The graphical elegance of fractal theory takes into account the development's achievability and exceptionalism. Due to its fascinating existence in the mathematical fields of sciences, there is a clear association between fractal sets and convexity. In this proposal, we will present generalized convexity and related integral inequalities on a fractal set Rϖ ( 0 < ϖ ≤ 1). In the context of the Beta function, this research presents a new class of generalized Hermite-Hadamard type inequalities.
This research contributes significant results of novel versions of fractal Hölder's and Young's inequalities. We derive some general conclusions that capture novel results under investigation. One more remarkable contribution of the study is that two novel auxiliary results along with Trapezoidal and Midpoint type inequalities are provided. Hence, these new results will lead us to generalization of prior results.
Inhaltsverzeichnis
1. Preliminaries And Introduction
1.1 Convex Functions
1.2 Special functions
1.3 Local Fractional Calculus on Rϖ
1.4 Generalized Convex Function
1.5 Generalized Special Functions
2. Back Ground Of The Problem
2.1 Hermite–Hadamard Inequality
2.2 Jensen-Mercer Inequality
2.3 Generalized Hermite–Hadamard’s Inequality
2.4 Generalized Jensen-Mercer Inequality
2.5 Generalized Holder’s Inequality
2.6 Generalized Young’s Inequality
3. Main Results
3.1 Result’s for Fractal Trapezoid Inequalities
3.2 Result’s for Fractal Midpoint Inequalities
3.3 Result’s for Fractal Trapezoidal Inequalities in Mercer sense
3.4 Result’s for Fractal Midpoint Inequalities in Mercer sense
4. Conclusion
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht neue Hermite-Hadamard-Ungleichungen, die unter Verwendung der fraktalen Beta-Funktion innerhalb der Yang-Kalkül-Theorie formuliert werden. Das primäre Ziel besteht darin, durch die Einführung verallgemeinerter konvexer Funktionen und Methoden wie der lokalen fraktalen Analysis neue mathematische Identitäten und Ungleichungen auf Fraktalmengen im Bereich 0 < ϖ ≤ 1 abzuleiten, um bestehende Ergebnisse der mathematischen Analysis zu erweitern und zu verallgemeinern.
- Analyse von fraktalen Mengen und deren konvexen Eigenschaften.
- Erforschung von Hermite-Hadamard-Typ-Ungleichungen in der fraktalen Analysis.
- Etablierung verallgemeinerter Jensen-Mercer-Ungleichungen.
- Herleitung von Resultaten für fraktale Trapez- und Mittelpunkt-Ungleichungen.
- Anwendung von Hölder- und Young-Ungleichungen im Kontext fraktaler Räume.
Auszug aus dem Buch
1. Preliminaries And Introduction
Convex function plays a notable character in the field of both theoretical and applied sciences. The study of convex functions always presents stunning and magnificent sight of the beauty in advanced mathematics. The mathematicians always put potential in this direction as a result, discover and survey a large variety of results that are beneficial and remarkable for applications. This method is effective in dealing with a wide range of problems, the majority of which may be found in both the pure and applied sciences. Convexity also has a finest effect on our daily lives through numerous applications in medicine, industry, business and art. The formulation of inequalities is one of the most important applications of the convex function. Many novel inequalities of various kind of categories related to convex function have been obtained and implemented to other fields of studies can be seen in [1, 2, 3]. In the literature, the (H-H) inequality is highly familiar results. Furthermore, in many fields of science and technology, such as engineering, mathematical statistics, financial economics, and computer science, this inequality has been employed to solve a variety of problems. The definitions and outcomes listed below are considered necessary for our research.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Preliminaries And Introduction: Einführung in die Grundlagen konvexer Funktionen, spezielle Funktionen und die lokale fraktale Analysis als Basis für die weiteren Untersuchungen.
2. Back Ground Of The Problem: Darstellung der bestehenden Literatur zu Hermite-Hadamard- und Jensen-Mercer-Ungleichungen und deren Bedeutung für die problembezogene Theorie.
3. Main Results: Kernkapitel mit der Herleitung neuer Lemmata und Theoreme für fraktale Trapez- und Mittelpunkt-Ungleichungen, sowohl in klassischer als auch Mercer-Form.
4. Conclusion: Zusammenfassung der wissenschaftlichen Beiträge und Ausblick auf zukünftige Forschungsmöglichkeiten im Bereich der fraktalen Ungleichungen.
Schlüsselwörter
Fraktale Analysis, Fraktale Mengen, Verallgemeinerte Konvexität, Hermite-Hadamard-Ungleichung, Jensen-Mercer-Ungleichung, Fraktale Beta-Funktion, Lokale fraktale Kalkulation, Trapez-Ungleichungen, Mittelpunkt-Ungleichungen, Hölder-Ungleichung, Young-Ungleichung, Yang-Kalkül, Mathematische Analysis, Integralungleichungen, Konvexe Funktionen.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Es geht um die Untersuchung und Herleitung neuer mathematischer Ungleichungen, speziell im Kontext der fraktalen Analysis und der Verwendung der fraktalen Beta-Funktion.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit behandelt die fraktale Analysis, die Theorie konvexer Funktionen (im verallgemeinerten Sinn) sowie die Erweiterung klassischer Integralungleichungen auf fraktale Räume.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist die Bereitstellung mathematischer Lemmata und Ungleichungen für verallgemeinerte konvexe und Mercer-konvexe Funktionen, um bestehende mathematische Theorien auf den fraktalen Bereich zu übertragen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die Methode der lokalen fraktalen Analysis (Yang-Kalkül) eingesetzt, kombiniert mit Integration durch Teile und der Anwendung bekannter Ansätze wie der Hölder- oder Young-Ungleichung.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der systematischen Herleitung von Ungleichungen vom Typ Hermite-Hadamard für Trapez- und Mittelwertprobleme in fraktalen Umgebungen, inklusive der Anwendung der Mercer-Bedingungen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind fraktale Mengen, verallgemeinerte Konvexität, fraktale Beta-Funktion, Hermite-Hadamard- und Jensen-Mercer-Ungleichungen.
Wie werden die Trapez-Ungleichungen im Kapitel 3 definiert?
Die Trapez-Ungleichungen werden durch die Einführung neuer Lemmata definiert, die auf der fraktalen Beta-Funktion basieren und eine Verbindung zur lokalen fraktalen Integration herstellen.
Warum ist die Unterscheidung zwischen Mercer- und klassischen Ungleichungen relevant?
Sie ist relevant, da sie die Verallgemeinerung auf ein breiteres Spektrum konvexer Funktionen erlaubt, was für komplexere mathematische Modelle in rein- und angewandten Wissenschaften notwendig ist.
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- Iram Javed (Author), 2024, New Class of Generalized Hermite-Hadamard Type Inequalities, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1442888
