Periodische Lösungen einer nichtlinearen Funktionaldifferentialgleichung

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Ludwig-Maximilians-Universität
München
Institut für Mathematik

Periodische Lösungen einer nichtlinearen Funktionaldifferentialgleichung

Zulassungsarbeit

vorgelegt von
Kai-Uwe Mütz

Abgabedatum: 31. August 1998

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung ... 1

1.1. Das Modell ... 1
1.2. Konstante Kontaktrate ... 2

2. Existenz ... 4

2.1. Existenz allgemeiner Lösungen von (1.1) ... 4
2.1.1. Theorie der Funktionaldifferentialgleichungen ... 4
2.1.2. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen ... 14
2.1.3. Spezialfall für c =0 ... 20
2.2. Ergebnisse aus der Funktionalanalysis ... 23
2.2.1. Kompakte Operatoren in Banachräumen ... 23
2.2.2. Kegel in Banachräumen ... 24
2.2.3. Spezielle Eigenschaften kompakter Operatoren in Banachräumen ... 27
2.2.4. Fixpunktsätze ... 34
2.3. Existenz periodischer Lösungen ... 40
2.3.1. Eigenschaften des Operators N ...40
2.3.2. Kriterien für die Existenz einer periodischen Lösung von (1.1) ... 48

3. Grenzwerte und Stabilität 59
3.1. Grenzwerte ... 59
3.2. Stabilität ... 65
3.2.1. Stabilitätsbetrachtungen linearer Funktionaldifferentialgleichungen ... 65
3.2.2. Gestörte Systeme linearer Funktionaldifferentialgleichungen ... 73
3.2.3. Stabilitätsbetrachtungen der Gleichung (1.1) ... 83

4. Biologische Interpretation ... 89

A. Hilfssätze ... 91

A.1. Elementare Aussagen ... 91
A.2. Hilfsaussagen aus der Funktionalanalysis ... 92

1. Einleitung

Gegenstand dieser Arbeit ist eine skalare nichtlineare Funktionaldifferentialgleichung, die den Anteil einer Bevölkerung beschreibt, der mit einer von Insekten übertragenen Krankheit infiziert ist. In erster Linie sollen hierbei Voraussagen über über den Verlauf der Infektion in der Bevölkerung getroffen werden. Sowohl die Krankheit selbst als
auch die erkrankte Bevölkerung unterliegen einigen, weiter unten näher spezifizierten Bedingungen.

1.1. Das Modell

Im folgenden wird das Modell besprochen, das Grundlage für die Ableitung der Gleichung ist:

a) Die Infektion kann in beide Richtungen übertragen werden, d.h. also eine anfällige Person kann sich gleichermaßen bei einem Überträger, beispielsweise einem Mosquito, infizieren, wie auch ein infizierter Mensch den Virus auf ein Insekt übertragen kann.

b) Die Infektion hat weder Tod noch Immunität zur Folge, d.h. nach überstandener Infektion ist die Person sofort wieder anfällig.

c) Die Größe der betrachteten Bevölkerung ist konstant. Geburten, Todesfälle sowie Auswanderungen werden vernachlässigt.

d) Nach der Infektion des Überträgers vergeht eine konstante Zeit T, bis sich diese entwickelt hat, und das Insekt selbst infektiös ist.

e) Die Überträger sind homogen in der betrachteten Bevölkerung verteilt.

f) Die Heilungsrate bei infizierten Menschen ist konstant c.

g) Die Anzahl der Überträger zur Zeit t fluktuiert saisonal, d.h. sie ist proportional zu dem Anteil infizierter Personen in der Bevölkerung zum Zeitpunkt t - T und zwar mit einem periodischen Proportionalitätsfaktor b(·).

Sei nun y(t) der Anteil der infizierten Personen zum Zeitpunkt t, z(t) die Anzahl der infizierten Überträger zum Zeitpunkt t. Da die Gesamtbevölkerung nach b) ausschließlich aus infizierten und anfälligen Personen besteht, folgt, daß der Anteil der letzteren 1 - y(t) ist. Voraussetzung e) bedeutet nun, daß sich die Anzahl der neu Infizierten pro Zeiteinheit ergibt zu (1 - y(t))z(t). Die Änderung des Infiziertenanteils entspricht der Differenz aus neu erkrankten Personen und geheilten Personen. Mit den Bedingungen f) und g) folgt dann sofort:

y′(t) = b(t)y(t - T)[1 - y(t)] - cy(t)            (1.1)

wobei c, T positive Konstanten sind und b eine positive, periodische Funktion der minimalen Periode w ist.
Als erstes wurde diese Gleichung auf die Existenz periodischer Lösungen in [3] untersucht, wo auch lokale Stabilitätsaussagen solcher periodischer, aber auch nichtperiodischer Lösungen in Abhängigkeit der Heilungsrate c getroffen wurden. Das Ziel dieser Arbeit soll sein, [3] unter Miteinbeziehung der Existenzaussagen für Funktionaldifferentialgleichungen und der weiteren benützten Aussagen aus dieser Theorie, sowie der verwendeten Aussagen aus der Spektraltheorie kompakter Operatoren in
Banachräumen, neu darzustellen. Hierbei soll der biologische Hintergrund nicht
unberücksichtigt bleiben.

1.2. Konstante Kontaktrate

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