In der vorliegenden Arbeit werden anhand von Zeitreihen mit bekannter unterliegender Dynamik die Algorithmen zur numerischen Bestimmung von invarianten dynamischen Größen abgeleitet, implementiert und insbesondere an Messdaten unbekannter Dynamik angewendet.
Als bekannte nichtlineare Dynamiken werden erläutert und ausgewertet: das Räuber-Beute-Modell, das Lorenzmodell, die quadratische Ikeda-Abbildung und die kubische Henon-Abbildung. Die analysierten Messdaten stammen von einem Nuclear-Magnetic-Resonance-Laserexperiment. Alle untersuchten nichtlinearen Systeme weisen ein deterministisch chaotisches Verhalten auf. Dabei zeigt sich, dass der durch die Bewegungsgleichungen beschriebene Fluß im Phasenraum auf einen z.T. fraktalen Unterraum - den Attraktor - beschränkt ist.
Neben Verfahren zur Rekonstruktion des Phasenraums und des Attaktors aus den Daten, wird eine Methode zur lokal-linearen Rauschunterdrückung für die Präparation von Messdaten im Detail abgeleitet, erläutert und angewendet.
Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der numerischen Bestimmung invarianter dynamischer Größen aus den Daten. Diese Größen charakterisieren die unterliegende nichtlineare Dynamik auf einer Makroskala und erlauben Vergleiche verschiedener Systeme. Die hier betrachteten Invarianten sind: der Lyapunov-Exponent, die verallgemeinerten Renyi-Entropien und die verallgemeinerten (fraktalen) Dimensionen des Attraktors. Die erforderlichen Algorithmen zur Bestimmung der Invarianten werden im Detail erläutert und ihre Wirkungsweise anhand der Ergebnisse kritisch gewürdigt.
Die vorliegende Arbeit stellt im Detail den Arbeitsprozess von den (Mess-)Daten zu den invarianten dynamischen Größen dar.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Der Phasenraum
1.2 Rekonstruktion des Phasenraums
1.3 Die Zeitreihen
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Allgemeine Methoden
2.2 Lyapunov-Exponenten
2.2.1 Wolf-Algorithmus
2.2.2 Lyapunov-Exponenten via Tangentialabbildung
2.2.3 Kantz-Algorithmus
2.3 Entropien
2.4 Dimensionen
2.4.1 Verallgemeinerte Dimensionen Dq
2.4.2 Die Kaplan-Yorke Dimension
3 Analysen
3.1 Voruntersuchungen
3.1.1 Die Spektren der Zeitreihen raser1 und raser2
3.1.2 Recurrence-Darstellungen
3.1.3 Der Drift
3.2 Rauschunterdrückung
3.2.1 RBF-Entwicklung
3.2.2 Lokal lineare Rausch-Unterdrückung
3.3 Analysen
3.3.1 Die Wahrscheinlichkeitsdichte
3.3.2 Abschätzung der Entropien für raser1 und raser2
3.3.3 Abschätzung der verallgemeinerten Dimensionen
4 Epilog
A Poincaré-Schnitte
B Ein einfaches Minimierungsproblem
C Die periodischen Orbits
D Minimierungsproblem zum Optimized-Algorithmus
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht Methoden der nichtlinearen Dynamik, um invariante dynamische Größen aus experimentell ermittelten, verrauschten Zeitreihen abzuschätzen. Ziel ist die Rauschunterdrückung und die anschließende Analyse dieser Zeitreihen zur Charakterisierung zugrunde liegender dynamischer Systeme.
- Grundlagen der Phasenraum-Rekonstruktion aus Zeitreihen
- Berechnungsverfahren für Lyapunov-Exponenten und Entropien
- Methoden zur Analyse fraktaler Dimensionen
- Verfahren zur Rauschunterdrückung (RBF-Methoden, Optimized-Algorithmus)
- Praktische Anwendung und Auswertung experimenteller NMR-Laserdaten
Auszug aus dem Buch
1.2 Rekonstruktion des Phasenraums
Zeitreihen können durch Computersimulation eines vorliegenden Modells oder durch experimentelle Messung erhalten werden.
Steht für ein deterministisch chaotisches System, wie für das Lorenzsystem oder für die Entwicklung einer Population, ein konkretes Modell zur Verfügung, so fällt die Darstellung des Phasenraumes für das betrachtete System nicht schwer. Ist jedoch ein explizites Modell für ein chaotisches System nicht vorhanden, und ist es nicht möglich, alle ein dynamisches System beschreibenden Observablen (z.B. Geschwindigkeit, Luftdruck, Temperatur, Spannungen und Ströme, Lichtintensitäten bei Sternbeobachtungen, Winkel oder Energien) gleichzeitig zu bestimmen, liegt also nur eine experimentell ermittelte Zeitreihe vor, so muß der Phasenraum anhand dieser Zeitreihe rekonstruiert werden. Unter einer Zeitreihe Z = {x1, x2, x3,..., xN} versteht man die Folge von Meßwerten x_i, die zu äquidistanten Zeitpunkten t_i = i*T aufgenommen wurden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die nichtlineare Dynamik, deren Bedeutung für die Analyse chaotischer Systeme und die theoretische Grundlage der Phasenraumrekonstruktion.
