Leseprobe
Inhalt
1. Klassensituation/Sozialisationserscheinungen
2. Unterrichtete Stunden innerhalb der Stoffabschnitte „Rechnen mit Bruchzahlen“ und „Dezimalbrüche“ mit Einordnung in den Gesamtlehrgang
3. Sachanalyse
4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt
5. Planung des Stoffabschnittes
6. Themen der unterrichteten Stunden
6.1 Stundenentwurf 1
6.1.1 Klassensituation speziell
6.1.2 Einbettung der Stunde
6.1.3 Methodische Vorbesinnung
6.1.4 Lernziele
6.1.5 Verlaufsplanung
6.1.6 Geplantes Tafelbild
6.1.7 Auswertung/Nachbereitung
6.2 Stundenentwurf 2
6.2.1 Klassensituation speziell
6.2.2 Einbettung der Stunde
6.2.3 Methodische Vorbesinnung
6.2.4 Lernziele
6.2.5 Verlaufsplanung
6.2.6 Geplantes Tafelbild
6.2.7 Auswertung/Nachbereitung
7. Hospitationsliste
7.1 Hospitationsprotokoll 1
7.1.1 Verlaufsprotokoll
7.1.2 Auswertung
7.2 Hospitationsprotokoll 2
7.2.1 Verlaufsprotokoll
7.2.2 Auswertung
8. Darstellung eines durchgeführten Leistungstests
9. Gesamtauswertung
10. Literaturverzeichnis
11. Anhang
1. Klassensituation/Sozialisationserscheinungen
Klassensituation allgemein:
Die Klasse 6 besteht aus 30 SchülerInnen: 15 Jungen und 15 Mädchen. Es gibt keine IntegrationsschülerInnen. Ein Schüler zeigt emotionale und soziale Entwicklungsstörungen. Mit ihm gibt es Extravereinbarungen seitens der LehrerInnen über Verhaltensweisen zur Unterstützung seiner persönlichen Selbstkontrolle.
Um das Sozialverhalten innerhalb der Klasse zu strukturieren, sind überall im Klassenzimmer für alle sichtbare Verhaltensregeln auf Plakaten angebracht. Diese Verhaltensregeln sind von SchülerInnen und LehrerInnen gemeinsam konzipiert und verabschiedet worden.
Allgemein ist das Klassenklima von Kameradschaftlichkeit und Engagement geprägt, was sich besonders in Schulveranstaltungen zeigt. In diversen Formen der Freiarbeit, beispielsweise in Gruppenarbeit und Stationenlernen, spiegelt sich diese Kameradschaftlichkeit in gegenseitiger Hilfe wider. Der hohen Teambereitschaft steht die große Anzahl individualistischer Charaktere nicht im Weg.
Zum soziokulturellen Hintergrund der SchülerInnen gibt es zu sagen, dass 50% der Eltern alleinerziehend sind. Ebenfalls 50% sind Hartz-IV-Empfänger. Insgesamt sind drei Kinder nichtdeutscher Herkunft und ein Kind ist Ausländer.
Die Sitzbänke im Klassenraum sind meist in Reihen angeordnet, werden aber beispielsweise für Gruppenarbeit umgestellt. Änderungen im Sitzplan können zur Disziplinierung der SchülerInnen angewandt werden. Diese werden immer mit ihnen abgestimmt.
Die SchülerInnen haben 30 Unterrichtsstunden in der Woche, davon fünf Mathematikstunden und außerdem eine mögliche Mathematikförderstunde. In Mathematik liegt der Klassendurchschnitt zwischen 2,9 und 3,4. Es gibt hier 3-4 herausragende SchülerInnen, ein großes Mittelfeld und 3-4 SchülerInnen an der unteren Leistungsgrenze.
Vorwissen in Mathematik, den unterrichteten Stoffabschnitt betreffend:
Die SchülerInnen beherrschen das kleine Ein-Mal-Eins sehr gut, haben jedoch Schwierigkeiten darüber hinaus. In der fünften Klasse haben sie noch keine Bruchzahlen behandelt.
