, die wie folgt definiert sind.
Maximum = S_k := sup { f(x) | x ∈ [x_{k-1}, x_k] }
und
Minimum = I_k := inf { f(x) | x ∈ [x_{k-1}, x_k] }
In [x_{k-1}, x_k] gilt also stets: I_k ≤ f(x) ≤ S_k.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in R: Einführung des Integralbegriffs durch Riemann-Summen und Darboux-Summen sowie Erläuterung grundlegender Eigenschaften wie Linearität und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
2 Herleitung der Integration stetiger Funktionen in R² bezogen auf das Riemannintegral: Übertragung des Integralbegriffs vom eindimensionalen Fall auf den zweidimensionalen Raum zur Berechnung von Volumina unter Flächen.
3 Berechnung des Doppelintegrals durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache Integrationen: Darstellung der Reduktion eines Doppelintegrals auf zwei aufeinanderfolgende einfache Integrale unter Anwendung des Satzes von Fubini.
4 Herleitung von Doppelintegralen mit beliebigen Integrationsbereichen: Ausdehnung des Integrals auf Normalbereiche und allgemein geformte Flächen durch Approximationsverfahren mittels Teilrechtecken.
5 Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige Funktionen: Modifikation der Integrationsmethodik für Funktionen, die an endlich vielen Stellen unstetig sind, durch Zerlegung in stetige Teilintervalle bzw. Teilbereiche.
Schlüsselwörter
Integralrechnung, Riemannintegral, Doppelintegral, Satz von Fubini, Stammfunktion, Hauptsatz, Normalbereich, Flächeninhalt, Volumenberechnung, Primarstufe, Sekundarstufe, Grenzwert, Treppenkurve, Stetigkeit, Analysis.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser mathematischen Untersuchung im Kern?
Die Arbeit behandelt die theoretische Herleitung der Integralrechnung für Funktionen in R und R², wobei der Fokus auf dem Riemannintegral und dessen Anwendung zur Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten liegt.
Welche zentralen Themenfelder deckt die Arbeit ab?
Das Spektrum reicht von den theoretischen Grundlagen der Integralrechnung (R und R²) über den Satz von Fubini und die Behandlung von stückweise stetigen Funktionen bis hin zur didaktischen Umsetzung in verschiedenen Schulstufen.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Hauptziel ist es, die Herleitung der Integration für Funktionen von R² nach R nachvollziehbar zu machen und den Zusammenhang zwischen abstrakter Integralrechnung und schulischer Geometrie aufzuzeigen.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär verwendet?
Die Arbeit nutzt die klassische analytische Herleitung über die Zerlegung von Intervallen bzw. Flächen (Unter- und Obersummen) und den Grenzwertübergang, ergänzt durch mathematische Beweise und Literaturverweise.
Was wird im Hauptteil der Arbeit inhaltlich schwerpunktmäßig behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematische Herleitung des Integrals, die Erweiterung auf Doppelintegrale, deren praktische Berechnung mittels Fubini und die Übertragung auf beliebige Integrationsbereiche und stückweise stetige Funktionen.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Integral, R², Riemann, Fubini, Volumen, Fläche, Grenzwert, Didaktik, Stetigkeit, Analysis.
Wie wird der Übergang von der eindimensionalen zur zweidimensionalen Integration verdeutlicht?
Durch die Analogie der Zerlegung in Teilintervalle (in R) zur Zerlegung in Teilrechtecke (in R²), wobei das Volumen durch das Doppelintegral als Grenzwert der Quadervolumina bestimmt wird.
Welche Rolle spielt der Satz von Fubini in diesem Kontext?
Der Satz von Fubini ist zentral für die praktische Berechenbarkeit von Doppelintegralen, da er erlaubt, das komplexe Doppelintegral durch sukzessive Anwendung von zwei einfachen Integrationen zu lösen.
Wie nähert sich die Arbeit dem Thema der Flächeninhaltsbestimmung für Schüler?
Die Arbeit zeigt auf, wie bereits in der Primarstufe durch Zählen von Einheitsquadraten und später in der Sekundarstufe durch die Herleitung der Kreisfläche über Ober- und Untersummen der Zugang zur Integralrechnung vorbereitet wird.
- Quote paper
- Marc Sprick (Author), 2009, Herleitung der Integration für Funktionen von R² nach R bezogen auf das Riemannintegral, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/140100