2 Theoretische Grundlagen: Detaillierte Erläuterung der mathematischen Konzepte zur Bestimmung von Lyapunov-Exponenten, Entropien und fraktalen Dimensionen.
3 Analysen: Praktische Anwendung der entwickelten Algorithmen zur Rauschunterdrückung und Analyse der experimentellen NMR-Laser-Zeitreihen raser1 und raser2.
4 Epilog: Zusammenfassende Bewertung der verwendeten Methoden und Diskussion der Ergebnisse hinsichtlich ihrer Genauigkeit und Anwendbarkeit.
A Poincaré-Schnitte: Erläuterung der Erstellung von Poincaré-Schnitten aus den untersuchten Zeitreihen.
B Ein einfaches Minimierungsproblem: Mathematische Herleitung der für die Tangentialabbildung notwendigen Optimierungsschritte.
C Die periodischen Orbits: Theoretische Einführung und numerisches Konzept zur Identifikation periodischer Bahnen innerhalb chaotischer Attraktoren.
D Minimierungsproblem zum Optimized-Algorithmus: Detaillierte mathematische Herleitung der Lagrangemultiplikatoren und der Korrekturvektoren für das Rauschunterdrückungsverfahren.
Schlüsselwörter
Nichtlineare Dynamik, Zeitreihenanalyse, Phasenraum, Chaos, Lyapunov-Exponenten, Entropie, fraktale Dimension, Rauschunterdrückung, RBF-Approximation, NMR-Laser, Attraktor, Poincaré-Schnitt, periodische Orbits, Korrelationsintegral, Datenglättung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Analyse von experimentell gewonnenen, verrauschten Zeitreihen im Kontext der nichtlinearen Dynamik, um deren charakteristische Eigenschaften zu bestimmen.
Welches sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit kombiniert theoretische Ansätze der chaotischen Systemtheorie mit numerischen Verfahren zur Rauschunterdrückung und zur Bestimmung invarianter Maße wie Dimensionen und Lyapunov-Exponenten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Hauptziel ist es, trotz Rauschens in den experimentellen Daten (NMR-Laser) präzise Aussagen über die zugrunde liegende Dynamik zu treffen, indem Methoden zur Rauschunterdrückung und zur Schätzung invarianter Größen entwickelt und angewendet werden.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es kommen Verfahren wie die Phasenraum-Rekonstruktion, der Wolf-Algorithmus, der Kantz-Algorithmus, RBF-Entwicklung (Radial Basis Functions) und spezielle Rauschunterdrückungsalgorithmen zur Anwendung.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Nach einer theoretischen Einführung in die Grundlagen werden im Analyseteil spezifische Zeitreihen (raser1 und raser2) durch verschiedene Algorithmen modifiziert, entrauscht und anschließend hinsichtlich ihrer Entropie und Dimensionen ausgewertet.
Was charakterisiert diese Arbeit in Bezug auf ihre Schlüsselwörter?
Die Arbeit zeichnet sich durch die Verknüpfung von theoretischer Physik (Dynamik) mit der numerischen Datenverarbeitung aus, um aus unsauberen experimentellen Messwerten (Rauschen) saubere physikalische Kenngrößen zu extrahieren.
Wie unterscheidet sich der RBF-Ansatz von anderen vorgestellten Methoden?
Im Gegensatz zu reinen Rauschunterdrückungsfiltern dient die RBF-Approximation auch dazu, den Attraktor im Phasenraum neu zu konstruieren und die Dynamik durch radiale Basisfunktionen global zu fitten.
Welche Rolle spielen die Poincaré-Schnitte bei der Analyse der Zeitreihen?
Die Poincaré-Schnitte dienen dazu, die hochdimensionalen Trajektorien so zu reduzieren, dass die zugrunde liegende Struktur des chaotischen Attraktors sichtbar wird und die Berechnung invarianter Maße erleichtert wird.
Warum ist die Bestimmung der "richtigen" Einbettungsdimension so schwierig?
Eine falsche Wahl der Einbettungsdimension führt zu Pseudo-Lyapunov-Exponenten, die die Ergebnisse verfälschen; daher ist die Suche nach dem optimalen Parameter entscheidend für die Korrektheit der Analyse.
Welches Ergebnis wird für die raser1 und raser2 Zeitreihen erzielt?
Die Arbeit zeigt, dass durch die angewendeten Optimierungsalgorithmen eine robuste Abschätzung der invarianten Größen möglich ist, was die Hypothese unterstützt, dass es sich bei den untersuchten Prozessen um deterministisch chaotische Systeme handelt.
- Quote paper
- Dr. Ingo Hoffmann (Author), 1993, Auswertung von Zeitreihen mit Methoden der nichtlinearen Dynamik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/142452