2. Unterrichtete Stunden innerhalb der Stoffabschnitte „Rechnen mit Bruchzahlen“ und „Dezimalbrüche“ mit Einordnung in den Gesamtlehrgang
In der Stoffeinheit „Rechnen mit Bruchzahlen“ in der sechsten Klasse werden die Fertigkeiten zur Durchführung der vier Grundrechenoperationen mit positiven reinen und gemischten Brüchen eingeführt und angewandt in der Reihenfolge: Addition und Subtraktion (un)gleichnamiger Brüche und deren Rechengesetze/-vorteile, Vervielfachen, Multiplikation, Teilen durch natürliche Zahlen und Division und deren Rechengesetze/-vorteile, außerdem die Verbindung der Rechenarten.[1] Diese Stoffeinheit basiert sehr stark auf der vorherigen, bei der die „Bruchzahlen“ eingeführt und danach die Identifikation von Zahlen im Bereich der positiven gebrochenen Zahlen sowie deren Veranschaulichung in verschiedenen Darstellungsformen geübt wurden. Das Erweitern und Kürzen stellt ebenfalls eine wichtige erworbene Sachkompetenz in diesem Zusammenhang dar, welche nun ihre zielorientierte Verwendung findet. Konkrete Zielstandards der Stoffeinheit „Rechnen mit Bruchzahlen“ sind das Verständnis und die Anwendung der Rechenoperationen im Bereich der gebrochenen Zahlen und die Nutzung der Zusammenhänge untereinander, dabei außerdem die dem Problem angemessene Entscheidung über die Lösart (im Kopf, halbschriftlich oder schriftlich).[2]
Mit dem Stoffgebiet „Dezimalbrüche“ erlernen die SchülerInnen der sechsten Klasse eine weitere Darstellungsform von positiven Bruchzahlen. Im Einzelnen werden die Dezimalschreibweise, das Vergleichen und Ordnen von Dezimalbrüchen, das Runden, das Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche, Periodische Dezimalbrüche und deren Umformung erlernt.[3] Gerade hierbei soll es ihnen möglich werden, alltägliche Dezimalbrüche in Form von „Größen“ und „Daten“ wie z.B. Geldwerte, Längen, Massen, Flächen- und Rauminhalte zu erkennen und zu verstehen. Größen werden dabei von den SchülerInnen als Daten aus/innerhalb von Tabellen, Schaubildern und Diagrammen erfasst, sachgerecht dargestellt und interpretiert.[4]
Voraussetzung aus den vergangenen Schuljahren ist zunächst das sichere Rechnen mit natürlichen Zahlen, aber auch die unvoreingenommene Akzeptanz und das Verständnis der Bruchschreibweisen als eine vieler mathematischer Schreib-/Sachkonventionen, die einen festen Platz im Schulalltag und zum Großteil auch darüber hinaus einnehmen.
Die Allgegenwärtigkeit von Kommazahlen in Größen und Daten in vorangegangenen Klassen verlangt ebenfalls nach einer mathematischen Systematisierung und basiert auf den vielen Informationen, welche die SchülerInnen bereits über unser Dezimalsystem sammeln konnten.
Die Kenntnis von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen und der Umgang mit ihnen ist Grundvoraussetzung für alle späteren Anwendungen im Bereich der rationalen Zahlen und darüber hinaus. Zunächst wird im Rechnen mit Zufallsexperimenten noch in der sechsten Klasse darauf Bezug genommen. In den Sekundarstufen stellt das Operieren mit gebrochenen Zahlen den größten Zeitaufwand der SchülerInnen dar, was oft dem Taschenrechner überlassen wird und situativ wegen der besseren Lesbarkeit in gerundeten Dezimalbrüchen als (Zwischen)Ergebnis seinen Ausdruck findet, sei es bei Proportionalitäten, Euklidischer Geometrie, Infinitesimalrechnung, Vektorraumlehre oder Stochastik.[5]
3. Sachanalyse
1) Rechnen mit gemeinen Brüchen - mit besonderem Blickpunkt auf das Teilen durch eine natürliche Zahl (Inhalt der unterrichteten Stunde)
2) Dezimalbrüche - mit besonderem Blickpunkt auf die Dezimalschreibweise und die Umformung von Dezimalbrüchen in gemischte Brüche Zahl (Inhalt der unterrichteten Stunde)
Zu 1) und 2)
Hauptgegenstand beider Stoffabschnitte sind positive rationale Zahlen, also „Bruchzahlen“[6]. Zusammen mit den bereits bekannten natürlichen Zahlen[7] wird nun die Menge der positiven rationalen Zahlen behandelt. Diese Teilmenge der rationalen Zahlen ist wie folgt definiert:
Menge der positiven rationalen Zahlen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Doch zunächst zur Motivation der Zahlbereichserweiterung[8]:
Die uneingeschränkte Lösbarkeit von Gleichungen der Form[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist der Anlass für die Erweiterung des Zahlbereichs [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]zum Zahlbereich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Für die Lösung einer solchen Gleichung gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Diese Quotienten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden nun in einer Klasse zusammengefasst, welche durch folgende Menge definiert wird:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Die Zerlegung der Menge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]in Klassen beruht auf der Äquivalenzrelation:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Beweise zu den Eigenschaften[9] der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:
Reflexivität
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Symmetrie
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Transitivität
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Positive rationale Zahlen sind damit definiert als die Menge aller Äquivalenzklassen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Eine solche Äquivalenzklasse wird als (positive/r) rationale Zahl oder Bruch(zahl) bezeichnet und „[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]“ geschrieben.
