Gegenstand dieser Arbeit ist eine skalare nichtlineare Funktionaldifferentialgleichung, die den Anteil einer Bevölkerung beschreibt, der mit einer von Insekten übertragenen Krankheit infiziert ist. In erster Linie sollen hierbei Voraussagen über den Verlauf der Infektion in der Bevölkerung getroffen werden. Die Gleichung lautet:
y'(t) = b(t)y(t - T)[1 - y(t)] - cy(t)
wobei c, T positive Konstanten sind und b eine positive, periodische Funktion ist. Das Ziel dieser Arbeit war es, diese Gleichung auf die Existenz periodischer Lösungen zu untersuchen, unter Miteinbeziehung der Existenzaussagen für Funktionaldifferentialgleichungen und der weiteren benützten Aussagen aus dieser Theorie, sowie der verwendeten Aussagen aus der Spektraltheorie kompakter Operatoren in Banachräumen.
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Ludwig-Maximilians-Universität
München
Institut für Mathematik
Periodische Lösungen einer nichtlinearen Funktionaldifferentialgleichung
Zulassungsarbeit
vorgelegt von
Kai-Uwe Mütz
Abgabedatum: 31. August 1998
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ... 1
1.1. Das Modell ... 1
1.2. Konstante Kontaktrate ... 2
2. Existenz ... 4
2.1. Existenz allgemeiner Lösungen von (1.1) ... 4
2.1.1. Theorie der Funktionaldifferentialgleichungen ... 4
2.1.2. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen ... 14
2.1.3. Spezialfall für c =0 ... 20
2.2. Ergebnisse aus der Funktionalanalysis ... 23
2.2.1. Kompakte Operatoren in Banachräumen ... 23
2.2.2. Kegel in Banachräumen ... 24
2.2.3. Spezielle Eigenschaften kompakter Operatoren in Banachräumen ... 27
2.2.4. Fixpunktsätze ... 34
2.3. Existenz periodischer Lösungen ... 40
2.3.1. Eigenschaften des Operators N ...40
2.3.2. Kriterien für die Existenz einer periodischen Lösung von (1.1) ... 48
3. Grenzwerte und Stabilität 59
3.1. Grenzwerte ... 59
3.2. Stabilität ... 65
3.2.1. Stabilitätsbetrachtungen linearer Funktionaldifferentialgleichungen ...
65
3.2.2. Gestörte Systeme linearer Funktionaldifferentialgleichungen ... 73
3.2.3. Stabilitätsbetrachtungen der Gleichung (1.1) ... 83
4. Biologische Interpretation ... 89
A. Hilfssätze ... 91
A.1. Elementare Aussagen ... 91
A.2. Hilfsaussagen aus der Funktionalanalysis ... 92
1. Einleitung
Gegenstand dieser Arbeit ist eine skalare nichtlineare
Funktionaldifferentialgleichung, die den Anteil einer Bevölkerung beschreibt,
der mit einer von Insekten übertragenen Krankheit infiziert ist. In erster Linie
sollen hierbei Voraussagen über über den Verlauf der Infektion in der
Bevölkerung getroffen werden. Sowohl die Krankheit selbst als
auch die erkrankte Bevölkerung unterliegen einigen, weiter unten näher
spezifizierten Bedingungen.
1.1. Das Modell
Im folgenden wird das Modell besprochen, das Grundlage für die Ableitung der Gleichung ist:
a) Die Infektion kann in beide Richtungen übertragen werden, d.h. also eine anfällige Person kann sich gleichermaßen bei einem Überträger, beispielsweise einem Mosquito, infizieren, wie auch ein infizierter Mensch den Virus auf ein Insekt übertragen kann.
b) Die Infektion hat weder Tod noch Immunität zur Folge, d.h. nach überstandener Infektion ist die Person sofort wieder anfällig.
c) Die Größe der betrachteten Bevölkerung ist konstant. Geburten, Todesfälle sowie Auswanderungen werden vernachlässigt.
d) Nach der Infektion des Überträgers vergeht eine konstante Zeit T, bis sich diese entwickelt hat, und das Insekt selbst infektiös ist.
e) Die Überträger sind homogen in der betrachteten Bevölkerung verteilt.
f) Die Heilungsrate bei infizierten Menschen ist konstant c.
g) Die Anzahl der Überträger zur Zeit t fluktuiert saisonal, d.h. sie ist proportional zu dem Anteil infizierter Personen in der Bevölkerung zum Zeitpunkt t - T und zwar mit einem periodischen Proportionalitätsfaktor b(·).
