Ziel dieser Arbeit ist es an einem Beispiel zu zeigen, wie ein Regelungssystem mit einer mathematischen, nichtlinearen Beschreibung eines Systems um den Arbeitspunkt linearisiert und mit einem PI-Regler im Matlab simuliert werden kann. Um diese Aufgabe zu lösen, werden die physikalische Größen zu geeigneten Parametern einer Zustandsraumdarstellung verteilt, die Übertragungsfunktion gebildet und die Stabilitätsgrenze ermittelt. Anschließend wird eine Sprungfunktion zugeschaltet und die Zeitverläufe simuliert.
Nach der kurzen Einleitung mit dem Ziel der Arbeit und der Aufgabenstellung werden kurz die Grundlagen von Zustandsraummodell, stationären Zustand und Linearisierung dargestellt. Danach wird die gestellte Aufgabe bearbeitet und eine Simulation mit dem Programm Matlab und Simulink durchgeführt. Anschließend werden die Ergebnisse zusammengefasst und kritisch betrachtet.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Ziel der Arbeit
1.2 Aufgabenstellung
1.3 Aufbau der Arbeit
2 Grundlagen
2.1 Zustandsraummodell
2.2 Stationärer Zustand
2.3 Linearisierung
2.4 PI-Regler
3 Bearbeitung
3.1 Teilaufgabe 1: Größenverteilung
3.2 Teilaufgabe 2: Stationärer Zustand
3.3 Teilaufgabe 3: Lineares mathematisches Modell
3.4 Teilaufgabe 4: PI Regler Entwurf
3.4.1 Bestimmung der Stabilitätsgrenze
3.4.2 Simulation mit Matlab/Simulink
4 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin, am Beispiel eines dynamischen Systems mit zwei Flüssigkeitsbehältern aufzuzeigen, wie eine nichtlineare mathematische Systembeschreibung in ein lineares Zustandsraummodell überführt und mittels eines PI-Reglers in Matlab/Simulink stabil geregelt werden kann.
- Mathematische Modellierung von Flüssigkeitssystemen
- Linearisierung nichtlinearer Systemfunktionen um einen Arbeitspunkt
- Entwurf und Analyse von PI-Reglern unter Verwendung des Zustandsraummodells
- Bestimmung der Stabilitätsgrenzen mittels Stabilitätskriterien wie der Hurwitzmatrix
- Simulation und Auswertung des Regelverhaltens in Matlab/Simulink
Auszug aus dem Buch
1.2 Aufgabenstellung
In der Abbildung 1 ist ein System mit zwei Flüssigkeitsbehältern dargestellt. Der erste Behälter wird mit einem Flüssigkeitszufluss q0(t) gefüllt. Der Abfluss aus dem ersten Behälter ist gleichzeitig Zufluss des zweiten Behälters und wird durch einem Ventilparameter k1(t) beschrieben. Der Abfluss von dem zweiten Behälter wird mit dem Ventilparameter k2(t) beschrieben. Der Flüssigkeitspegel wird mit h1(t) für den ersten und mit h2(t) für den zweiten Flüssigkeitsbehälter gemessen, siehe die Abbildung 1.
Die Gleichungen (1) und (2) stellen eine nichtlineare Modellbeschreibung dar.
dh1(t)/dt = 1/F1 * q0(t) - k1(t)/F1 * sqrt(h1(t)) (1)
dh2(t)/dt = k1(t)/F2 * sqrt(h1(t)) - k2(t)/F2 * sqrt(h2(t)) (2)
mit F1 und F2 Behälterfläche [m^2],
h1 und h2 Flüssigkeitspegel [m],
q0(t) Flüssigkeitszufluss in den ersten Behälter [m^3s^-1],
k1(t) und k2(t) Ventilparameter [m^2,5s^-1].
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung definiert das Ziel der Arbeit, die mathematische Lineariserung eines nichtlinearen Systems sowie die Simulation mittels PI-Regler zu demonstrieren, und leitet die Aufgabenstellung ein.
2 Grundlagen: Hier werden die theoretischen Voraussetzungen erläutert, darunter das Zustandsraummodell, der stationäre Zustand, die mathematische Linearisierung mittels Taylor-Reihe sowie die Funktionsweise eines PI-Reglers.
3 Bearbeitung: Das Kapitel führt die praktische Anwendung durch: Von der Größenverteilung über die Bestimmung des stationären Zustands und die Herleitung des linearen mathematischen Modells bis hin zum PI-Regler-Entwurf mit Stabilitätsanalyse und Simulation.
4 Zusammenfassung: Hier werden die Ergebnisse reflektiert, wobei die erfolgreiche Anwendung des Zustandsraummodells und PI-Reglers hervorgehoben und auf den Einfluss externer Störeinflüsse hingewiesen wird.
Schlüsselwörter
Flüssigkeitsbehälter, Regelungstechnik, PI-Regler, Zustandsraummodell, Linearisierung, Matlab, Simulink, Stabilitätsgrenze, Dauerschwingung, Übertragungsfunktion, Systemmatrix, Hurwitzmatrix, Phasenreserve, Reglerentwurf, Simulation
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Modellierung und anschließende Regelung eines physikalischen Systems – konkret eines Zweibehälter-Flüssigkeitssystems – mithilfe von Zustandsraumdarstellungen und PI-Reglern.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die mathematische Systembeschreibung, die Linearisierung nichtlinearer Differenzialgleichungen um einen Arbeitspunkt sowie der Entwurf stabiler Reglerkonzepte.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, den gesamten Prozess von der nichtlinearen Beschreibung über die Linearisierung und den Reglerentwurf bis zur praktischen Simulation in Matlab/Simulink an einem konkreten Beispiel nachvollziehbar zu machen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es kommen Verfahren der klassischen Regelungstechnik zum Einsatz, wie die Zustandsraum-Modellierung, Taylor-Reihen-Entwicklung für die Linearisierung, Laplace-Transformationen und Stabilitätsbetrachtungen mittels der Hurwitzmatrix.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Bestimmung der Größenverteilung, die mathematische Herleitung des linearen Modells, die Ermittlung der Stabilitätsgrenze und die Durchführung von Simulationen mit unterschiedlichen Reglerparametern.
Durch welche Schlüsselwörter lässt sich die Arbeit beschreiben?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören Flüssigkeitsbehälter, Zustandsraummodell, PI-Regler, Linearisierung, Stabilitätsanalyse und natürlich die Verwendung von Simulations-Software wie Matlab und Simulink.
Welche Rolle spielt der I-Anteil des Reglers bei der Simulation?
Der Autor stellt fest, dass der gewählte I-Wert (IR=0,1) einen maßgeblichen Einfluss auf das Schwingungsverhalten hat und zur Stabilität beiträgt, jedoch bei falscher Wahl des Reglerparameters zu Schwingungen führen kann.
Warum ist die Linearisierung für dieses System notwendig?
Da die physikalischen Gleichungen der Flüssigkeitsbehälter aufgrund der Quadratwurzelfunktionen nichtlinear sind, ist eine Linearisierung notwendig, um standardisierte Werkzeuge der linearen Regelungstechnik anwenden zu können.
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- Andrej Mironov (Author), 2023, PI-Reglerentwurf und mathematische Modellierung zweier Flüssigkeitsbehälter. Eine Matlab-Simulation, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1418118