In Anlehnung an das Stundenthema „Teilen von Brüchen durch eine natürliche Zahl“ ist es angemessen die Multiplikation rationaler Zahlen zu definieren, da nach Einbettung der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen der Zusammenhang zwischen der allgemeinen Divisionsregel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
und den einfachen Sonderfällen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]direkt herstellbar ist.[10]
Die Multiplikation „[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]“ von Bruchzahlen ist wie folgt definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Menge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bildet bezüglich der Multiplikation eine kommutative (bzw. abelsche) Gruppe[11] mit folgenden Eigenschaften:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zu 2)
Die Dezimalbruchschreibweise ist eine natürliche Erweiterung der Stellenwertschreibweise für natürliche Zahlen. Rationale sowie reelle Zahlen werden dabei im Dezimalsystem als (un)endliche Dezimalbrüche dargestellt. Grundsätzlich ist jedoch als Basis anstatt der Zahl 10 jede natürliche Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zur Behandlung/Darstellung von Zahlen wählbar und findet verschiedene Anwendung. Beispielsweise vereinfacht das Dualsystem die Rechenpraxis an sich enorm, wobei die Länge der Zahlcodierung unübersichtlich ist. Praktische Bedeutung hat das Dualsystem mit der Einführung der elektronischen Rechenanlagen erlangt.[12]
Im Dezimalsystem benutzt man zehn Ziffern. Eine positive Dezimalzahl hat die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Darüber hinaus ist es möglich einen Dezimalbruch zu entwickeln, so dass man jeder reellen Zahl eine Ziffernfolge zuordnen kann, wobei jeder endliche Teil dieser Folge eine Näherung der reellen Zahl darstellt. Die unendliche Reihe über alle diese Ziffern ist die reelle Zahl selbst. Hierbei sind auch die reellen Zahlen mit abbrechender Ziffernfolge gemeint, deren Ziffernfolge ab einer bestimmten Stelle nur noch aus Nullen. Formal wird mit[13]
4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt
1) Das Teilen eines positiven Bruches durch eine natürliche Zahl
Innerhalb der Division von Brüchen kann man den Einstieg mit Hilfe eines einfachen Sonderfalles beginnen: die Division einer Bruchzahl durch eine natürliche Zahl. Dies steht in engem Zusammenhang mit dem Vervielfachen von Brüchen, was bereits stofflicher Inhalt einer anderen gehaltenen Unterrichtsstunde war.
Eine besondere Leichtigkeit birgt diese Division, wenn der Divisor den Zähler des Bruches teilt. Hierbei dividiert man den Zähler durch den Divisor und behält den Nenner bei. Dieser Fall lässt sich recht anschaulich mit Hilfe von Strecken einführen, wie in der Unterrichtseinheit auch geschehen.
Wenn der Divisor den Zähler des Bruches nicht teilt, so erweitert man den Bruch mit dem Divisor und gelangt so wiederum zum Ausgangsfall. Dieser Fall lässt sich mit Hilfe von Rechtecken ikonisch darstellen. Da bei der Division die Multiplikation des Zählers mit dem Divisor gerade wieder rückgängig gemacht wird, erhält man folgendes Grundkonzept: Man dividiert eine Bruchzahl durch eine natürliche Zahl, indem man den Nenner mit der natürlichen Zahl multipliziert (und den Zähler beibehält). Diese Lösung beinhaltet formal auch den Sonderfall „Divisor teilt Zähler“. Bei gemischten Brüchen ist grundsätzlich dieselbe Vorgehensweise zu wählen, nachdem man den Bruch in einen reinen umgewandelt hat. Auch hierbei können Sonderfälle auftreten wie z.B. die Teilbarkeit der ganzzahligen Komponente durch den Divisor. Letztendlich handelt es sich bei den gemischten Brüchen bzw. gemischten Zahlen um Summen aus natürlichen Zahlen und Brüchen, deren Division durch eine natürliche Zahl zwei Aspekte verknüpft, nämlich die Division natürlicher Zahlen und eben die Division eines Bruches durch eine natürliche Zahl. Durch geeignete „Verteilung“ der Ganzen auf den Bruch kann man sicherlich Rechenvorteile erzielen, ohne komplett in einen reinen Bruch umzuwandeln. Diese sind aber nicht Thema dieser Unterrichtseinheit.[14]
Insgesamt kommen sowohl die ikonische, als auch die symbolische Ebene zum tragen und geraten dabei in ein konstruktives Wechselspiel. Die Tabellen und die Benutzung von Strecken und Rechtecken stellen dabei die ikonische Ebene dar. Die symbolische Ebene konkretisiert sich in der eigentlichen Rechnung zur Teilung der geometrischen Formen. Hinzu kommt eine Textebene, um den Erkenntnisgewinn fachsprachlich zu sichern. Die enaktive Komponente zur Aneignung von Wissen erfolgt innerhalb der extrinsischen Motivation der SchülerInnen. Diese werden Teil einer Geschichte und stoßen dabei aktiv auf ein Problem, welches es zu lösen gilt. Dieses Problem stellt sich als das Teilen von gebrochenen Größen in Form von verzehrbaren Restposten einer Feierlichkeit durch eine gewisse Schüleranzahl dar. Dies führt zur intrisischen Motivation, ähnliche Aufgabenstellungen auch ohne externe Problemstellung lösen zu können.