Sei nun y(t) der Anteil der infizierten Personen zum Zeitpunkt t, z(t) die Anzahl der infizierten Überträger zum Zeitpunkt t. Da die Gesamtbevölkerung nach b) ausschließlich aus infizierten und anfälligen Personen besteht, folgt, daß der Anteil der letzteren 1 - y(t) ist. Voraussetzung e) bedeutet nun, daß sich die Anzahl der neu Infizierten pro Zeiteinheit ergibt zu (1 - y(t))z(t). Die Änderung des Infiziertenanteils entspricht der Differenz aus neu erkrankten Personen und geheilten Personen. Mit den Bedingungen f) und g) folgt dann sofort:
y′(t) = b(t)y(t - T)[1 - y(t)] - cy(t) (1.1)
wobei c, T positive Konstanten sind und b eine positive, periodische Funktion
der minimalen Periode w ist.
Als erstes wurde diese Gleichung auf die Existenz periodischer Lösungen in [3]
untersucht, wo auch lokale Stabilitätsaussagen solcher periodischer, aber auch
nichtperiodischer Lösungen in Abhängigkeit der Heilungsrate c getroffen wurden.
Das Ziel dieser Arbeit soll sein, [3] unter Miteinbeziehung der Existenzaussagen
für Funktionaldifferentialgleichungen und der weiteren benützten Aussagen aus
dieser Theorie, sowie der verwendeten Aussagen aus der Spektraltheorie kompakter
Operatoren in
Banachräumen, neu darzustellen. Hierbei soll der biologische Hintergrund nicht
unberücksichtigt bleiben.
1.2. Konstante Kontaktrate
[...]
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Zulassungsarbeit "Periodische Lösungen einer nichtlinearen Funktionaldifferentialgleichung"?
Die Arbeit behandelt eine skalare nichtlineare Funktionaldifferentialgleichung, die den Anteil einer Bevölkerung beschreibt, der mit einer von Insekten übertragenen Krankheit infiziert ist. Ziel ist es, Voraussagen über den Verlauf der Infektion zu treffen.
Welche Annahmen werden im Modell getroffen?
Das Modell basiert auf folgenden Annahmen: Die Infektion kann in beide Richtungen übertragen werden; die Infektion führt weder zum Tod noch zur Immunität; die Populationsgröße ist konstant; nach der Infektion des Überträgers vergeht eine konstante Zeit, bis er infektiös ist; die Überträger sind homogen verteilt; die Heilungsrate ist konstant; und die Anzahl der Überträger fluktuiert saisonal.
Welche Gleichung wird untersucht?
Die untersuchte Gleichung ist: y′(t) = b(t)y(t - T)[1 - y(t)] - cy(t), wobei y(t) der Anteil der infizierten Personen zum Zeitpunkt t ist, c und T positive Konstanten sind, und b eine positive, periodische Funktion der minimalen Periode w ist.
Was ist das Ziel der Arbeit?
Ziel der Arbeit ist es, frühere Untersuchungen zur Existenz periodischer Lösungen und zur lokalen Stabilität in Abhängigkeit der Heilungsrate neu darzustellen, wobei Existenzaussagen für Funktionaldifferentialgleichungen und Aussagen aus der Spektraltheorie kompakter Operatoren in Banachräumen miteinbezogen werden, unter Berücksichtigung des biologischen Hintergrunds.
Was sind die Hauptthemen, die in der Arbeit behandelt werden?
Die Hauptthemen umfassen: Existenz allgemeiner und periodischer Lösungen der Funktionaldifferentialgleichung, Grenzwerte und Stabilität von Lösungen, und eine biologische Interpretation der Ergebnisse.
Welche mathematischen Werkzeuge werden verwendet?
Die Arbeit verwendet Werkzeuge aus der Theorie der Funktionaldifferentialgleichungen, der Funktionalanalysis (insbesondere kompakte Operatoren in Banachräumen und Fixpunktsätze) und der Spektraltheorie.
Was beinhaltet die Betrachtung der Stabilität?
Die Stabilitätsbetrachtungen umfassen lineare Funktionaldifferentialgleichungen, gestörte Systeme linearer Funktionaldifferentialgleichungen und die Stabilität der spezifischen Gleichung (1.1).
- Quote paper
- Kai Mütz (Author), 1998, Periodische Lösungen einer nichtlinearen Funktionaldifferentialgleichung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/143130