In dieser Unterrichtseinheit kann es zwei grundsätzliche (positive) Probleme geben. Erstens: Die SchülerInnen können Stammbrüche schon intuitiv (anschaulich) teilen und erhalten ein richtiges Ergebnis, ohne zu wissen, was rechnerisch dabei geschieht. Zugegeben ist dieses Problem aus Lehrersicht wunderbar nutzbar. Durch diesen Initiationserfolg erhöhen sich die Chancen von der extrinsischen zur intrinsischen Motivation. Die SchülerInnen wollen ihre intuitiven Fähigkeiten formal und außerhalb der Stammbrüche nutzen können, da z.B. selbst hierbei sogar Alltagsprobleme, wie oben imaginiert, immer noch eine Rolle spielen oder aber die Mathematik SchülerInnen einen Trieb zum Vervollständigen von Teilwissen über einen Sachverhalt verleiht. Dies gilt sicher nicht für alle SchülerInnen und Situationen, kann aber geeignet publiziert mitreißen und sollte nicht unterschätzt werden. Das zweite Problem dieser Einführungsstunde ist ein Differenzierungsproblem im Sinne der Erkenntnisgeschwindigkeit und kann möglicherweise erst in folgenden Übungsstunden weitgehend gelöst werden. Die Einführungsstunde an sich muss sich daher auf Wesentliches konzentrieren und sollte Verlängerungszeit und Wiederholung in der folgende Stunde keinesfalls ausschließen.
2) Einführung von Dezimalbrüchen und der Dezimalschreibweise
Die Einführung der Dezimalbrüche findet im Allgemeinen nach der ausführlichen Behandlung der gemeinen Brüche statt, wobei es auch Modelle paralleler Behandlungsmöglichkeiten oder gar einer Umkehrung gibt. Ein wichtiges Ziel der Einführung ist es, deutlich zu machen, dass die Dezimalbrüche nur eine andere – in vielen Situationen praktischere – Schreibweise für Bruchzahlen sind und dass es sich keineswegs um neue Zahlen handelt.
[...]
[1] Vgl. Beckmann 2001, S. 3.
[2] Vgl. RLP 2004, S. 22.
[3] Vgl. Beckmann 2001, S. 4.
[4] Vgl. RLP 2004, S. 22.
[5] Vgl. Padberg 1995, S. 11-14.
[6] Dies ist nach Padberg 1995, S. 10 die gängige Bezeichnung für positive rationale Zahlen. Der Begriff schließt nun im Gegensatz zu Beckmann 2001 (s.o.) die Dezimalbrüche mit ein.
[7] Nach Bronstein 2001, S. 1 ist die Null grundsätzlich in den Mengen enthalten. Weiterhin soll auch als obig definierte echte Teilmenge von im Verlauf dieser Arbeit die Null enthalten.
[8] Da in der sechsten Klassenstufe noch nicht mit negativen rationalen Zahlen gearbeitet wird, ist in dieser Sachanalyse nur die Behandlung der positiven rationalen Zahlen nötig.
[9] Vgl. Kummer 2003, S. 3.
[10] Vgl. Padberg 1995, S. 123.
[11] Vgl. Kramer 2003, S.17.
[12] Vgl. Hämmerlin 1994, S. 2-5.
[13] Vgl. Wikipedia, Dezimalsystem.
[14] Vgl. Padberg 1995, S. 123-124.